自动控制原理第三章时域分析方法new

第三章控制系统的时域分析方法本章主要介绍：5、控制系统状态空间分析方法4、常规调节器的性能3、系统稳定性的判据2、系统过渡过程的质量指标的分析（静态和动态的误差分析）1、一阶、二阶和高阶系统在典型输入信号下的过渡过程动态过程（过渡过程或瞬态过程）：时域分析法研究系统输入变化时，其输出随时间变化的响应特性。y(t)=f(x(t))系统的时间响应分为动态响应和稳态响应或称动态过程与稳态过程。系统在输入信号作用下，系统输出从初始状态到最终状态的响应过程，反映系统的动态性能。稳态过程（静态过程）：过渡过程中，当时间趋于无穷大时系统的输出状态，反映出系统的稳态性能。注意：稳态过程不是指输出数值不变，而是指输出变化形式固定不变。§1典型试验信号常用的典型试验信号有如下几种：1.1阶跃输入信号阶跃输入信号可表示为：000)(ttRtx(3-1-1)tRR为阶跃信号的幅值，是一常数。R=1时叫做单位阶跃信号，记做1(t)，否则记为R·1(t)。1.2单位脉冲输入信号脉冲输入信号又称δ(t)函数，它是右图在ε→0时的极限情况：tttdtttt0)(01)(00)(tX(t)E1ε(3-1-2)1.3斜坡输入信号斜坡输入信号可表示为：ttgφ=RtRφ000)(ttRttx(3-1-3)R为常数，此信号幅值随时间t作等速增长变化，其速率为R。1.4抛物线（加速度）输入信号抛物线输入信号可表示为：000)(2ttRttx(3-1-4)t2tRR为常数，此信号幅度随时间以加速度R增长。1.5正弦输入信号正弦输入信号可表示为如：000sin)(tttRtx(3-1-5)tX(t)R﹣RR为常数，表示正弦输入信号的幅值。该信号随时间依频率ω作等幅振荡。§2一阶系统的动态响应一阶系统：可用一阶微分方程描述的系统。例：网络的输入电压Ul和输出电压U2间的动态特性由下列一阶微分方程来描述：)()()(122tUtUdttdURCRCU1(t)U2(t)i(t)图3-2RC电路描述一阶系统动态特性的微分方程式的一般标准形式是：)()()(tKxtydttdyTT称为时间常数，它表示系统的惯性，K表示对象的增益或放大系数。1)()()(TsKsXsYsG(3-2-1)它求得的传递函数是：2.1单位阶跃响应以下分析一阶系统对一些典型输入信号的时间响应。（假设K＝1，系统的初始条件为零。）单位阶跃1(t)的拉氏变换为：ssX1)((3-2-2)把(3-2-2)式代入(3-2-1)式，)()()(sXsGsY取拉氏反变换有：)(ty(3-2-3)sTs1.11Tss111Tte/1)]([1sYL1)()()(TsKsXsYsG(3-2-1)由式（3-2-3）求出：一阶系统单位阶跃响应见图3—3，它是单调上升的指数曲线。Ttety/1)((3-2-3)1)()(0)()0(0tttyytyy图3-3一阶系统的阶跃响应曲线t＝T时，y(T)＝1-e-1＝0.632ty(t)0T2T3T4T5Tt＝5T时,y(5T)＝0.993…t＝4T时,y(4T)＝0.982t＝3T时,y(3T)＝0.95t＝2T时,y(2T)＝0.86563.2％86.5％98.2％99.3％B1A0.63295％斜率=1/Ty(t)=1-exp(-t/T)说明：2、工程上，以响应曲线达到稳态值的2%（或5％）所需的时间，记为过渡过程时间，叫做调节时间（过渡时间）,记作ts。1、一阶系统的单位阶跃响应的稳态误差是零，0)()()(yxe3、对一阶系统来说，是四倍（三倍）的时间常数，即ts=4T（ts=3T）。4、时间常数T反应一个系统的惯性，时间常数越小，系统的响应就越快，反之，越慢。一阶系统也被称为一阶惯性系统。以下研究输出曲线的变化速率。对（3-2-3）式求导：dttdy)(,0t(3-2-4)(3-2-5),Tt,tTtety/1)((3-2-3)Tty/1)(11)(eTtyT1368.00)(tyTteT—1说明：1.一阶系统阶跃响应曲线的另一个重要特性是在t＝0处切线的斜率等于1/T。2.一阶系统如能保持初始反应速度不变，则当t＝T时，输出将达到其稳态值。3.实际上，一阶系统过渡过程y(t)的变化速率，随着时间的推移，是单调下降的。(3-2-4)TteTdttdy1)((3-2-5)Ttyt/1)(,0TtyTt1368.0)(,0)(,tyt总结：一阶系统单位阶跃响应的重要性质：1、经过一倍时间常数，即t=T时，系统从0上升到稳态值的63.2%。2、在t＝0处曲线切线的斜率等于1/T。3、当t＞4T时，一阶系统的响应曲线已经达到稳态值（稳态误差小于2%）。实验方法求取一阶系统的传递函数：1Tsk63.2％T对一阶系统的单位阶跃响应曲线，思考题：若系统增益K不等于1，系统的稳态值应是多少？如何用实验方法从响应曲线中求取K值？2、从t＝0处的切线斜率求得。1、直接从达到稳态值的63.2%对应的时间求出一阶系统的时间常数；2.2单位斜坡响应单位斜坡函数x(t)=t的拉氏变换为：21)(ssX(3-2-6)把(3-2-6)式代入式(3-2-1)，2111)(sTssY)11(22TsTsTs1)()()(TsKsXsYsG(3-2-1)取上式的拉氏反变换，即得系统的单位斜坡响应：（如图3-4）)0()(tTeTttyTt(3-2-9)它和输入参数的误差为：)(te,0)0(e)(TtTeTtt)1(TteTTe)((3-2-10))()(tytxx(t)y(t)TT图3-4)11()(22TsTsTssYtx(t)y(t)特点：1、系统的动态响应是一个指数型的上升过程，先逐步加快，最后以输入相同的速度直线升高，并与输入相平行。3、系统的稳态响应为y(∞)=t－T，是一个与输入斜坡函数斜率相同但时间迟后T的斜坡函数。在位置上存在稳态跟踪误差，其值正好等于时间常数T。因此，系统的时间常数T越愈小，系统跟踪输入信号的稳态误差也越小。2、输出总是小于输入，误差逐步从零增大到时间常数T并保持不变，因此T也是稳态误差。2.3单位脉冲响应)]([)(tLsX)()()(sXsGsY,1)(sG11Ts系统输出量的拉氏变换式恰好与系统的传递函数相同，称为脉冲响应，其表达式为：,1)(TteTty,1)0(Ty,0)(yTteTty21)(可以算出响应曲线的各处斜率为201)(Tdttdyt图3-5一阶系统的单位脉冲响应曲线0)(tdttdy21368.0)(TdttdyTt0T2T3T4T5TT1T210初始频率2368.0T2135.0T205.0T特点：3、说明系统的惯性越小（T越小），系统的响应越快。0T2T3T4T5TT1T210初始频率2368.0T2135.0T205.0T2、若定义该指数曲线衰减到其初始的2％所需的时间为过渡过程时间，则仍有ts＝4T；1、一阶系统的脉冲响应为一单调下降的指数曲线；注意：系统在单位脉冲输入信号作用下，输出的拉氏变换恰好为系统的传递函数。即)()(sGsY对上式进行拉氏反变换，即得系统的脉冲响应函数：)]([1sYL实验测定系统的传递函数：常用单位脉冲信号作用于系统，来测定系统的单位脉冲响应，由此可以求得系统的传递函数。)]([1sGL)(ty)(tg总结与分析：一阶系统对典型试验信号的响应123输入信号x(t)输出响应y(t)tTtTeTt/1(t)Tte/1TtTe/1δ(t)l线性定常系统对输入信号导数的响应，可以通过把系统对输入信号的响应进行微分求得；这一结果适合所有的线性定常系统。线性时变系统或非线性系统都不具备这种性质。l系统对输入信号积分的响应，可以通过把系统对原输入信号的响应进行积分求得，而积分常数则由零初始条件决定。研究：一阶系统的特征参数K、T对过渡过程的影响。1TsK00246810125101520K=20K=10K=200204060801001200.511.52T=20T=10T=2§3二阶系统的动态响应3.1二阶系统数学模型的标准形式二阶系统的微分方程：)()()()(2tKxtKydttdydttdyT写成标准形式，令：,21/0TKTK；有：)()()(2)(2020022txtydttdydttyd(3-3-1)标准传递函数：两个特征参数：0叫做系统的无阻尼自然频率，具有1/时间的因次，叫做阻尼系数（阻尼比），无因次。)()()(sXsYsG（3-3-2）有)(2)(200220sXssY（3-3-3）)()()(2)(2020022txtydttdydttyd(3-3-1)2002202s求解这个二阶系统的特征方程：)(2)(200220sXssY（3-3-3）022002s可得它的两个根（极点）12002,1s（3-3-4）j1s2sj1s2sj1s2sj1s2sj1s2s0ζ1欠阻尼ζ=1临界阻尼ζ1过阻尼ζ=0无阻尼ζ0图3—7阻尼系数不同时特征根在s平面上的位置当阻尼系数ζ取不同值时，二阶系统特征根的性质12002,1s（3-3-4）2、当ζ2-1=0即ζ=1时，特征方程具有两个相等的负实根，它们是，此刻，二阶系统的极点是位于[s]平面实轴上的两个相等负实极点。j1s2sζ=1临界阻尼02,1sj1s2sζ=0无阻尼4、当ζ＝0时，特征方程式具有一对共轭纯虚根，即，此刻，二阶系统的闭环极点为位于[s]平面虚轴上的一对共轭虚根。02,1jsj1s2sζ05、当-1＜ζ＜0时，特征方程式的两个根为具有正实部的共轭复根，即：此刻，二阶系统的极点为位于[s]平面右半部的—对共轭复根。2002,11jsj1s2sζ1过阻尼3、当ζ2-1＞0即ζ＞1时，特征方程式具有两个不等的负实根，即，此刻，二阶系统的两个极点均位于[s]平面负实轴上。12002,1sj1s2s0ζ1欠阻尼1、当ζ2-1＜0即0＜ζ＜1时，两个特征根将是一对共轭复根，即,此刻，二阶系统的极点是一对位于[s]平面左半部的共轭复数极点。2002,11js3.2二阶系统的单位阶跃响应1、0＜ζ＜1时的欠阻尼情况这时系统有一对共轭复根(见图8)：图3-8极点位置dj01s2s02002,11jsdj0式中，，称为有阻尼自然频率。201d（3-3-3）式可改写成取上式的拉氏反变换，有tessLdtdcos])([022001tesLdtddsin])([02201sssY12)(20020220020221sssddssss22002200)()(1)(2)(200220sXssY（3-3-3）因此，Y(s)的拉氏反变换为：)(ty)0()sin(1120ttedt(3-3-5)式中，`1tan21，称为阻尼角。此时，y(t)的输出为衰减振荡过程。tessLdtdcos])([022001tesLdtddsin])([02201ddssss22002200)()(1tedtcos0tedtsin01)s