自动控制原理课件 第五章

第五章线性系统的频域分析法§5.1引言§5.2频率特性§5.3开环系统的典型环节和开环频率特性曲线的绘制§5.4频率域稳定判据§5.5稳定裕度§5.6闭环系统的频域性能指标本章重点1.开环频率特性的绘制(包括极坐标图和对数坐标图)；2.奈奎斯特稳定性判据及其在Bode图中的应用；3.对数频率特性和闭环系统性能的关系；4.开环频率特性指标；5.闭环频率特性指标。本章难点1.开环频率特性的绘制；2.奈奎斯特判据的原理及其应用；3.剪切频率及相角、幅值裕度的求取；4.二阶系统频率特性指标和时域指标的换算；5.典型二型系统频、时域指标的定性关系。时域方法准确、直观。但用解析法求解系统的时域响应不易。正弦输入信号的作用下，系统输出的稳态分量称为频率响应。系统频率响应与正弦输入信号的关系称为频率特性。频域分析法是一种图解分析法，不仅可以反映系统的稳态性能，而且可以用来研究系统的稳定性的暂态性能。返回5.1引言频率特性（又叫频率响应）频率特性是控制系统在频域中的一种数学模型，是研究自动控制系统的一种工程求解方法。系统频率特性能间接地揭示系统的动态特性和稳态特性，可简单迅速地判断某些环节或参数对系统性能的影响，指出系统改进方向。频率特性可以由实验确定，这对于难以建立动态模型的系统来说，很有用处。5.2频率特性设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦，Ar=1ω=0.5ω=1ω=2ω=2.5ω=4曲线如下:40不结论给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入同频率的正弦，幅值随ω而变，相角也是ω的函数。AB相角问题①稳态输出迟后于输入的角度为：②该角度与ω有BA360oφ=AB③该角度与初始关系∴为φ(ω),角度无关∴,…一﹑频率特性的定义1.频率响应:在正弦输入作用下，系统输出的稳态值称为频率响应。2.频率特性:频率响应c(t)与输入正弦函数r(t)的复数比。)()()()()()()()(jRjCjAjRjCj)()()(jjRjCRiu2Cu1111111)()(12sRCsCsRCssUsU例5-1：如图所示电气网络的传递函数为若输入为正弦信号：tUumsin11其拉氏变换为：2211)(sUsUm221211)(sUssUm输出拉氏变换为：其拉氏反变换为：)arctansin(112212212tUeUumtm其稳态响应为：)arctansin(1lim2212tUumt111sin()11mUtjj上式表明：对于正弦输入，其输出的稳态响应仍然是一个同频率正弦信号。但幅值降低，相角滞后。)(A—幅值频率特性)(—相角频率特性01jmeUjjmejU11111例题中输入信号的复数表示为：例题中输出信号的复数表示为：它们之比为：)()()(11)()(AeAjjGj221111)(jAtanarg11)(j二、频率特性的性质1、与传递函数一样，频率特性也是一种数学模型。它描述了系统的内在特性，与外界因素无关。当系统结构参数给定，则频率特性也完全确定。2、频率特性是一种稳态响应。系统稳定的前提下求得的，不稳定系统则无法直接观察到稳态响应。从理论上讲，系统动态过程的稳态分量总可以分离出来，而且其规律并不依赖于系统的稳定性。因此，我们仍可以用频率特性来分析系统的稳定性、动态性能、稳态性能等。3、系统的稳态输出量与输入量具有相同的频率。当频率改变，则输出、输入量的幅值之比A（）和相位移（）随之改变。这是系统中的储能元件引起的。4、实际系统的输出量都随频率的升高而现失真，幅值衰减。所以，可以将它们看成为一个“低通”滤波器。5、频率特性可应用到某些非线性系统的分析中去。三、频率特性的求取：1、根据定义求取。即对已知系统的微分方程，把正弦输入函数代入，求出其稳态解，取输出稳态分量与输入正弦量的复数比即可得到。2、根据传递函数求取。即用s=j代入系统的传递函数，即可得到。3、通过实验的方法直接测得。010.8900.7070.4470.3160.2430.19600-26.5-45.0-63.4-71.6-76.0-78.7-90)(1srad)(A))((2112345幅频特性和相频特性数据0.20.40.60.81.0)(A01234512345-80°-60°-40°-20°0°)(jjG11)(线性定常系统的传递函数表达式为)())(()()()()()()(21npspspssNsDsNsRsCsG输入为r(t)=Msin(ωt)，22)(sMsR2221)())(()()(sMpspspssNsCn若无重极点，上式可写为niiipsajsbjsbsC121)(四、频率特性与传递函数的关系tpniijjieaebebtc121)(若系统稳定，pi都具有负实部，则稳态分量为：jjtebebtc21)(limjMjGjsjsjsMsGbjs2)()())(()(1jMjGjsjsjsMsGbjs2)()())(()(2G(jω)是一复数，可写为)()()(jeAjG)()()(jeAjG)(1)(2jeAjMb)(2)(2jeAjMbjeeMAebebtctjtjtjtjss2)()()]([)]([21)](sin[)(tMA得到线性系统的幅频特性和相频特性：)()(jG)()(jGA频率特性和传递函数的关系为jssGjG)()(系统的频率特性也是输入信号的傅氏变换和输出信号的傅氏变换之比。)()()(jRjCjGdtetrjRtj)()(dtetcjCtj)()(dejRjGtctj)()(21)(系统的单位脉冲响应为：其中经过傅氏反变换dejGtgtj)(21)(五、频率特性的几种图示方法1.幅相频率特性曲线它是在复平面上以极坐标的形式来描述的。又称极坐标图。又称Nyquist曲线。系统的频率特性可表示为：)()()(jeAjG当ω=0→∞变化时,A(ω)和(ω)随ω而变。以A(ω)作幅值,(ω)作相角,G(jω)H(jω)的矢量终端在复平面上运动形成的轨迹,称Nyquist曲线。实频特性是ω的偶函数，虚频特性是ω的奇函数。为什么？惯性环节G(jω)G(s)=0.5s+110.25ω2+1A(ω)=1φ(ω)=-tg-10.5ωj01Im[G(jω)]Re[G(jω)]ω00.51245820φo(ω)A(ω)01-14.50.97-26.60.89-450.71-63.4-68.2-76-840.450.370.240.052.对数频率特性曲线（Bode图）在半对数坐标纸上绘制，由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线所组成。频率的对数分度半对数坐标：横坐标不均匀，而纵坐标是均匀刻度。0.10.20.3123102030100ω(rad/s)20lg|G(jω)|(dB)十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程对数幅频特性：指G(jω)的对数值20lg|G(jω)|和频率ω的关系曲线。对数相频特性：指G(jω)的相角值φ(ω)和频率ω的关系曲线。即纵坐标)(lg20)(ALL(ω)称为对数幅值，单位是dB(分贝)。纵坐标是的单位是“°”。采用线性刻度。2.对数坐标图----Bode图对数幅频L(ω)=20lg│G(j)H(j)│=20lgA()(dB)对数相频(ω)=∠G(jω)H(jω)(rad)横坐标是ω的对数分度,纵坐标是L(ω)和(ω)的线性分度，此坐标系称为半对数坐标。对数坐标系1801100.1204060-20-40-60090180902346857dBL)()(采用对数坐标图的优点：（1）将低频段展开，将高频段压缩。（2）当系统由多个环节串联而成时，简化运算。)()()()(21jGjGjGjGn)(111)()(jeAjG)(222)()(jeAjG…)()()(njnneAjG)()()()(lg20)(lg20)(lg20)(lg20)(2121nnLLLAAAAL)()()()(21n（3）所有典型环节乃至系统的频率特性可用分段直线近似表示。（4）容易将频率实验数据用分段直线拟合，从而得到对数频率特性或传递函数。3.对数幅相特性曲线（Nichols图)由对数幅频特性和对数相频特性合并而成。可以方便求出系统闭环频率特性及有关特征参数，作为评估系统性能的依据。返回一、典型环节的幅相频率特性步骤：（1）求环节或系统的传递函数G(s)；（2）令s=jω,求出频率特性表达式G(jω)；（3）G(jω)分为实部P(ω)和虚部Q(ω)，若G(jω)的分母为复数或虚数需要做有理化处理；（4）求出幅频特性A(ω)和相频特性Φ(ω)的表达式，根据不同的ω值计算和在极坐标上描点并绘制成曲线。5.3开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制1．比例环节比例环节的传递函数为：G(s)=K=const频率特性表达式为：constKjG)(0)()(QconstKP00arctan)()(KconstKAReIm0K2．惯性环节惯性环节的传递函数为：1()1GsTs频率特性表达式为：1()1GjjT22221()1()1PTTQT22221()()()1()()arctanarctan()APQTQTP此惯性环节的幅相频率特性是一个以(1/2,j0)为圆心，以1/2为半径的半圆。22221111PTQPPQP22222)21()21(QP低通滤波0Re[G(jω)]Im[G(jω)]1惯性环节1G(jω)3．积分环节积分环节的传递函数为：ssG1)(频率特性表达式为：11)(jjjG21je1)(0)(QP90)(1)(AImReω＝0ω＝∞90)(4．微分环节（1）纯微分环节纯微分环节的传递函数为：ssG)(频率特性表达式为：jjG)(2je)(0)(QP90)()(AImReω＝0ω＝+∞90)(（2）一阶微分环节一阶微分环节的传递函数为：ssG1)(频率特性为：jjG1)()(1)(QParctan)(1)(22AImReω＝0ω＝+∞15．振荡环节222221()212nnnGsTsTsss1nT221()12GjTjTo01)0j(G()0180Gj11()()902onGjGjT得令,0d)(dA221nr(0ζ0.707)2121)(mrAA222222221()(1)(2)21arctan,1()21arctan,1ATTTTTTTT0Re[G(jω)]Im[G(jω)]1ABA:2212121rnrAB:onnA90)(21)(2222)(nnnsssG振荡环节G