通用版中考数学二轮复习专题4新定义问题课件

专题4新定义问题1．对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1.(1)求min{－2，－3}；(2)若min{(x－1)2，x2}＝1，求x.【解析】第(2)题你能确定(x－1)2，x2哪个小？根据定义可以得到几个结论？(2)当(x－1)2x2时，x2＝1，解得x1＝1(舍)，x2＝－1；当(x－1)2x2时，(x－1)2＝1，解得x3＝2，x4＝0(舍)，∴x＝2或－1解：(1)因为－3－2，所以min{－2，－3}＝－32．设[x)表示大于x的最小整数，如[3)＝4，[－1.2)＝－1，则下列结论中正确的是____．(填写所有正确结论的序号)①[0)＝0；②[x)－x的最小值是0；③[x)－x的最大值是1；④存在实数x，使[x)－x＝0.5成立．③④3．定义[a，b，c]为函数y＝ax2＋bx＋c的特征数，下面给出特征数为[2m，1－m，－1－m]的函数的一些结论：①当m＝－3时，函数图象的顶点坐标是(13，83)；②当m0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于32；③当m0时，函数在x14时，y随x的增大而减小；④当m≠0时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论有()A．①②③④B．①②④C．①③④D．②④B4．对于正整数n，定义F(n)＝n2（n10），f（n）（n≥10），其中f(n)表示n的首位数字、末位数字的平方和．例如：F(6)＝62＝36，F(123)＝f(123)＝12＋32＝10.规定F1(n)＝F(n)，Fk＋1(n)＝F(Fk(n))(k为正整数)．例如：F1(123)＝F(123)＝10，F2(123)＝F(F1(123))＝F(10)＝1.(1)求：F2(4)＝____，F2015(4)＝____；(2)若F3m(4)＝89，求正整数m的最小值．解：(1)37，26(2)637265．我们知道，一元二次方程x2＝－1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于－1，若我们规定一个新数“i”，使其满足i2＝－1(即方程x2＝－1有一个根为i)，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝－1，i3＝i2·i＝(－1)·i＝－i,i4＝(i2)2＝(－1)2＝1，从而对任意正整数n，我们可以得到i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，同理可得i4n＋2＝－1,i4n＋3＝－i,i4n＝1，那么i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2015＋i2016的值为()A．0B．1C．－1D．iA6．对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b＝2a－b.例如：5⊗2＝2×5－2＝8.(1)求(－3)⊗4⊗1；(2)若3⊗x＝－2011，求x的值；(2)若x⊗35，求x的取值范围．【解析】第(1)题(－3)⊗4⊗1先算什么？第(2)，(3)题如何利用概念转化为方程或不等式？解：(1)－21(2)根据题意得2×3－x＝－2011，解得x＝2017(3)根据题意得2x－35，解得x47．定义一种新运算：观察下列各式：1⊙3＝1×4＋3＝7；3⊙(－1)＝3×4－1＝11；5⊙4＝5×4＋4＝24；4⊙(－3)＝4×4－3＝13.(1)请你想一想：a⊙b＝；(2)若a≠b，那么a⊙b____b⊙a(填“＝”或“≠”)；(3)若a⊙(－2b)＝4，请计算(a－b)⊙(2a＋b)的值．【解析】(1)观察前面的例子可得a⊙b＝4a＋b；(2)根据定义a⊙b＝4a＋b，b⊙a＝4b＋a，因为a≠b，所以a⊙b≠b⊙a；(3)根据定义先将a⊙(－2b)＝4化简，再将(a－b)⊙(2a＋b)化简并把上面得到的式子代入计算．4a＋b≠解：(3)因为a⊙(－2b)＝4，所以4a－2b＝4，所以2a－b＝2，(a－b)⊙(2a＋b)＝4(a－b)＋(2a＋b)＝6a－3b＝3(2a－b)＝3×2＝68．(2018·预测)对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b＝1a－b2，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3＝11－32＝－18.则方程x⊗(－2)＝2x－4－1的解是()A．x＝4B．x＝5C．x＝6D．x＝7B9．对x，y定义一种新运算T，规定：T(x，y)＝ax＋by2x＋y(其中a，b均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如：T(0，1)＝a×0＋b×12×0＋1＝b.(1)已知T(1，－1)＝－2，T(4，2)＝1.①求a，b的值；②若关于m的不等式组T（2m，5－4m）≤4，T（m，3－2m）＞p恰好有3个整数解，求实数p的取值范围；(2)若T(x，y)＝T(y，x)对任意实数x，y都成立(这里T(x，y)和T(y，x)均有意义)，则a，b应满足怎样的关系式？解：(1)①根据题意得T(1，－1)＝a－b2－1＝－2，即a－b＝－2；T＝(4，2)＝4a＋2b8＋2＝1，即2a＋b＝5，解得a＝1，b＝3②根据题意得2m＋3（5－4m）4m＋5－4m≤4①，m＋3（3－2m）2m＋3－2m＞p②，由①得m≥－12；由②得m＜9－3p5，∴不等式组的解集为－12≤m＜9－3p5，∵不等式组恰好有3个整数解，即m＝0，1，2，∴2＜9－3p5≤3，解得－2≤p＜－13(2)由T(x，y)＝T(y，x)，得到ax＋by2x＋y＝ay＋bx2y＋x，整理得(x2－y2)(2b－a)＝0，∵T(x，y)＝T(y，x)对任意实数x，y都成立，∴2b－a＝0，即a＝2b10．一个正n边形(n为整数，n≥4)的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为λn.(1)若λn＝1，求n的值；(2)求λ6.【解析】(1)λn＝1说明该正多变形的对角线有什么特点？(2)根据“特征值”概念的含义，准备求哪两条对角线？解：(1)n＝4或5(2)如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE，CF交于点O，连结EC.易知BE是正六边形最长的对角线，EC的正六边形最短的对角线，∵△OBC是等边三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝∠BOC＝60°，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE，∵∠BOC＝∠OEC＋∠OCE，∴∠OEC＝∠OCE＝30°，∴∠BCE＝90°，∴△BEC是直角三角形，∴ECBE＝cos30°＝32，∴λ6＝3211．任意一个正整数n都可以分解：n＝p×q(p，q是正整数，且p≤q)，在n的所有这种分解中，如果|p－q|最小，则称p×q是n的最佳分解．并规定：F(n)＝pq.(1)求F(12)；(2)如果一个两位正整数t，t＝10x＋y(1≤x≤y≤9，x，y为自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么称这个数t为“吉祥数”，①求所有“吉祥数”；②所得“吉祥数”中，求F(t)的最大值．【解析】第(2)题根据“吉祥数”的定义如何确定出x与y的关系式？解：.(1)12＝1×12，2×6或3×4，因为12－1＞6－2＞4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F(12)＝34(2)①设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10y＋x，∵t是“吉祥数”，∴t′－t＝(10y＋x)－(10x＋y)＝9(y－x)＝36，∴y＝x＋4，∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59②F(15)＝35，F(26)＝213，F(37)＝137，F(48)＝68＝34，F(59)＝159，3435213137159，∴所有“吉祥数”中，F(t)的最大值为3412．现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列S0，将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数，可得到一个新序列S1，例如序列S0：(4，2，3，4，2)，通过变换可生成新序列S1：(2，2，1，2，2)，若S0可以为任意序列，则下面的序列可作为S1的是()A．(1，2，1，2，2)B．(2，2，2，3，3)C．(1，1，2，2，3)D．(1，2，1，1，2)解析：根据新定义的内容，你发现的规律是什么？D【解析】根据题意可知，S1中2有2的倍数个，3有3的倍数个，据此即可作出选择．A.∵2有3个，∴不可以作为S1，故选项错误；B.∵2有3个，∴不可以作为S1，故选项错误；C.3只有1个，∴不可以作为S1，故选项错误；D.符合定义的一种变换，故选项正确．故选D.13．对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα＝sin(180°－α)，cosα＝－cos(180°－α)．(1)求sin120°，cos120°，sin150°的值；(2)若一个三角形的三个内角的比是1∶1∶4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2－mx－1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．解：(1)由题意得sin120°＝sin(180°－120°)＝sin60°＝32，cos120°＝－cos(180°－120°)＝－cos60°＝－12，sin150°＝sin(180°－150°)＝sin30°＝12(2)∵三角形的三个内角的比是1∶1∶4，∴三个内角分别为30°，30°，120°，①当∠A＝30°，∠B＝120°时，方程的两根为12，－12，将12代入方程得4×(12)2－m×12－1＝0，解得m＝0，经检验－12是方程4x2－1＝0的根，∴m＝0符合题意；②当∠A＝120°，∠B＝30°时，两根为32，32，不符合题意；③当∠A＝30°，∠B＝30°时，两根为12，32，将12代入方程得4×(12)2－m×12－1＝0，解得m＝0，经检验32不是方程4x2－1＝0的根．综上可知，m＝0，∠A＝30°，∠B＝120°14．如图，若△ABC内一点P满足∠PAC＝∠PBA＝∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF＝90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ＝1，求EQ＋FQ的值．【解析】画出图形，你能找出相似的三角形吗？解：如图，在等腰直角三角形△DEF中，∠EDF＝90°，DE＝DF，∠1＝∠2＝∠3，∵∠1＋∠QEF＝∠3＋∠DFQ＝45°，∴∠QEF＝∠DFQ，∵∠2＝∠3，∴△DQF∽△FQE，∴DQFQ＝FQQE＝DFEF＝12，∵DQ＝1，∴FQ＝2，EQ＝2，∴EQ＋FQ＝2＋215．定义：点P是△ABC内部或边上的点(顶点除外)，在△PAB，△PBC，△PCA中，若至少有一个三角形与△ABC相似，则称点P是△ABC的自相似点．在平面直角坐标系中，点M是曲线y＝33x(x＞0)上的任意一点，点N在x轴正半轴上．(1)如图1，MN⊥x轴，点N(3，0)，若OM上点P是△MON的自相似点，求点P的坐标；(2)如图2，当点M(3，3)，点N(2，0)时，求△MON的自相似点的坐标．【解析】(1)△MNP是直角三角形，则点P的位置在哪？(2)如何在OM上取点P，得到的三角形与原三角形相似？有几种情况？解：(1)∵点P是△MON的相似点，∴∠ONP＝∠M，∠OPN＝∠MNO＝90°，过P作PD⊥x轴于D，则tan∠POD＝MNON＝3，∴∠MON＝60°，∵在Rt△OPN中，OP＝ONcos60°＝32，∴OD＝OPcos60°＝32×12＝34，PD＝OP·sin60°＝32×32＝34，∴P(34，34)(2)作MH⊥x轴于H，如图3，∴OM＝32＋（3）2＝23，直线OM的解析式为y＝33x，ON＝2，∠MOH＝30°，分两种情况：①如图3，∵P是△MON的相似点，∴△PON∽△NOM，作PQ⊥x轴于Q，∴PO＝PN，OQ＝12ON＝1，∵P的横坐标为1，∴y＝33×1＝33，∴P(1，33)；②如图4，MN＝（3）2＋12＝2，∵P是△MON的相似点，∴△PNM∽△NOM，∴PNON＝MNMO，即PN2＝223，解得PN＝233，即P的纵坐标为233，代入y＝33x，解得x＝2，∴P(2，233)．综上所述：△MON的自相似点的坐标为(1，33)或(2