运筹学多目标决策

第一节特尔菲（Delphi）法第二节层次分析法（AHP）(AnalyticsHierarchyProcess)第三节数据包络分析法（DEA)多目标决策多目标决策例子干部评估：德才兼备教师晋升：教学数量与质量；科研成果购买冰箱：价格，质量，耗电，品牌等球员选择：技术，体能，经验，心理找对象：容貌，学历，气质，家庭状况多目标决策与单目标决策区别点评价与向量评价单目标：方案dj←评价值f(dj)多目标：方案dj←评价向量(f1(dj)，f2(dj)…，fp(dj))全序与半序:方案di与dj之间单目标问题:didj;di=dj;didj多目标问题：除了这三种情况之外,还有一种情况是不可比较大小决策者偏好：多目标决策过程中，反映决策者对目标的偏好。解概念区别解的概念单目标决策的解只有一种（绝对）最优解多目标决策的解有下面四种情况：绝对最优解劣解有效解(pereto解)弱有效解数学外语专业解的类型d1807588有效解d2758185有效解d3767889有效解d4858292劣解d5797486绝对最优解多目标决策解的例子第一节特尔菲(Ｄeｌｐｈｉ)法特尔菲法是美国兰德公司于1964年首先用于决策领域的，是一种重要的的多目标决策方法，其主要优点是简明直观。实践中经常使用特尔菲法确定各目标权数，并进行多目标决策。思路：特尔菲法是请一批有经验的专家(老手)对如何确定各目标权数发表意见，然后用统计平均方法估算出各目标的权数。步骤:1．把较为详尽的背景资料发送给选定的n位专家，请专家们分别各自独立地估计各目标的权数列入下表中。目标权重估计值专家数f1f2……fp1w11w12……w1p2w21w22……w2pM……………………Nwn1wn2……wnp2样本平均值为===niijjpjwnwM1,,2,1,1)(L每一位专家对各目标权数估计值与平均估计值的偏差为)(jijijwMw-=D3．进一步分析)(jwM是否合理，特别让估计值偏差△ij较大4．附上进一步的补充资料后，请各专家重新对各目标权数作出估计值wij==--===nijijjniijjwMwnwDpjwnwM121)](~[11)(~,,2,1,1)(~L5.重复上述步骤，经过几次反复后，直至第k步估计方差小于或等于预先给定的标准)0(ee。6．确定最终的目标函数权重估计值。令niliMijj,,2,1,:)(L==其中是预先给定的标准，且10。则第j个目标之权数的最终估计值为：=)(/)(1jMiijjjwMw其中)(jM表示集合)(jM中元素的个数。这种方法实质是先以为尺子，将信任度达不到的估计值全部删除，以余下估计值的平均值作为权数的最终估计值，因此，该方法有一定的合理性。7.可构造线性加权评价函数为)(1XfwXFUjpij==DELPHI法使用要点独立性，专家尽可能互不见面，防止心理影响（权压，声压，从众行为）统计处理滤波技术第二节层次分析法(AnalyticsHierarchyProcess,AHP)一、简介二、基本模型三、基本步骤四、应用案例简介层次分析法是由美国匹兹堡大学教授T.L.Saaty在70年代中期提出的。它的基本思想是把一个复杂的问题分解为各个组成因素，并将这些因素按支配关系分组，从而形成一个有序的递阶层次结构。通过两两比较的方式确定层次中诸因素的相对重要性，然后综合人的判断以确定决策诸因素相对重要性的总排序。层次分析法的出现给决策者解决那些难以定量描述的决策问题带来了极大的方便，从而使它的应用几乎涉及任何科学领域。基本模型—单层次模型1.单层次模型结构C—目标，Ai—隶属C的n个评价元素决策者问题：由决策者在这个目标意义下对这n个元素进行评价，对他们进行优劣排序并作出相对重要性的权量。CA1A2An……2.思想：(1)整体判断n个元素的两两比较。(2)定性判断定量表示（通过标量）（3）通过数学公式（特征值）确定各元素评价权重3.计算步骤（1）构造两两比较判断矩阵（2）计算单一准则下元素的相对重要性(层次单排序)（3）单层次判断矩阵A的一致性检验(1)判断矩阵标度（aij）的含义：Ai比Aj时由决策者回答下列问题所得CKA1A2……AnA1a11a12……a1nA2a21a22……a2nMMMMMAnan1an2……ann1表示两个元素相比，具有同样重要性3表示两个元素相比，一个元素比另一个元素稍微重要5表示两个元素相比，一个元素比另一个元素明显重要7表示两个元素相比，一个元素比另一个元素强烈重要9表示两个元素相比，一个元素比另一个元素极端重要判断矩阵中的元素具有下述性质例：决策者认为Ai比Aj明显重要，则aij＝5这样由决策者的定性判断转换为定量表示，这是AHP的特点之一。1)(1)(0)(==iijiijijaiiiaaiiai计算判断矩阵A的最大特征根λmax和其对应的经归一化后的特征向量Tn),,,(21L=AW=λmaxW由此得到的特征向量W=(w1,w2,…,wn)T就作为对应评价单元的权重向量。λmax和W的计算一般采用幂法、和法和方根法(2)层次单排序AHP方法计算原理问题：为什么两两比较判断矩阵A的最大特征值的向量W=(w1,w2,…,wn)T，可以作为评价单元A1,A2,…,An的权重向量？解释：假设事先已知这n个评价单元的权重向量为W=(w1,w2,…,wn)T，比较Ai与Aj重要性时，标量aij=wi/wj是一精确比值所构成的两两比较判断矩阵是完全精确的判断矩阵=nnnnn是的最大特征值的向量。==nnnnnnn=A实际评价时，并不知道这权重向量比较Ai与Aj重要性时，通过询问决策者只能得到近似的比值aijaij～wi/wj得到的判断矩阵是近似的判断矩阵A.A～精确判断矩阵的最大特征值的向量W=(w1,w2,…,wn)T是完全精确的权重向量近似判断矩阵A最大特征值的向量W=(w1,w2,…,wn)T可以作为近似的权重向量AA(3)单层次判断矩阵A的一致性检验在单层次判断矩阵A中,当jkikijaaa=时，称判断矩阵为一致性矩阵。（a）计算一致性指标C.I.：1..max--=nnIC，式中n为判断矩阵的阶数。（b）计算平均随机一致性指标R.I.R.I.是多次重复进行随机判断矩阵特征值的计算后取算术平均数得到的，下表给出1～5维矩阵重复计算1000维数123456789101112131415R.I.000.520.891.121.261.361.411.461.491.521.541.561.581.59（c）计算一致性比例C.R：......IRICRC=当C.R.0.1时，一般认为判断矩阵的一致性是可以接受的。多层次分析法的基本步骤1．2．计算单一准则下元素的相对重要性(单层次模型)3．计算各层次上元素的组合权重(层次总排序)4．评价层次总排序计算结果的一致性递阶层次结构决策目标准则1准则2准则k子准则1子准则2子准则m方案1方案2方案n………………………………目标层准则层子准则层方案层计算单一准则下元素的相对重要性这一步是计算各层中元素相对于上层各目标元素的相对重要性（层次单排序），参见前面的单层次模型。例：如图相对于目标A1而言，C1、C2、C3、C4相对重要性权值为w11、w12、w13、w14，同理相对目标A2，C1、C2、C3、C4相对重要性权值为w21、w22、w23、w24。A1A2C1C2C3C4w11w12w13w14A1A2……Am层次A权重层次Ba1a2……amB层次元素组合权重B111b21b……mb1==miiibab111B212b22b……mb2==miiibab122MMMMMMBn1nb2nb……mnb==miininbab1计算各元素的总权重评价层次总排序计算结果的一致性设：CIRI其计算公式为：imIiCIaCI==1CIi为Ai相应的BimIiRIaRI==1RIi为Ai相对应的B并取RICICR=当CR≤0.10正互反阵最大特征值和特征向量实用算法用定义计算矩阵的特征值和特征向量相当困难，特别是阶数较高时；成对比较矩阵是通过定性比较得到的比较粗糙的结果，对它的精确计算是没有必要的。寻找简便的近似方法。1和法步骤如下a)将A的每一列向量归一化得b)对c)归一化==niijijijaaw1/~ijw~按行求和得==njijiww1~~Tn)~,,~,~(~L21=w==niiii~/~Tn),,,(L21=wd)计算Aw2根法步骤与和法基本相同，只是将步骤b改为对ijw~按行求积并开n次方，即nijniiww11==~~e)计算==niiiwn11)(Aw，最大特征值的近似值。=141614121621///A列向量归一化091007701036403080305450615060.........求和268097207601...归一化w=089032405870...精确计算，得0133090032205880.),.,.,.(==w=268097407691...Aw009308902680324097405870769131.)......(==应用例子某厂有一笔企业留成利润要决定如何使用，根据各方意见提出的决策方案有：发奖金；扩建集体福利设施；办技校；建图书馆；购买新设备。在决策时要考虑调动职工劳动积极性、提高职工技术文化水平、改善职工物质文化生活三方面，据此构造各因素之间相互联结的层次结构模型如下图所示。层次结构图合理使用企业留利××万元调动职工劳动积极性提高企业技术水平改善职工物质文化生活状况发奖金扩建集体福利设施办技校建图书馆购买新设施准则层C方案层D目标层AAC1C2C3d1d2d3d4d5计算单一准则下元素的相对重要性1.第二层相对于第一层的判断矩阵W=(0.105,0.637,0.258)λmax=3.038对判断矩阵进行一致性检验，即计算C.I.和C.R.C.I.=0.019C.R.=0.0330.1说明判断矩阵的一致性可以接受。A-CC1C2C3C111/51/3C2513C331/31（1）（1）C1C2C3w1=0.105W2=0.637W3=0.258A2.第三层元素相对于第二层元素判断矩阵w11W12W13C1C2C3d1d2d3d4d5w14w152)C1-Dd1d2d3d4d5d112347d21/21325d31/31/311/21d41/41/2213d51/71/511/31W=(0.491,0.232,0.092,0.138,0.046)126.5max=C.I=0.032C.R.=0.0280.1C2-Dd2d3d4d5d211/71/31/5d37152d431/511/3d551/231W=(0.055,0.564,0.118,0.265)117.4max=C.I=0.039C.R.=0.0420.1C3-Dd1d2d3d4d11133d21133d31/31/311d41/31/311W=(0.406,0.406,0.094,0.094)4max=C.R.=0w21W22W23C1C2C3d1d2d3d4d5w24w25w31W32W33C1C2C3d1d2d3d4d5w34w35计算各元素的总权重C1C2C3准则权重方案0.1050.6370.258总权重d10.49100.4060．157d20.2320.0550.4060．164d30.0920.5640.0940．3