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运筹学(OperationsResearch)Page2Page3Page4Page5Page6Page7运筹学简述运筹学（OperationsResearch）系统工程的最重要的理论基础之一，在美国有人把运筹学称之为管理科学(ManagementScience)。运筹学所研究的问题，可简单地归结为一句话：“依照给定条件和目标，从众多方案中选择最佳方案”故有人称之为最优化技术。Page8运筹学简述运筹学的历史“运作研究(OperationalResearch)小组”:解决复杂的战略和战术问题。例如：1.如何合理运用雷达有效地对付德军德空袭2.对商船如何进行编队护航，使船队遭受德国潜艇攻击时损失最少；3.在各种情况下如何调整反潜深水炸弹的爆炸深度，才能增加对德国潜艇的杀伤力等。Page9Page10Page11运筹学的主要内容数学规划（线性规划、整数规划、目标规划、动态规划等）图论存储论排队论对策论排序与统筹方法决策分析Page12本课程的特点和要求先修课：高等数学，基础概率、线性代数特点：系统整体优化；多学科的配合；模型方法的应用运筹学的研究的主要步骤：真实系统系统分析问题描述模型建立与修改模型求解与检验结果分析与实施数据准备Page13Page14运筹学在工商管理中的应用运筹学在工商管理中的应用涉及几个方面：1.生产计划2.运输问题3.人事管理4.库存管理5.市场营销6.财务和会计另外，还应用于设备维修、更新和可靠性分析，项目的选择与评价，工程优化设计等。Page15运筹学在工商管理中的应用Interface上发表的部分获奖项目组织应用效果联合航空公司在满足乘客需求的前提下，以最低成本进行订票及机场工作班次安排每年节约成本600万美元Citgo石油公司优化炼油程序及产品供应、配送和营销每年节约成本7000万AT&T优化商业用户的电话销售中心选址每年节约成本4.06亿美元，销售额大幅增加标准品牌公司控制成本库存（制定最优再定购点和定购量确保安全库存）每年节约成本380万美元法国国家铁路公司制定最优铁路时刻表并调整铁路日运营量每年节约成本1500万美元，年收入大幅增加。TacoBell优化员工安排，以最低成本服务客户每年节约成本1300万美元Delta航空公司优化配置上千个国内航线航班来实现利润最大化每年节约成本1亿美元Page16“管理运筹学”软件介绍“管理运筹学”2.0版包括：线性规划、运输问题、整数规划（0-1整数规划、纯整数规划和混合整数规划）、目标规划、对策论、最短路径、最小生成树、最大流量、最小费用最大流、关键路径、存储论、排队论、决策分析、预测问题和层次分析法，共15个子模块。Chapter1线性规划(LinearProgramming)LP的数学模型图解法单纯形法单纯形法的进一步讨论－人工变量法LP模型的应用本章主要内容：Page18线性规划问题的数学模型1.规划问题生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，这就是规划问题。线性规划通常解决下列两类问题：（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标（2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多、利润最大.）Page19线性规划问题的数学模型例1.1如图所示，如何截取x使铁皮所围成的容积最大？xaxxav220dxdv0)2()2()2(22xaxxa6axPage20线性规划问题的数学模型例1.2某企业计划生产甲、乙两种产品。这些产品分别要在A、B、C、D、四种不同的设备上加工。按工艺资料规定，单件产品在不同设备上加工所需要的台时如下表所示，企业决策者应如何安排生产计划，使企业总的利润最大？设备产品ABCD利润（元）甲21402乙22043有效台时1281612Page21线性规划问题的数学模型解：设x1、x2分别为甲、乙两种产品的产量，则数学模型为：maxZ=2x1+3x2x1≥0,x2≥0s.t.2x1+2x2≤12x1+2x2≤84x1≤164x2≤12Page22线性规划问题的数学模型2.线性规划的数学模型由三个要素构成决策变量Decisionvariables目标函数Objectivefunction约束条件Constraints其特征是：（1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通常是求最大值或最小值；（2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等式或等式。怎样辨别一个模型是线性规划模型？Page23线性规划问题的数学模型00)()((min)max12211112121112211nmnmnmmnnnnxxbxaxaxabxaxaxaxcxcxcz目标函数：约束条件：3.线性规划数学模型的一般形式)21(j0)21(i)(Z(min)max11nxmbxaxcjnjijijnjjj简写为：Page24线性规划问题的数学模型向量形式：)(21ncccCnxxX1mjjjaaP1mbbB10)((min)maxXBxpCXzjj其中：Page25线性规划问题的数学模型矩阵形式：mnmnaaaaA11110)((min)maxXBAXCXZ其中：)(21ncccCnxxX1mbbB1Page26线性规划问题的数学模型3.线性规划问题的标准形式minjxbxatsxcZjnjijijnjjj,,2,1,,2,1,0.max11特点：(1)目标函数求最大值（有时求最小值）(2)约束条件都为等式方程，且右端常数项bi都大于或等于零(3)决策变量xj为非负。Page27线性规划问题的数学模型（2）如何化标准形式目标函数的转换如果是求极小值即，则可将目标函数乘以(-1)，可化为求极大值问题。jjxczmin也就是：令，可得到上式。zzjjxczzmax即若存在取值无约束的变量，可令其中：jxjjjxxx0,jjxx变量的变换Page28线性规划问题的数学模型约束方程的转换：由不等式转换为等式。ijijbxa0iniinjijxbxxa称为松弛变量ijijbxa0iniinjijxbxxa称为剩余变量变量的变换可令，显然0jxjjxx0jxPage29线性规划问题的数学模型例1.3将下列线性规划问题化为标准形式,0,523247532min321321321321321无约束xxxxxxxxxxxxxxxZ用替换，且解:（１）因为x3无符号要求，即x3取正值也可取负值，标准型中要求变量非负，所以33xx3x0,33xxPage30线性规划问题的数学模型(2)第一个约束条件是“≤”号，在“≤”左端加入松驰变量x4，x4≥0,化为等式；(3)第二个约束条件是“≥”号，在“≥”左端减去剩余变量x5，x5≥0；(4)第3个约束方程右端常数项为-5，方程两边同乘以(-1),将右端常数项化为正数；(5)目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z′=-z,得到maxz′=-z，即当z达到最小值时z′达到最大值，反之亦然;Page31线性规划问题的数学模型0,,,,,5)(252)(7)(500)(32max54332133215332143321543321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxZ标准形式如下：Page32线性规划问题的数学模型4.线性规划问题的解)3(,,2,1,0)2(),,2,1(.)1(max11njxmibxatsxcZjnjijijnjjj线性规划问题求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。Page33线性规划问题的数学模型可行解：满足约束条件②、③的解为可行解。所有可行解的集合为可行域。最优解：使目标函数达到最大值的可行解。基：设A为约束条件②的m×n阶系数矩阵(mn)，其秩为m，B是矩阵A中m阶满秩子矩阵（∣B∣≠0），称B是规划问题的一个基。设：)(11111mmmmmppaaaaB称B中每个列向量Pj(j=12……m)为基向量。与基向量Pj对应的变量xj为基变量。除基变量以外的变量为非基变量。Page34线性规划问题的数学模型基解：某一确定的基B，令非基变量等于零，由约束条件方程②解出基变量，称这组解为基解。在基解中变量取非0值的个数不大于方程数m，基解的总数不超过基可行解：满足变量非负约束条件的基本解，简称基可行解。可行基：对应于基可行解的基称为可行基。mnC非可行解可行解基解基可行解Page35线性规划问题的数学模型例1.4求线性规划问题的所有基矩阵。5,,1,0226103524max53214321321jxxxxxxxxxxxxZj解:约束方程的系数矩阵为2×5矩阵10261001115Ar(A)=2，2阶子矩阵有10个，其中基矩阵只有9个，即100116010211120101015061111005261161015987654321BBBBBBBBBPage36图解法线性规划问题的求解方法一般有两种方法图解法单纯形法两个变量、直角坐标三个变量、立体坐标适用于任意变量、但必需将一般形式变成标准形式下面我们分析一下简单的情况——只有两个决策变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线性规划基本原理和几何意义等优点。Page37图解法maxZ=2X1+X2X1+1.9X2≥3.8X1-1.9X2≤3.8s.t.X1+1.9X2≤10.2X1-1.9X2≥-3.8X1，X2≥0例1.5用图解法求解线性规划问题Page38图解法x1x2oX1-1.9X2=3.8(≤)X1+1.9X2=3.8(≥)X1-1.9X2=-3.8(≥)X1+1.9X2=10.2(≤)4=2X1+X220=2X1+X217.2=2X1+X211=2X1+X2Lo：0=2X1+X2（7.6，2）DmaxZminZ此点是唯一最优解，且最优目标函数值maxZ=17.2可行域maxZ=2X1+X2Page39图解法maxZ=3X1+5.7X2x1x2oX1-1.9X2=3.8(≤)X1+1.9X2=3.8(≥)X1-1.9X2=-3.8(≥)X1+1.9X2=10.2(≤)（7.6，2）DL0：0=3X1+5.7X2maxZ（3.8，4）34.2=3X1+5.7X2蓝色线段上的所有点都是最优解这种情形为有无穷多最优解，但是最优目标函数值maxZ=34.2是唯一的。可行域Page40图解法minZ=5X1+4X2x1x2oX1-1.9X2=3.8(≤)X1+1.9X2=3.8(≥)X1+1.9X2=10.2(≤)DL0：0=5X1+4X2maxZminZ8=5X1+4X243=5X1+4X2（0，2）可行域此点是唯一最优解Page41图解法006346321212121xxxxxxxx、246x1x2246无界解(无最优解)maxZ=x1+2x2例1.6x1+x2=4(≥)x1+