特级教师王盛裕老师数学竞赛讲座汇编

1数学竞赛辅导讲座一——数1、计算：1111(12)(123)(12320)2320．2、如果5555555555555554444666666233322n，那么n=_______．3、军训基地购买苹果慰问学员，已知苹果总数用八进制表示为abc，七进制表示为cba，那么苹果总数用十进制表示为_______．4、已知实数a满足|2006|2007aaa，那么a-20062的值是（）A、2006B、2007C、2008D、20095、设分数13(13)56nnn不是最简分数，那么正整数n的最小值可以是（）A、84B、68C、45D、1156、数272-1能被500与600之间的若干整数整除，试找出三个这样的整数，它们是________．7、n是自然数，19n+14与10n+3都是某个不等于1的自然数d的倍数，则d=________．8、设71a，则3a3+12a2-6a-12=（）A、24B、25C、4710D、47129、已知a、b是正整数，且满足15152ab是整数，则这样的有序数对（a，b）共有____对．10、设n是大于1909的正整数，使得19092009nn为完全平方数的n的个数有（）个A、3B、4C、5D、611、设an表示数n4的末位数，则a1+a2+…+a2008=________．12、如果对于某一特定范围内x的任意允许值，p=|1-2x|+|1-3x|+…+|1-10x|为定值，则定值为（）A、2B、3C、4D、513、若1,2,3xyyzzxxyyzzx，则x=______．214、试求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2009|的最小值．15、已知p、q均为素数，且满足5p2+3q=59，则以p+3，1-p+q，2p+q-4为边长的三角形是（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、等腰三角形16、若x1、x2、x3、x4、x5为互不相等的正奇数，满足(2005-x1)(2005-x2)(2005-x3)(2005-x4)(2005-x5)=242，则x12+x22+x32+x42+x52的末尾数字是（）A、1B、3C、5D、717、在数1、2、3、…、2008、2009前面任意添加上“+”或“-”进行计算，所得可能的最小非负数是________．18、设a、b、c为实数，2222,2,2362xabybczca，x、y、z中至少有一个值（）A、大于0B、等于0C、不大于0D、小于019、今天是星期日，若明天算第1天，则第13+23+…+20093天是星期_____．20、当x分别取111,,,,1,2,,2008,2009200920082时，计算代数式2211xx值，将所得的结果相加，其和等于（）A、-1B、1C、0D、200921、已知四个互不相等的正数x、y、m、n中，x最小，n最大，且x：y=m：n，试比较x+n与y+m的大小，并证明你的结论．22、计算：1111212322343341009999100．23、设x0，y0，且265xxyyxy，求23xxyyxxyy的值24、求221(4)4xx的最小值．25、设a、b、c为两两不相等的有理数，求证222111()()()abbcca为有理数．26、已知2009xy，且0xy，那么满足上述等式的整数对(x，y)的个数有多少？27、设111123980100S，如果用记号[S]表示不超过S的最大整数，试求3S．28、已知x、y是整数，并且13|(9x+10y)，求证：13|(4x+3y)．29、若a、b是整数，且7|(a+b)，7|(2a-b)，求证：7|(5a+2b)．30、正整数p、q都大于1，且2121,pqqp都是整数，求p+q．31、当n是正整数时，n4-6n2+25是质数还是合数？证明你的结论．32、已知a是自然数，问a4-3a2+9是质数还是合数？证明你的结论．33、试求出一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同．34、设a、b、c、d是正整数，并且a2+b2=c2+d2，证明a+b+c+d一定是合数．35、你能找到三个正整数a、b、c，使得关系式(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)=3388成立吗？如果能找到，请举一例；如果找不到，请说明理由．36、一个正整数a，若将其数字重新排列，可得到一个新的正整数b，如果a恰好是b的3倍，我们称a是一个“希望数”（1）请你举例：“希望数”一定存在；（2）请你证明：如果a、b都是“希望数”，则ab一定是729的倍数．37、将自然数1、2、3、…、21这21个数，任意地放在一个圆周上，证明：一定有相邻的三个数，它们的和不小于33．38、设121x，a是x的小数部分，b是-x的小数部分，求333abab的值．39、设a、b都是整数，求证：a，b，a2+b2，a2-b2中一定有一个被5整除．40、若一个数能够表示成2222xxyy(x，y是整数)的形式，则称该数为“好数”（1）试判断29是否为好数；（2）写出80，81，…，100中的好数；（3）如果m，n都是好数，证明mn也是好数．41、有三堆小石子的个数分别是19、8、9，现在进行如下的操作：每次从三堆中的任意两堆中取出1个石子，然后把这两个石子都加到另一堆中，试问能否进过若干次这样的操作后，使得（1）三堆的石子数分别是2、12、22？4（2）三堆的石子数都是12？如能达到要求，请用最小的操作次数完成它，如不能达到，请说明理由．注：每次操作可用如下方式表示，比如从第一、二堆中各取出一个石子，加到第三堆上，可表示为（19，8，9）→（18，7，11）等等．42、求证2为无理数．43、已知p为大于3的质数，证明p的平方被24除的余数是1．44、已知M是一个四位的完全平方数，若将M的千位数字减少3而各位数字增加3可以得到另一个完全平方数，则M=_________．45、在“□1□2□3□4□5□6□7□8□9”的小方格中填上“+”或“-”号，如果可以使其代数和为n，就称n是“可被表出的数”，否则，就称n是“不可被表出的数”（如1是可被表出的数，这是因为1+2-3-4+5+6-7-8+9是1的一种可被表出的方法）（1）求证：7是可被表出的数，而8是不可被表出的数；（2）求25可被表出的不同方法种数．5数学竞赛辅导讲座二——式1、已知x为实数，则20082000xx的最大值是_______．2、已知a+b+c=11与1111317abbcca，则abcbccaab的值是____．3、已知实数a，b，c满足(a+b)(b+c)(c+a)=0，且abc0，则代数式||||||abcabc的值是___．4、已知a，b为实数，且ab=1，a≠1，设11,1111abMNabab，则M-N=____．5、a，b，c不全为0，满足a+b+c=0，a3+b3+c3=0，称使得an+bn+cn=0恒成立的正整数n为“好数”，则不超过2007的正整数中好数的个数为（）A、2B、1004C、2006D、20076、设22119xxyy，则2211xyyx=______．7、设a，b，c的积为负数，和为正数，且||||||||||||abcabbccaxabcabbcca，则321axbxcx的值为（）A、0B、1C、2D、-18、若|x-a|=a-|x|(x≠0，a≠0)，则222222aaxxaaxx=（）A、2aB、2xC、-2aD、-2x9、若a，b为实数，满足111abab，则baab的值为（）A、-1B、0C、12D、-2x10、设a，b，c为互不相同的有理数，满足2222bac，则满足条件的a，b，c共有（）组A、0B、1C、2D、411、已知11,2323xy，则3312xxyy=___________．612、化简：2623的结果是（）A、1B、3C、2D、4/13、分式222253051611xxyyxxyy的最小值是（）A、-5B、-3C、5D、314、非零实数a，b，c，x，y，z满足关系式xyzabc，则()()()()()()xyzabbccaabcxyyzzx=_____．15、已知x，y，z为实数，若2222221,2,2xyyzxz，则xy+yz+zx的最小值为（）A、52B、12+3C、-12D、12-316、若44222226abaabb，则22ab=_____．17、若实数x，y满足703392xyxyxyxy，则22xyxy=_______．18、设x，y为实数，代数式2254824xyxyx的最小值为_______．19、已知实数a，b，c满足27,160abcabbcbc，则ba的值等于_____．20、分解下列因式：（1）2(61)(21)(31)(1)xxxxx（2）42221xxaxa（3）322222422xxzxyxyzxyyz（4）444()xyxy（5）22276212xxyyxy（6）32211176xx（7）12931xxx（8）33221ababab21、使27mm为完全平方数的正整数m的个数为__________．22、若实数a满足322331132aaaaaa，则1aa=________．．23、已知实数x，y满足22200820082008xxyy，则2232332007xyxy的值为（）7A、-2008B、2008C、-1D、124、设512a，则5432322aaaaaaa=________．25、设a，b，c，d都是正整数且5432,abcd，求d-b的值．26、若2223331,2,3xyzxyzxyz，求444xyz的值．27、若22221,1,0abcdacbd，试求ab+cd的值．28、已知xyz0，求合适等式xyz+xy+yz+zx+x+y+z=1989的整数x，y，z的值．29、已知一组数据4，-2，0，2，x的极差是10，求x的值．30、设1219,,,xxx都是正整数，且满足121995xxx，求2221219xxx的最大值．31、实数a，b满足222136121032aaaabb，求22ab的最大值．32、计算：2200820092010201112009．33、当x变化时，求分式22365112xxxx的最小值．34、已知xyzuyzuzuxuxyxyz，求xyyzzuuxzuuxxyyz的值．35、求证：（1）一个自然数的平方被7除的余数只能是0，1，4，2；（2）对任意正整数n，(2)(4)(6)nnnn不被7整除．36、12,,,nxxx为实数，21222212nnxxxxxxn，求证：12nxxx．37、已知a，b，c均为正整数，且满足222abc，有a为质数，求证：（1）b与c这两个数的乘积为偶数；（2）2(a+b+1)是完全平方数．838、设a，b，c均是不等于0的实数，且满足22abbc及22bcca，证明：22acab．39、设实数x，y满足22111xxyy，求x+y的值．40、已知a，b，c为实数，证明2222(),(),(),()abcabcbcacab这四个代数式