周世勋《量子力学教程》-习题解答

1《量子力学教程》习题解答《量子力学教程》习题解答说明•为了满足量子力学教学和学生自学的需要，完善精品课程建设，我们广工大编写了周世勋先生编写的《量子力学教程》的课后习题解答。本解答共分七章，其中第六章为选学内容。•第一章第二章第三章第四章第五章•第六章(暂无)第七章3目录•第一章绪论•第二章波函数和薛定谔方程•第三章力学量的算符表示•第四章态和力学量的表象•第五章微扰理论•第六章弹性散射(无)•第七章自旋和全同粒子41.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：CmbbTm03109.2,。证明：由普朗克黑体辐射公式：dechdkTh11833，及c、dcd2得1185kThcehc，令kThcx，再由0dd，得.所满足的超越方程为15xxexe用图解法求得97.4x，即得97.4kThcm，将数据代入求得Cm109.2,03bbTm第一章绪论51.2．在0K附近，钠的价电子能量约为3eV,求deBroglie波长.解：010A7.09m1009.72mEhph#1.3.氦原子的动能为kTE23，求KT1时氦原子的deBroglie波长。解：010A63.12m1063.1232mkThmEhph其中kg1066.1003.427m，123KJ1038.1k#1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求：（1）一维谐振子的能量。（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。已知外磁场T10B，玻尔磁子123TJ10923.0B，求动能的量子化间隔E，并与K4T及K100T的热运动能量相比较。解：（1）方法1：谐振子的能量222212qpE6可以化为12222222EqEp的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为22,2EbEa，相空间面积为,2,1,0,2nnhEEabpdq所以，能量,2,1,0,nnhE方法2：一维谐振子的运动方程为02qq，其解为tAqsin速度为tAqcos，动量为tAqpcos，则相积分为nhTAdttAdttApdqTT2)cos1(2cos220220222，,2,1,0nnhTnhAE222，,2,1,0n7（2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。由RvevB2，得eBvR再由量子化条件,3,2,1,nnhpdq，以22,eBRRRvp分别表示广义坐标和相应的广义动量，所以相积分为nheBRRvdpdp22022，,2,1n，由此得半径为eBnR，,2,1n。电子的动能为BneBnBeeBRvEB2222212121动能间隔为JBEB23109热运动能量（因是平面运动，两个自由度）为kTE，所以当K4T时，JE231052.4；当K100T时，JE211038.1。81.5两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子的能量相等，问要实现这种转化，光子波长最大是多少？解：转化条件为2che，其中e为电子的静止质量，而c，所以che，即有083134maxA024.0103101.910626.6cech（电子的康普顿波长）。9第二章波函数和薛定谔方程2.1.证明在定态中，几率流与时间无关。证：对于定态，可令)]r()r()r()r([m2i]e)r(e)r(e)r(e)r([m2i)(m2iJe)r()t(f)r()tr(**EtiEti**EtiEti**Eti）（）（，可见tJ与无关。102.2由下列定态波函数计算几率流密度：ikrikrerer1)2(1)1(21从所得结果说明1表示向外传播的球面波，2表示向内(即向原点)传播的球面波。解：分量只有和rJJ21在球坐标中sinr1er1err0rmrkrmrkrrikrrrikrrmirerrererrermimiJikrikrikrikr30202201*1*111)]11(1)11(1[2)]1(1)1(1[2)(2)1(rJ1与同向。表示向外传播的球面波。11rmrkrmrkrrikrrrikrrmirerrererrermimiJikrikrikrikr3020220*2*222)]11(1)11(1[2)]1(1)1(1[2)(2)2(可见，rJ与2反向。表示向内(即向原点)传播的球面波。补充：设ikxex)(，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？dxdx*∴波函数不能按1)(2dxx方式归一化。其相对位置几率分布函数为12表示粒子在空间各处出现的几率相同。122.3一粒子在一维势场axaxxxU，，，000)(中运动，求粒子的能级和对应的波函数。解：txU与)(无关，是定态问题。其定态S—方程)()()()(2222xExxUxdxdm在各区域的具体形式为Ⅰ：)()()()(20111222xExxUxdxdmx①Ⅱ：)()(2022222xExdxdmax②13Ⅲ：)()()()(2333222xExxUxdxdmax③由于(1)、(3)方程中，由于)(xU，要等式成立，必须0)(1x0)(2x即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程(2)可变为0)(2)(22222xmEdxxd令222mEk，得0)()(22222xkdxxd其解为kxBkxAxcossin)(2④14根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得)0()0(12⑤)()(32aa⑥⑤0B⑥0sinkaA),3,2,1(0sin0nnkakaA∴xanAxsin)(2由归一化条件1)(2dxx得1sin022axdxanA由mnabaxdxanxam2sinsin15xanaxaAsin2)(22222mEk),3,2,1(22222nnmaEn可见E是量子化的。对应于nE的归一化的定态波函数为axaxaxxeanatxtEinn,,00,sin2),(162.4.证明（2.6-14）式中的归一化常数是aA1证：axaxaxanAn,0),(sin由归一化，得aAaxannaAaAdxaxanAxAdxaxanAdxaxanAdxaaaaaaaaaan222222222)(sin2)(cos22)](cos1[21)(sin1∴归一化常数aA1172.5求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。解：222122)(xxex22222322211224)()(xxexexxx22]22[2)(3231xexxdxxd令0)(1dxxd，得xxx10由)(1x的表达式可知，xx0，时，0)(1x。显然不是最大几率的位置。2222)]251[(4)]22(2)62[(2)(44223322223212xxexxexxxxdxxd而0142)(321212edxxdx，可见1x是所求几率最大的位置。#182.6在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：)()(xUxU，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为)()()()(2222xExxUxdxd①将式中的)(xx以代换，得)()()()(2222xExxUxdxd②利用)()(xUxU，得)()()()(2222xExxUxdxd③比较①、③式可知，)()(xx和都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此)()(xx和之间只能相差一个常数c。方程①、③可相互进行空间反演)(xx而得其对方，由①经xx反演，可得③，)()(xcx④由③再经xx反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。)()(xcx⑤④乘⑤，得)x()x(c)x()x(2，可见，12c，所以1c当1c时，)x()x(，)(x具有偶宇称，当1c时，)()(xx，)(x具有奇宇称，当势场满足)()(xUxU时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。192.7一粒子在一维势阱中axaxUxU,0,0)(0运动，求束缚态(00UE)的能级所满足的方程。解：粒子所满足的S-方程为)()()()(2222xExxUxdxd按势能)(xU的形式分区域的具体形式为Ⅰ：)x(E)x(U)x(dxd21101222ax①Ⅱ：)()(222222xExdxdaxa②Ⅲ：)x(E)x(U)x(dxd23303222xa③20整理后，得Ⅰ：0)(21201EU④Ⅱ：.0E2222⑤Ⅲ：0)(23203EU⑥令22220212)(2EkEUk则Ⅰ：01211k⑦Ⅱ：.02222k⑧Ⅲ：01213k⑨各方程的解为xkxk3222xkxk11111FeEexkcosDxksinCBeAe21由波函数的有限性，有0)(0)(31EA有限有限因此xk3xk111FeBe由波函数的连续性，有)13(FekaksinDkakcosCk),a()a()12(FeakcosDaksinC),a()a()11(aksinDkakcosCkBek),a()a()10(akcosDaksinCBe),a()a(ak1222232ak22322222ak12122ak211111整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得0FekaDksinkaCkcosk00FeaDkcosaCksin000DaksinkaCkcoskBek00aDkcosaCksinBeak12222ak222222ak122ak111122解此方程即可得出B、C、D、F，进而得出波函数的具体形式，要方程组有非零解，必须0Bekaksinkakcosk0eakcosaksin00aksinkakcoskek0akcosaksineak12222ak222222ak122ak1111]ak2coskk2ak2sin)kk[(e]ak2sinkak2sinkak2coskk2[e]aksine