第十一章 第2节 对坐标的曲线积分

2一、问题的提出oxyABL1nMiM1iM2M1M实例:变力沿曲线所作的功,:BALjyxQiyxPyxF),(),(),(常力所作的功分割.),,(,),,(,1111110BMyxMyxMMAnnnn][方法niiWW1ABFW3求和.]),(),([1niiiiiiiyQxP取极限.]),(),([lim10niiiiiiiyQxPW近似值精确值,),(),(),(jQiPFiiiiii取,),(iiiiiMMFW1.),(),(iiiiiiiyQxPW即niiWW1oxyABL1nMiM1iM2M1M),(iiFixiy.)()(jyixMMiiii1近似niiiixP10),(limniiiiyQ10),(lim4二、对坐标的曲线积分的概念,0.),(,,).,;,,2,1(),(,),,(),,(.),(),,(,11101111222111时长度的最大值如果当各小弧段上任意取定的点为点设个有向小弧段分成把上的点用上有界在函数向光滑曲线弧的一条有到点面内从点为设iiiiiiiiiiniinnnMMyyyxxxBMAMniMMnLyxMyxMyxMLLyxQyxPBAxoyL1.定义5.),(lim),(,(),(,),(101iiniiLniiiixPdxyxPxLyxPxP记作或称第二类曲线积分）积分的曲线上对坐标在有向曲线弧数则称此极限为函的极限存在类似地定义.),(lim),(10iiniiLyQdyyxQ,),(),,(叫做被积函数其中yxQyxP.叫积分弧段L62.存在条件：.,),(),,(第二类曲线积分存在上连续时在光滑曲线弧当LyxQyxP3.组合形式LLLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(.,jdyidxdsjQiPF其中.LdsF7:变力在曲线上的作功4LdyyxQdxyxP),(),(:问题?),(其物理意义dxyxPL:闭曲线的积分表示5记是封闭曲线若,LLdyyxQdxyxP),(),(niiiixPW10),(limniiiiyQ10),(lim86.推广空间有向曲线弧.),,(lim),,(10iiiniixPdxzyxP.RdzQdyPdx.),,(lim),,(10iiiniiyQdyzyxQ.),,(lim),,(10iiiniizRdzzyxR97.性质.,)1(2121LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLLL则和分成如果把则有向曲线弧方向相反的是与是有向曲线弧设,,)2(LLL即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(10三、对坐标的曲线积分的计算,),(),(,0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),,(22存在则曲线积分且续导数一阶连为端点的闭区间上具有及在以运动到终点沿的起点从点时到变单调地由当参数的参数方程为续上有定义且连在曲线弧设LdyyxQdxyxPttttBLALyxMttytxLLyxQyxP定理基本思想：.,,积分限由起点到终点化为定积分统一变量11dttttQtttPdyyxQdxyxPL)}()](),([)()](),([{),(),(且特殊情形.)(:)1(baxxyyL，终点为起点为.)}()](,[)](,[{dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL则.)(:)2(dcyyxxL，终点为起点为.]}),([)(]),([{dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL则12.,,)()()(:)3(终点起点推广ttztytxdtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)}()](),(),([)()](),(),([)()](),(),([{13例1.)1,1()1,1(,2的一段弧到上从为抛物线其中计算BAxyLxydxL解的定积分，化为对x)1(.xyOBAOLxydxxydxxydx1001)(dxxxdxxx10232dxx.54xy2)1,1(A)1,1(B14的定积分，化为对y)2(,2yxABLxydxxydx1122)(dyyyy.11到从y1142dyy.54xy2)1,1(A)1,1(B15例2).,(),,(),(,,)(;),(),()(;),(),()(,110100311002110012222依次是点，这里有向折线的一段弧到上从抛物线的一段弧到上从抛物线为其中计算BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxL2xy)0,1(A)1,1(B解.)1(的积分化为对x,10,:2变到从xxyL1022)22(dxxxxx原式1034dxx.116)0,1(A)1,1(B2yx.的积分化为对y,10,:2变到从yyxL1042)22(dyyyyy原式1045dyy.1)0,1(A)1,1(BABOAdyxxydxdyxxydx2222原式).1,1(),0,1)(0,0(,,)3(;)1,1()0,0()2(,222依次是点，这里有向折线的一段弧到上从抛物线为其中计算BAOOABBOyxLdyxxydxL例2解（2）解（3）17,上在OA,10,0变到从xy1022)002(2dxxxdyxxydxOA.0,上在AB,10,1变到从yx102)102(2dyydyxxydxAB.110原式.1)0,1(A)1,1(B.,:但积分值相同虽然路径不同由此知:问题?积分值是否都相同起点和终点相同的曲线18.)0,()0,()2(;)1(,2的直线段轴到点沿从点的上半圆周针方向绕行、圆心为原点、按逆时半径为为其中计算aBxaAaLdxyL例3解,sincos:)1(taytaxL，变到从0t)0,(aA)0,(aB0原式dttata)sin(sin2219)0,(aA)0,(aB.343a,0:)2(yL，变到从aaxaadx0原式.0由此知：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同，积分结果也可以不同.03a)(cos)cos1(2tdt:结论.,,而且与路径有关不但与起止点有关对坐标的曲线积分值20如图其中LdyxydxL,2BCABL弧BCLAB弧BC方程为xy2BCdyxydx2dxxx01212)()(6112201dxxx)(弧ABdyxydx2dxxxx)(22211322211dxx67611322)(Ldyxydx4例:解21B)0,0,(RA例5.设在力场zxyF,,作用下,质点由沿移动到,其中为)2,0,(kRB)0,0,(RAAB:)(2解:(1)dsFWzdzxdyydxtdtkR2022)((2)设的参数方程为kttzyRx200:,,,dsFWABzdzxdyydxktdt20试求力场对质点所作的功.201:,sin,cos:)(ttkztRytRx)(222Rk222k22ozyx例6.求zdyxydzxdxyzI)()()(其中,2122zyxyx从z轴正向看去为顺时针方向.解:取的参数方程,sin,costytx):(sincos022tttz02[Itttcos)sincos(22tdtttt])sin)(cossin(costdt)cos(22041)sin)(cos(tt2223三.两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧L(A到B)以弧长为参数的参数方程为)()(,)(lssyysxx0.sincos,cossdydsdxd则两类曲线积分有如下联系LdyyxQdxyxP),(),(sdsdydyxQsdxdyxPL)),(),((LsdyxQyxPcos),(cos),(的关系与由弧微分dydxds,ds24类似地,在空间曲线上的两类曲线积分的联系是dzRdyQdxPsdRQPcoscoscos令,,,RQPA,cos,cos,costzdyddxds,,dsAsdtA向余弦沿弧向的切线向量的方上点为有向弧其中),,(cos,cos,coszyxAB257例)1,1()0,0(:,),(),(2BOxyLdyyxQdxyxPL到从点沿其中化为对弧长的曲线积分把:解)(),(向沿处切向量中任一点OByxL},{xT212xyxx方向余弦,cos2411x.cos2412xxLLdsxyxxQyxPdyyxQdxyxP2412),(),(),(),(?:反向若思考L26例8.设,max22QPMs是曲线段L的长度,),(,),(yxQyxP在L上连续,证明sMQdyPdxL证:LQdyPdxsdQPLcoscossdQPL22sdQPLcoscossincosQPsdQPL)sin(22sMsincos222222QPQQPPQP27Lyxdyyxdxyx22)()(计算曲线积分,L其中为圆周222ayx(按逆时针方向饶行)；练习答案228四、小结1、对坐标曲线积分的概念2、对坐标曲线积分的计算3、两类曲线积分之间的联系29200211P习题83275314874213),)((,),)((),)()()()((30思考题当曲线L的参数方程与参数的变化范围给定之后（例如L：taxcos，taysin，]2,0[t，a是正常数），试问如何表示L的方向（如L表示为顺时针方向、逆时针方向）？31思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定.例如L：taxcos，taysin，]2,0[t中当t从0变到2时，L取逆时针方向;反之当t从2变到0时，L取顺时针方向.32一、填空题:1、对______________的曲线积分与曲线的方向有关；2、设0),(),(dyyxQdxyxPL,则LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(____________；3、在公式dyyxQdxyxPL),(),(dttttQtttP)}()](,)([)()](,)([{中,下限对应于L的____点,上限对应于L的____点；4、两类曲线积分的联系是______________________________________________________.练习题33二、计算下列对坐标的曲线积分:1、Lxydx,L其中为圆周)0()(222aayax及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)；2、