第4章 传感器的特性

第四章传感器的特性•传感器的定义与组成•传感器的分类传感器特性主要是指输出与输入之间的关系。传感器的特性传感器输出与输入关系可用微分方程来描述。理论上，将微分方程中的一阶及以上的微分项取为零时，即得到静态特性。因此，传感器的静态特性只是动态特性的一个特例。当输入量随时间较快地变化时，这一关系称为动态特性。当输入量为常量，或变化极慢时，这一关系称为静态特性；实际上传感器的静态特性要包括非线性和随机性等因素，如果把这些因素都引入微分方程．将使问题复杂化。为避免这种情况，总是把静态特性和动态特性分开考虑。传感器的输出与输入具有确定的对应关系最好呈线性关系。但一般情况下，输出输入不会符合所要求的线性关系，同时由于存在迟滞、蠕变、摩擦、间隙和松动等各种因素以及外界条件的影响，使输出输入对应关系的唯一确定性也不能实现。考虑了这些情况之后，传感器的输出输入作用图大致如图所示。传感器除了描述输出输入关系的特性之外，还有与使用条件、使用环境、使用要求等有关的特性。稳定性(零漂)传感器温度供电各种干扰稳定性温漂分辨力冲击与振动电磁场线性滞后重复性灵敏度输入误差因素外界影响传感器输入输出作用图输出取决于传感器本身，可通过传感器本身的改善来加以抑制，有时也可以对外界条件加以限制。衡量传感器特性的主要技术指标传感器的静态特性•传感器的静态特性：在稳态信号作用下的输入－输出关系。不含有时间变量。–线性度–灵敏度–迟滞–重复性–漂移一、静态特性技术指标1．线性度传感器的输出输入关系或多或少地存在非线性。在不考虑迟滞、蠕变、不稳定性等因素的情况下，其静态特性可用下列多项式代数方程表示：式中：y—输出量；x—输入量；a0—零点输出；a1—理论灵敏度；a2、a3、…、an—非线性项系数。y=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn•传感器的输入、输出间成线性关系的程度yx0(a)理想线性yx0(b)只有偶次非线性项yx0(c)只有奇次非线性项yx0(d)实际特性曲线图3.1线性度各项系数不同，决定了特性曲线的具体形式。非线性特性的“线性化”ooo图3.2输出-输入特性的非线性maxLmaxLmaxLmXmXmXxxxyyyFSYFSYFSY静态特性曲线可实际测试获得。在获得特性曲线之后，可以说问题已经得到解决。但是为了标定和数据处理的方便，希望得到线性关系。这时可采用各种方法，其中也包括硬件或软件补偿，进行线性化处理。通常用相对误差γL表示：ΔLmax一最大非线性误差；yFS—量程输出。在采用直线拟合线性化时，输出输入的校正曲线与其拟合曲线之间的最大偏差，就称为非线性误差或线性度一般来说，这些办法都比较复杂。所以在非线性误差不太大的情况下，总是采用直线拟合的办法来线性化。非线性偏差的大小是以一定的拟合直线为基准直线而得出来的。拟合直线不同，非线性误差也不同。所以，选择拟合直线的主要出发点，应是获得最小的非线性误差。另外，还应考虑使用是否方便，计算是否简便。ef=±(ΔLmax/yFS)×100%①理论拟合；②端点连线平移拟合；③端点连线拟合；④过零旋转拟合；⑤最小二乘拟合；⑥最小包容拟合直线拟合方法a)理论拟合b)过零旋转拟合c)端点连线拟合d)端点连线平移拟合设拟合直线方程：0yyixy=kx+bxI最小二乘拟合法min2112niiiniibkxy最小二乘法拟合y=kx+b若实际校准测试点有n个，则第i个校准数据与拟合直线上响应值之间的残差为最小二乘法拟合直线的原理就是使为最小值，即Δi=yi-(kxi+b)对k和b一阶偏导数等于零，求出a和k的表达式2i2i即得到k和b的表达式022iiiixbkxyk0122bkxybiii22iiiiiixxnyxyxnk222iiiiiiixxnyxxyxb将k和b代入拟合直线方程，即可得到拟合直线，然后求出残差的最大值Lmax即为非线性误差。2．迟滞0yx⊿HmaxyFS迟滞特性%100/2/1maxFSHHy式中△Hmax—正反行程间输出的最大差值。迟滞误差的另一名称叫回程误差。回程误差常用绝对误差表示。检测回程误差时，可选择几个测试点。对应于每一输入信号，传感器正行程及反行程中输出信号差值的最大者即为回程误差。传感器在正(输入量增大)反（输入量减小）行程中输出输入曲线不重合称为迟滞。迟滞特性如图所示，它一般是由实验方法测得。迟滞误差一般以满量程输出的百分数表示,即3．重复性yx0⊿Rmax2⊿Rmax1%100/maxFSRRy重复性误差可用正反行程的最大偏差表示，即重复性是指传感器在输入按同一方向连续多次变动时所得特性曲线不一致的程度。重复性误差也常用绝对误差表示。检测时也可选取几个测试点，对应每一点多次从同一方向趋近，获得输出值系列yi1，yi2，yi3，…，yin，算出最大值与最小值之差或3σ作为重复性偏差ΔRi，在几个ΔRi中取出最大值ΔRmax作为重复性误差。△Rmax1正行程的最大重复性偏差，△Rmax2反行程的最大重复性偏差。%100/)3~2(FSRy4．灵敏度与灵敏度误差γs=(Δk/k)×100%由于某种原因，会引起灵敏度变化，产生灵敏度误差。灵敏度误差用相对误差表示，即可见，传感器输出曲线的斜率就是其灵敏度。对线性特性的传感器，其特性曲线的斜率处处相同，灵敏度k是一常数，与输入量大小无关。K=Δy/Δx传感器输出的变化量y与引起该变化量的输入变化量x之比即为其静态灵敏度，其表达式为被测量随时间变化的形式可能是各种各样的，只要输入量是时间的函数，则其输出量也将是时间的函数。通常研究动态特性是根据标准输入特性来考虑传感器的响应特性。二、传感器的动态特性动态特性指传感器对随时间变化的输入量的响应特性。标准输入有三种：经常使用的是前两种。正弦变化的输入阶跃变化的输入线性输入1．数学模型与传递函数分析传感器动态特性，必须建立数学模型。线性系统的数学模型为一常系数线性微分方程。对线性系统动态特性的研究，主要是分析数学模型的输入量x与输出量y之间的关系，通过对微分方程求解，得出动态性能指标。对于线性定常（时间不变）系统，其数学模型为高阶常系数线性微分方程，即xbdtdxbdtxdbyadtdyadtydammmnnn0101////y——输出量；x——输入量；t——时间a0，a1，…，an——常数；b0，b1，…，bm——常数——输出量对时间t的n阶导数；——输入量对时间t的m阶导数nndtyd/mmdtxd/返回2返回1动态特性的传递函数在线性或线性化定常系统中是指初始条件为0时，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。当传感器的数学模型初值为0时，对其进行拉氏变换，即可得出系统的传递函数0101)()()(asasabsbsbsWsXsYnnmmY(s)——传感器输出量的拉氏变换式；X(s)——传感器输入量的拉氏变换式上式分母是传感器的特征多项式，决定系统的“阶”数。可见，对一定常系统，当系统微分方程已知，只要把方程式中各阶导数用相应的s变量替换，即求出传感器的传递函数。正弦输入下传感器的动态特性（即频率特性）由传递函数导出0101)()()()()()()(ajajabjbjbjWjXjYnnmm)(jW为一复数，它可用代数形式及指数形式表示，即)(jWjkejkk21=式中—分别为的实部和虚部；—分别为的幅值和相角；)(jW、k21kk、)(jW2221kkK=12/tankk可见，K值表示了输出量幅值与输入量幅值之比，即动态灵敏度，K值是ω的函数，称为幅频特性，以K(ω)表示。1．动态响应（正弦和阶跃）（1）正弦输入时的频率响应零阶传感器在零阶传感器中，只有a0与b0两个系数，微分方程为a0y=b0xKxxaby)/(00K——静态灵敏度零阶输入系统的输入量无论随时间如何变化，其输出量总是与输入量成确定的比例关系。在时间上也不滞后，幅角等于零。如电位器传感器。在实际应用中，许多高阶系统在变化缓慢、频率不高时，都可以近似地当作零阶系统处理。一阶传感器微分方程除系数a1，a0，b0外其他系数均为0，则a1(dy/dt)+a0y=b0xxabydtdyaa0001Kxydtdyτ—时间常数(τ=a1/a0)；K——静态灵敏度(K=b0/a0)sKsW1)(传递函数：频率特性：jKjW1)(2)(1)(KjW幅频特性：相频特性：)arctan()(负号表示相位滞后时间常数τ越小，系统的频率特性越好二阶传感器很多传感器，如振动传感器、压力传感器等属于二阶传感器，其微分方程为：xbyadtdyadtyda001222//kXYss1222τ—时间常数，；ω0—自振角频率,ω0=1/τξ—阻尼比，；k—静态灵敏度，k=b0/a02/aa2012/aaajkjW21/222222)2()1(/)(kk)1/(2arctan)(22不同阻尼比情况下相对幅频特性即动态特性与静态灵敏度之比的曲线如图。传递函数幅频特性相频特性频率特性12/2sskjW2.42.22.01.81.61.41.21.00.80.60.40.200.511.522.5(a)ωτ(b)0-30°-60°-90°-120°-150°-180°0.511.522.5ωτξ=0ξ=0.2ξ=0.4ξ=0.6ξ=1ξ=0.8ξ=0.707ξ=0ξ=0.2ξ=0.4ξ=0.6ξ=0.707ξ=0.8ξ=1ξ=0.8ξ=1ξ=0.707ξ=0.6ξ=0.4ξ=0.2ξ=0二阶传感器幅频与相频特性（a）幅频特性（b）相频特性当ξ→0时，在ωτ=1处k(ω)趋近无穷大，这一现象称之为谐振。随着ξ的增大，谐振现象逐渐不明显。当ξ≥0.707时，不再出现谐振，这时k(ω)将随着ωτ的增大而单调下降。阻尼比的影响较大。（2）阶跃输入时的阶跃响应一阶传感器的阶跃响应对一阶系统的传感器，设在t=0时，x和y均为0，当t0时，有一单位阶跃信号输入,如图。此时微分方程为tx01(dy/dt)+a0y=b1(dx/dt)+b0x齐次方程通解：/11teCy非齐次方程特解：y2=1(t0)方程解：1/121teCyyytx01以初始条件y(0)=0代入上式，即得t=0时，C1=-1，所以/1tey输出的初值为0,随着时间推移y接近于1,当t=τ时,y=0.63在一阶系统中,时间常数值是决定响应速度的重要参数。二阶传感器的阶跃响应单位阶跃响应通式ω0——传感器的固有频率；ζ——传感器的阻尼比特征方程022002根据阻尼比的大小不同，分为四种情况：1）0＜ξ＜1(有阻尼)：该特征方程具有共轭复数根/)1(22,1j方程通解32221/1sin1cos)(AtAtAetyt根据t→∞,y→kA求出A3；根据初始条件,0)0(,0)0(,0yyt求出A1、A2，则令x=AkAydtdydtyd/2/222其曲线如图，这是一衰减振荡过程,ξ越小,振荡频率越高,衰减越慢。tw0.021ttmδmξ1的二阶传感器的过渡过程(设允许相对误差γy=0.02)21mt2)ξ=0(零阻尼)：输出变成等幅振荡，即)/sin(10tkAty)/exp(mmt发生时间过冲量稳定时间tW=4τ/ξ2221arctan1sin1)/exp(1ttkAty)(/)(yty4）ξ1（过阻尼）：特征