流体力学(热能)第5章 不可压缩流体动力学基础概要

第七章不可压缩流体动力学基础本章讨论三元流动，主要内容是有关流体运动的基本概念和基本原理，以及不可压缩流体流动的基本方程。积分形式的基本方程用于解决控制面上的流动参数问题。微分方程可用于解决流动参数在流场中的分布问题。平移运动旋转运动线变形、变形运动角变形dxABDCEFMuyuxdy§7-1流体微团运动的分析一、运动形式1、流体微团：指体积微小，随流体一起运动的一团流体物质。与流体质点不同，虽体积微小，但包含无数个流体质点。各质点间存在着相对位置的变化。2、基本运动形式二、运动分析以二元流动的情况为例，研究几种基本运动形式的速度表达式。如图，方形流动微团xuMABCD2dxxuuxxyu2dxxuuyy2dyyuuxx2dyyuuyy2dxxuuxx2dxxuuyy2dyyuuxx2dyyuuyyxuyuzu各侧边中点A、B、C、D的流速分量分别为1、平移运动速度2、线变形速度xudxdtdxdtxuxxxX方向线变形速度dxxuxA、C两点速度差值：差值为正，发生伸长变形。xuxxyuyyzuzzABDCEFM)(21)(21)(21zuyuxuzuyuxuyzxzxyxyz222zyxzyxkji大小xzy3、旋转角速度逆时针为正对角线EMF的旋转角速度定义为整个流体微团在oxy平面上的旋转角速度。方向：右手定则)(21)(21yuxuyuxuxuxuxyxyyzyz)(21)(21)(21yuxuxuzuzuyuxyzzxyyzx4、角变形速度z直角边AMC（或BMD）与对角线EMF的夹角的变形速度定义为流体微团的角变形速度，记为，表示在xoy平面上的角变形速度。三元流动：的下标表示发生角变形的所在平面的法线方向。三、亥姆霍兹速度分解定理（了解）设流体微团内某点M0(x,y,z),速度为、、，则邻边M0的另一点M(x+dx,y+dy,z+dz)的速度为展开…….，变换整理得0xu0yu0zuxxxduuu0yyyduuu0zzzduuu0xdudzdydxdzdyuuyzxyzxx0dxdzdydxdzuuzxyzxyy0dydxdzdydxuuxyzxyzz0平移旋转线变形角变形0yu0xu0zu0MMkjizyx2zuyuyzxxuzuzxyyuxuxyztzyx,,,2涡量场xzy§7-2有旋流动0zyxxyz无旋流动：（详见第8章）有旋流动：、、至少有一个不等于零。涡量：涡线，涡线方程，涡量连续性方程涡通量：斯托克斯方程，汤姆逊定理1、涡量u0zyxzyx0)(u：哈米尔顿算子，矢性微分算子zyxdzdydx3、涡线，涡线方程涡线：表示某一瞬时流体质点旋转角速度向量方向的曲线。2、涡量连续性微分方程二、涡通量涡量在投影为，则为涡通量。nndAAn1、定义：A1A2AnndxdydzdxdydzdAAdJAzAyAxAnA对有旋转流动，在同一瞬间，通过同一涡管的各截面的涡通量相等。dAdAAnAn21dzudyudxusduzysxsdAdAdAdAdxdyyuxudzdxxuzudydzzuyudzudyudxuAnzzyyxAxAxyzxyzzysx2、涡通量的计算（1）速度环量：流速沿封闭曲线s的积分。s正向为逆时针方向。斯托克斯公式：AsJ0dtdns为流场中任意封闭曲线A是S所围成的曲面是曲面A的外法线单位向量。结论：沿任意封闭曲线S的速度环量等于通过以该曲线为边界的曲面A的涡通量。斯托克斯定理（2）汤姆逊定理（了解）在理想流体的涡量场中，如果质量力具有单值的势函数，那么沿由流体质点所组成的封闭曲线的速度环量不随时间而变。即：推论：质量力具有单值势函数的理想流体的流动，如果在某一时刻是有旋流，那么此前、此后也是有旋流。如果为无旋流，那么此前、此后也是无旋流。自学：P186例[7-2]0zuyuxuzyxdxdydzdtxudydzdtdxxuudydzdtdxxuuxxxxx)2()2(§7-3不可压缩流体连续性微分方程净流体体积=流出－流入2、分析推导：微元分析法依据质量守恒定律，取微小平行六面体，中心M（x,y,z)，ux、uy、uz，x方向，dt时间0zurururuzrr（柱面坐标形式）1、方程：同理y方向：dxdydzdtyuyz方向：dxdydzdtzuz根据不可压缩连续性条件，dt时间内，x、y、z方向流出-流入=000)(zuyuxudxdydzdtzuyuxuzyxzyx0zurururuzrrcossinsincossincosuuuuuuzzryrxryrxcossinsincosyxyxruuuuuu柱面坐标系：柱面坐标与直角坐标换算关系：ｐ190图7-73、应用（1）方程对恒定流、非恒流都适用，是判断流动连续性的条件。（2）是以后运动微分方程求解的一个条件。例1：p190[7-6]例2：判断下列流场是否满足不可压缩流体的连续性方程（1）（2）解：满足。22)2(xyyuxxyuyx2sin212cos2rurrur02cos412cos212cos222rrzurururuzrr（3）此式给出了流体通过某固定点时，流体的三个速度分量之间的关系。表明对不可压缩流体，单位时间内流入与流出某空间点的流体体积之差为零，即体积（质量）守恒。xzxyxxp,,zzzyzxp,,yzyyyxp,,3个压应力6个切应力xzxxpxyxyz§7-4粘性流体的运动微分方程——纳维—斯托克斯方程一、粘性流体的内应力粘性流体运动时，所受表面应力包括法向应力和切应力。流场内任一点的应力可表示为二、以应力表示的运动微分方程（根据牛顿第二定律）dtduzyxpXxzxyxxx11dtduxzypYyxyzyyy11dtduyxzpZzyzxzzz11（7-4-1）讨论：加上连续性方程，4个方程，12个未知量，无法求解。需找其它关系式，这些其它关系即是应力与变形速度的关系。dtdxuyudtdyxz21、切应力与角变形速度的关系因此三元流动的牛顿内摩擦定律可以写成如下形式：由牛顿内摩擦定律：xoy平面上:三、应力与变形速度的关系)()()(zuyuzuxuxuyuyzyzzyxzxzzxyxyxxy式（7-5-1）式（7-5-1）即广义牛顿摩擦定律，使式（7-4-1）中的12个未知数消去6个。2、法向应力和线变形速度的关系在流体微团的法线方向上的线变形速度，使法向应力（压应力）的大小与理想流体相比有所改变，产生附加压应力。可以证明，对于不可压缩流体，附加法应力与线变形速度的关系:zuyuxuzzzyyyxxx222)(31zzyyxxppppzuppyuppxuppztzzytyyxtxx222（1）(7-5-3)（2）平均压应力定义点压强：(7-5-4)式中，、、表示法向应力，表示压强，表示理想流体压强。xxpyypzzpptp（3）)(32)(31zuyuxupppppzyxtzzyyxx(7-5-5)代入（7-5-4）（4）)(322)(322)(322zuyuxuzuppzuyuxuyuppzuyuxuxuppzyxzzzzyxyyyzyxxxx（7-5-6）tzzyyxxpppp0zuyuxuzyx0),,(zyxuuzyuu0zuyuxuzyxtzzyyxxppppa）对于理想流体b）不可压缩流体c）对于均匀流流速沿流线是常数d）对于粘性流体方程、、三个未知数变为一个，原则上方程已可求解了。xxpyypzzpp（7-5-6）式讨论：tpp四、N-S方程把（7-5-1）式和（7-5-6）式代入（7-4-1）式，消去应力对不可压缩流体有代入得展开当地加速度位移加速度0zuyuxuzyxdtduzuyuxuzpZdtduzuyuxuypYdtduzuyuxuxpXzzzzyyyyxxxx)(1)(1)(1222222222222222222zuuyuuxuutudtduxzxyxxxx（7-6-1）zuuyuuxuutuzuyuxuzpZzuuyuuxuutuzuyuxuypYzuuyuuxuutuzuyuxuxpXzzzyzxzzzzyzyyyxyyyyxzxyxxxxxx)(1)(1)(1222222222222222222（7-6-3）1、N-S方程柱坐标系：P197[7-6-4]式2、讨论：（1）与连续性方程联立，4个未知数、4个方程，原则上可求解速度分量和压强。N-S方程是不可压缩流体最普遍的运动微分方程。（2）二阶非线性非齐次的偏微分方程组，难以求出精确解。只对一些较简单的情况求出精确解。大多数问题是借助计算机技术求出近似解。P198例[7-7]自学例：已知流速场试求t=0.5时空间点（2,5,3）处的流体质点的加速度。解：0,,zyxuxztuyztu5.1922txzyzzuuyuuxuutuaxzxyxxxx25.1722tyzxzzuuyuuxuutuayzyyyxyy0zuuyuuxuutuazzzyzxzz04.26222zyxaaaa0zuuyuuxuutuzpZzuuyuuxuutuypYzuuyuuxuutuxpXzzzyzxzyzyyyxyxzxyxxx1110zyxuuu010101zpZypYxpX§7-5理想流体运动微分方程及其积分分析N-S方程1、理想流体（7-7-1）2、静止时得流体平衡微分方程（2-7-1a）3、变换（7-7-1）式，在方程中第一式的加速度项加之后，整理得：同理变换第二