定积分在物理中的应用

1．7.2定积分在物理中的应用学习目标1.能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题.2.通过定积分在物理中的应用，学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值．知识点一变速直线运动的路程思考变速直线运动的路程和位移相同吗？答案不同．路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念．梳理(1)当v(t)≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用21dttttv求解．(2)当v(t)0时，求某一时间段内的位移用21dttttv求解，这一时段的路程是位移的相反数，即路程为－21dttttv.做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即ʃbav(t)dt.知识点二变力做功问题思考恒力F沿与F相同的方向移动了s，力F做的功为W＝Fs，那么变力做功问题怎样解决？答案与求曲边梯形的面积一样，物体在变力F(x)作用下运动，沿与F相同的方向从x＝a到x＝b(ab)，可以利用定积分得到W＝ʃbaF(x)dx.梳理如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(ab)，那么变力F(x)所做的功为ʃbaF(x)dx.类型一求变速直线运动的位移、路程例1(1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋251＋t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止，则在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A．1＋25ln5B．8＋25ln113C．4＋25ln5D．4＋50ln2答案C解析令v(t)＝0，得t＝4或t＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s＝ʃ40(7－3t＋251＋t)dt＝7t40|－32t240|＋25ln(1＋t)40|＝28－24＋25ln5＝4＋25ln5.(2)有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)．求：①P从原点出发，当t＝6时，求点P离开原点的路程和位移；②P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值．解①由v(t)＝8t－2t2≥0，得0≤t≤4，即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动，当t4时，P点向x轴负方向运动．故当t＝6时，点P离开原点的路程s1＝ʃ40(8t－2t2)dt－ʃ64(8t－2t2)dt＝4t2－23t340－4t2－23t364＝1283.当t＝6时，点P的位移s2＝ʃ60(8t－2t2)dt＝4t2－23t360＝0.②依题意得ʃt0(8t－2t2)dt＝0，即4t2－23t3＝0，解得t＝0或t＝6，t＝0对应于P点刚开始从原点出发的情况，t＝6是所求的值．反思与感悟(1)用定积分计算做直线运动物体的路程，要先判断速度v(t)在时间区间内是否为正值，若v(t)0，则运动物体的路程s＝ʃbav(t)dt；若v(t)0，则运动物体的路程s＝ʃba|v(t)|dt＝－ʃbav(t)dt.(2)若已知做直线运动物体的速度—时间图象，可以先求出速度—时间函数式，再转化为定积分计算路程；也可以直接计算曲边梯形的面积得到路程；若速度—时间函数是分段函数，要利用定积分的性质进行分段积分再求和．跟踪训练1一质点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v(t)＝t2－4t＋3(m/s)运动．求：(1)在时刻t＝4时，该点的位置；(2)在时刻t＝4时，该点运动的路程．解(1)由ʃ40(t2－4t＋3)dt＝t33－2t2＋3t40＝43知，在时刻t＝4时，该质点离出发点43m.(2)由v(t)＝t2－4t＋30，得t∈(0,1)∪(3,4)．这说明t∈(1,3)时质点运动方向与t∈(0,1)∪(3,4)时运动方向相反．故s＝ʃ40|t2－4t＋3|dt＝ʃ10(t2－4t＋3)dt＋ʃ31(4t－t2－3)dt＋ʃ43(t2－4t＋3)dt＝4.即在时刻t＝4时，该质点运动的路程为4m.类型二求变力做功例2如图所示，一物体沿斜面在拉力F的作用下由A经B、C运动到D，其中AB＝50m，BC＝40m，CD＝30m，变力F＝14x＋5，0≤x≤90，20，90x≤120(单位：N)，在AB段运动时，F与运动方向成30°角．在BC段运动时，F与运动方向成45°角．在CD段运动时，F与运动方向相同，求物体由A运动到D所做的功．(3≈1.732，2≈1.414，精确到1J)解在AB段运动时，F在运动方向上的分力F1＝Fcos30°，在BC段运动时，F在运动方向上的分力F2＝Fcos45°.由变力做功公式得W＝ʃ50014x＋5cos30°dx＋ʃ905014x＋5cos45°dx＋600＝3812x2＋20x500＋2812x2＋20x9050＋600＝112543＋4502＋600≈1723(J).所以物体由A运动到D，变力F所做的功为1723J.反思与感悟解决变力做功注意以下两个方面(1)首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键的一步．(2)根据变力做功的公式将其转化为求定积分的问题．跟踪训练2一物体在力F(x)＝2，0≤x≤2，2x－2，x2，(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处，则力F(x)做的功为()A．10JB．12JC．14JD．16J答案B解析从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处，力F(x)做的功为ʃ202dx＋ʃ42(2x－2)dx＝2x|20＋(x2－2x)|42＝12(J)．故选B.1．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v(t)＝27－0.9t，则列车从开始刹车到停车所行驶的路程为()A．405米B．540米C．810米D．945米答案A解析停车时v(t)＝0，由27－0.9t＝0，得t＝30，∴s＝ʃ300v(t)dt＝ʃ300(27－0.9t)dt＝(27t－0.45t2)|300＝405(米)．2．一个物体在力F(x)＝1＋ex的作用下，沿着与力F(x)相同的方向从x＝0处运动到x＝1处，力F(x)所做的功是()A．1＋eB．e－1C．1－eD．e答案D解析W＝ʃ10(1＋ex)dx＝(x＋ex＋c)|10＝1＋e－1＝e.故选D.3．一质点运动时速度与时间的关系为v(t)＝t2－t＋2，质点作直线运动，则此质点在[1,2]时间内的位移为________．答案176解析由题意可知s＝ʃ21(t2－t＋2)dt＝13t3－12t2＋2t21＝176.4．已知作用于某一质点的力F(x)＝x，0≤x≤1，x＋1，1x≤2(单位：N)，则力F从x＝0处运动到x＝2处(单位：m)所做的功为________J.答案3解析W＝ʃ20F(x)dx＝ʃ10xdx＋ʃ21(x＋1)dx＝12x210＋12x2＋x21＝12＋12×22＋2－12×12－1＝3(J)．1．已知变速运动方程，求在某段时间内物体运动的位移或者经过的路程，就是求速度方程的定积分．解这类问题需注意三点：(1)分清运动过程中的变化情况；(2)如果速度方程是分段函数，那么要用分段的定积分表示；(3)明确是求位移还是求路程，求位移可以正负抵消，求路程不能正负抵消．2．利用定积分求变力做功问题，关键是求出变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间．求变力做功时，要注意单位，F(x)单位：N，x单位：m.课时作业一、选择题1．一辆汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝2＋sint(t的单位：h，v的单位：km/h)，那么它在0≤t≤1这段时间内行驶的路程s(单位：km)是()A．3－cos1B．3＋cos1C．1＋cos1D．1－cos1答案A解析由v(t)＝2＋sint0，故这辆车行驶的路程s＝ʃ10v(t)dt＝ʃ10(2＋sint)dt＝(2t－cost)|10＝(2－cos1)－(－cos0)＝3－cos1，故选A.2．一物体从A处向B处运动，速度为1.4tm/s(t为运动的时间)，到B处时的速度为35m/s，则AB间的距离为()A．120mB．437.5mC．360mD．480m答案B解析从A处到B处所用时间为25s，所以|AB|＝ʃ2501.4tdt＝0.7t2|250＝437.5(m)．3．物体A以速度v＝3t2＋1(m/s)在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5m处，同时以v＝10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后物体A追上物体B所用的时间t(s)为()A．3B．4C．5D．6答案C解析因为物体A在t秒内行驶的路程为ʃt0(3t2＋1)dt，物体B在t秒内行驶的路程为ʃt010tdt，所以ʃt0(3t2＋1－10t)dt＝(t3＋t－5t2)|t0＝t3＋t－5t2＝5⇒(t－5)(t2＋1)＝0，即t＝5.故选C.4．沿x轴正方向运动的质点，在任意位置x米处，所受的力为F(x)＝3x2牛顿，则质点从坐标原点运动到4米处，力F(x)所做的功是()A．74焦耳B．72焦耳C．70焦耳D．64焦耳答案D解析根据定积分的物理意义可知，力F(x)所做的功为ʃ403x2dx＝x3|40＝64(焦耳)．故选D.5．以初速度40m/s竖直向上抛一物体，ts时刻的速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为()A.1603mB.803mC.403mD.203m答案A解析达到最高点时速度v＝40－10t2＝0，得t＝2.∴此物体达到最高时的高度为ʃ20(40－10t2)dt＝40t－103t320＝1603.6．如果用1N的力能拉长弹簧1cm，则将弹簧拉长6cm，克服弹力所做的功为()A．0.18JB．0.26JC．0.12JD．0.28J答案A解析设F(x)＝kx，当F(x)＝1时，x＝0.01，则k＝100，W＝ʃ0.060100xdx＝50x2|0.060＝0.18(J)．7．一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)的作用下，沿与F(x)成30°方向做直线运动，则由x＝1(m)运动到x＝2(m)时，F(x)做的功为()A．1JB.3JC.433JD．2J答案C解析由于F(x)与位移方向成30°角．如图，F在位移方向上的分力F′＝F·cos30°，W＝ʃ21(5－x2)·cos30°dx＝32ʃ21(5－x2)dx＝32(5x－13x3)|21＝433.故选C.二、填空题8．若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t的函数，若已知产量的变化率为a＝36t，那么从3小时到6小时期间内的产量为________百件．答案6－32解析ʃ6336tdt＝66t63＝6－32.9．做变速直线运动的物体的速度为v(t)＝4－t2，初始位置s(0)＝1，则3秒时所处的位置s(3)为________．答案4解析由题意可知，s(3)＝ʃ30v(t)dt＋1＝ʃ30(4－t2)dt＋1＝4t－13t330＋1＝4.10．一物体做直线运动的速度与时间成正比，5s时速度为20m/s，则物体开始运动10s内所经过的路程为________m.答案200解析∵v＝4t，∴s＝ʃ1004tdt＝(2t2)|100＝200(m)．11．在原点O处有一个带电量为＋q的点电荷，它所产生的电场对周围有作用力．现有一个单位正电荷从距O点的距离为a处沿着射线方向移至距O点为b(ab)的地方，则电场力F＝k·qr2(k为常数)做的功为________．答案kqa－kqb解析W＝ʃbakqr2dr＝－kqrba＝kqa－kqb.三、解答题12．物体按x＝2t2(m)做直线运动，设介质的阻力与速度成正比，且速度等于8m/s时，阻力为2N，求物体从x＝0m运动到x＝2m时，克服阻力所做的功．解设阻力F＝kv，因为v＝x′＝4t，所以F＝4kt.由题意得v＝4t＝8，所以t＝2，所以8k＝2，即k＝0.25，所以F＝4×0.25t＝t.又x＝2t2，t0，所以t＝x