第3章-DFT离散傅里叶变换

3.1离散傅里叶变换的定义3.2离散傅里叶变换的基本性质3.3频率域采样3.4DFT的应用举例第3章离散傅里叶变换(DFT)3.1离散傅里叶变换的定义3.1.1DFT的定义设x(n)是一个长度为M的有限长序列，则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为X(k)的离散傅里叶逆变换为)1.1.3(1,,1,0,)()]([)(10　　NkknNNkWnxnxDFTkX)2.1.3(1,,1,0,)(1)]([)(10　　NkknNNkWkXNkXIDFTnx式中，，N称为DFT变换区间长度，N≥M，通常称(3.1.1)式和(3.1.2)式为离散傅里叶变换对。下面证明IDFT［X(k)］的唯一性。把(3.1.1)式代入(3.1.2)式有110011()001[()][()]1()NNmkknNNkmNNkmnNmkIDFTXkxmWWNxmWN11,()0,01{NmnMNMkmnNmnMNMkWN为整数为整数NjNeW2所以，在变换区间上满足下式：IDFT［X(k)］=x(n),0≤n≤N-1由此可见，(3.1.2)式定义的离散傅里叶变换是唯一的。例3.1.1x(n)=R4(n)，求x(n)的8点和16点DFT设变换区间N=8，则273880038()()sin()2,0,1,,7sin()8jknknnNjkXkxnWekekk15,,1,0,16sin4sin)()()(1633016215016kkkeenxWnxkXkjnknjnkn　　　设变换区间N=16，则3.1.2DFT和Z变换的关系设序列x(n)的长度为N，其Z变换和DFT分别为：比较上面二式可得关系式1010()[()]()()[()]()0kN-1NnnNknNnXzZTxnxnzXkDFTxnxnW22()(),0kN-1(3.1.3)()(),0kN-1(3.1.4)jkNzejkNXkXzXkXz图3.1.1X(k)与X(ejω)的关系3.1.3DFT的隐含周期性前面定义的DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于的周期性，使(3.1.1)式和(3.1.2)式中的X(k)隐含周期性，且周期均为N。对任意整数m，总有同理可证明(3.1.2)式中x(n+mN)=x(n)(),,,kkmNNNWWkmN均为整数所以(3.1.1)式中，X(k)满足1()010()()()()NkmNnNnNknNnXkmNxnWxnWXkknNW实际上，任何周期为N的周期序列都可以看作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)则是的一个周期，即为了以后叙述方便，将(3.1.5)式用如下形式表示：~~()()(3.1.5)()()()(3.1.6)mNxnxnmNxnxnRn~()()(3.1.7)Nxnxn)(~nx)(~nx图3.1.2有限长序列及其周期延拓式中x((n))N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列，((n))N表示n对N求余，即如果n=MN+n1，0≤n1≤N-1，M为整数，则((n))N=n1例如，则有所得结果符合图3.1.2所示的周期延拓规律。~5~5(5)((5))(0)(6)((6))(1)xxxxxx5))(()(~,5nxnxN如果x(n)的长度为N，且=x((n))N，则可写出的离散傅里叶级数111~~0001~~0()()(())()11()()()NNNknknknNNNNnnnNknknNNnXkxnWxnWxnWxnXkWXkWNN(3.1.8)(3.1.9)式中~()()()NXkxkRk(3.1.10))(~nx)(~nx3.2离散傅里叶变换的基本性质3.2.1线性性质如果x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2。y(n)=ax1(n)+bx2(n)式中a、b为常数，即N=max［N1,N2］，则y(n)的N点DFT为Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2(k),0≤k≤N-1(3.2.1)其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。3.2.2循环移位性质1.序列的循环移位设x(n)为有限长序列，长度为N，则x(n)的循环移位定义为y(n)=x((n+m))NRN(N)(3.2.2)移位演示图3.2.1循环移位过程示意图2.时域循环移位定理设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)的循环移位，即y(n)=x((n+m))NRN(n)则Y(k)=DFT［y(n)］=X(k)(3.2.3)其中X(k)=DFT［x(n)］,0≤k≤N-1。kmNW证明：1010()[()](())()(())NknNNNnNknNNnYkDFTynxnmRnWxnmW令n+m=n’，则有1()1()(())(())NmknmNNnmNmknknNNNnmYkxnWWxnW由于上式中求和项x((n’))N以N为周期，所以对其在任一周期上的求和结果相同。将上式的求和区间改在主值区则得110()(())()()NkmknNNNnNkmknNNnkmNYkWxnWWxnWWXk3.频域循环移位定理如果X(k)=DFT［x(n)］,0≤k≤N-1Y(k)=X((k+l))NRN(k)则y(n)=IDFT［Y(k)］=x(n)(3.2.4)nkNWnlNW3.2.3循环卷积定理有限长序列x1(n)和x2(n)，长度分别为N1和N2，N=max［N1,N2］。x1(n)和x2(n)的N点DFT分别为：X1(k)=DFT［x1(n)］X2(k)=DFT［x2(b)］如果X(k)=X1(k)·X2(k)则(3.2.5)10121021)())(()()]([)()())(()()]([)(NmNNNmNNnRmnxmxkXIDFTnxnRmnxmxkXIDFTnx一般称(3.2.5)式所表示的运算为x1(n)与x2(n)的循环卷积。下面先证明(3.2.5)式，再说明其计算方法。证明：直接对(3.2.5)式两边进行DFT111200111200()[()][()(())()]()(())NNknNNNnmNNknNNnmXkDFTxnxmxnmRnWxmxnmW令n-m=n’，则有11()12011120()()(())()(())NNmknmNNmnmNNmkmknNNNmnmXkxmxnWxmWxnW因为上式中x2((n’))N，以N为周期，所以对其在任一个周期上求和的结果不变。因此11012()()()(),01NknNmXkxmWXkXkkN循环卷积过程中，要求对x2(m)循环反转，循环移位，特别是两个N长的序理的循环卷积长度仍为N。显然与一般的线性卷积不同，故称之为循环卷积，记为nkNW102)(NnnkNWnx1211201221()()()()(())()()[()]()()()()NNNmxnxnxnxmxnmRnXkDFTxnXkXkXkXk由于所以1221()[()]()()()()xnIDFTXkxnxnxnxn即循环卷积亦满足交换律。周期卷积示例循环卷积示例1循环卷积示例2作为习题请证明频域循环卷积定理：如果x(n)=x1(n)x2(n)则1211202112101()[()]()()1()(())()1()()()1()(())()NNNlNNNlXkDFTxnXkXkNXlXklRkNXkXkXkNXlXklRkN(3.2.6)X1(k)=DFT［x1(n)］X2(k)=DFT［x2(n)］0≤k≤N-13.2.4复共轭序列的DFT设x*(n)是x(n)的复共轭序列，长度为NX(k)=DFT［x(n)］则DFT［x*(n)］=X*(N-k),0≤k≤N-1(3.2.7)且X(N)=X(0)证明：根据DFT的唯一性，只要证明(3.2.7)式右边等于左边即可。1()01()010()[()]()()[()]nnNNkNnNNkNnNknNnXNkxnWxnWxnWDFTxn又由X(k)的隐含周期性有X(N)=X(0)用同样的方法可以证明DFT［x*(N-n)］=X*(k)(3.2.8)图3.2.2循环卷积过程示意图n，m01234567x2(n)n0711x2((－m))NRN(m)071x2((1－m))NRN(m)071mmx2((2－m))NRN(m)012345671m01234567n1234x(n)1234561234561234563.2.5DFT的共轭对称性1.有限长共轭对称序列和共轭反对称序列为了区别于傅里叶变换中所定义的共轭对称(或共轭反对称)序列，下面用xep(n)和xop(n)分别表示有限长共轭对称序列和共轭反对称序列，则二者满足如下定义式：xep(n)=x*ep(N-n),0≤n≤N-1(3.2.9)xop(n)=-x*op(N-n),0≤n≤N-1(3.2.10)当N为偶数时，将上式中的n换成N/2-n可得到上式更清楚地说明了有限长序列共轭对称性的含义。如图3.2.3所示。图中*表示对应点为序列取共轭后的值。()(),01222()(),01222epepopopNNNxnxnnNNNxnxnn图3.2.3共轭对称与共轭反对称序列示意图如同任何实函数都可以分解成偶对称分量和奇对称分量一样，任何有限长序列x(n)都可以表示成其共轭对称分量和共轭反对称分量之和，即x(n)=xep(n)+xop(n),0≤n≤N-1(3.2.11)将上式中的n换成N-n，并取复共轭，再将(3.2.9)式和(3.2.10)式代入得到x*(N-n)=x*ep(N-n)+x*op(N-n)=xep(n)-xop(n)(3.2.12)xep(n)=1/2［x(n)+x*(N-n)］(3.2.13)xop(n)=1/2［x(n)-x*(N-n)］(3.2.14)2.DFT的共轭对称性(1)如果x(n)=xr(n)+jxi(n)其中xr=Re［x(n)］=1/2［x(n)+x*(n)］jxi(n)=jIm［x(n)］=1/2［x(n)-x*(n)］由(3.2.7)式和(3.2.13)式可得DFT［xr(n)］=1/2DFT［x(n)+x*(n)］=1/2［X(k)+X*(N-k)］=Xep(k)由(3.2.7)式和(3.2.14)式得DFT［jxi(n)］=1/2DFT［x(n)-x*(n)］=1/2［X(k)-X*(N-k)］=Xop(k)由DFT的线性性质即可得X(k)=DFT［x(n)］=Xep(k)+Xop(k)(3.2.16)其中Xep(k)=DFT［xr(n)］,X(k)的共轭对称分量Xop(k)=DFT［jxi(n)］,X(k)的共轭反对称分量(2)如果x(n)=xep(n)+rop(n)，0≤n≤N-1(3.2.17)其中xep(n)=1/2［x(n)+x*(N-n)］,x(n)的共轭对称分量xop(n)=1/2［x(n)-x*(N-n)］,x(n)的共轭反对称分量由(3.2.8)式得DFT［xep(n)］=1/2DFT［x(n)+x*(N-n)］=1/2［X(k)+X*(k)］=Re［X(k)］DFT［xop(n)］=1/2DFT［x(n)-x*(N-n)］=1/2［X(k)-X*(k)］=jIm［X(k)］因此X(k)=DFT［x(n)］=XR(k)