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雨露辅导中心专用资料1三角形培优练习题1已知:AB=4,AC=2,D是BC中点,AD是整数,求AD2已知:BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F是CD中点,求证:∠1=∠23已知:∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证:EF=AC4已知:AD平分∠BAC,AC=AB+BD,求证:∠B=2∠CCDBABCDEF21ADBCABACDF21E雨露辅导中心专用资料25已知:AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE6如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,且点E在AD上。求证:BC=AB+DC。7已知:AB=CD,∠A=∠D,求证:∠B=∠C8.P是∠BAC平分线AD上一点,ACAB,求证:PC-PBAC-ABABCDPDACB雨露辅导中心专用资料39已知,E是AB中点,AF=BD,BD=5,AC=7,求DC10.如图,已知AD∥BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E,CE的连线交AP于D.求证:AD+BC=AB.11如图,△ABC中,AD是∠CAB的平分线,且AB=AC+CD,求证:∠C=2∠B12如图:AE、BC交于点M,F点在AM上,BE∥CF,BE=CF。求证:AM是△ABC的中线。FAEDCBPEDCBADCBAMFECBA雨露辅导中心专用资料413已知:如图,AB=AC,BDAC,CEAB,垂足分别为D、E,BD、CE相交于点F。求证:BE=CD.14在△ABC中,90ACB,BCAC,直线MN经过点C,且MNAD于D,MNBE于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:①ADC≌CEB;②BEADDE;(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,(1)中的结论还成立吗?若成立,请给出证明;若不成立,说明理由.15如图所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC。求证:(1)EC=BF;(2)EC⊥BFACBDEFAEBMCF雨露辅导中心专用资料516.如图,已知AC∥BD,EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA,CD过点E,则AB与AC+BD相等吗?请说明理由17.如图9所示,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AD是BC边上的中线,过C作AD的垂线,交AB于点E,交AD于点F,求证:∠ADC=∠BDE.ABCDEF图9雨露辅导中心专用资料6全等三角形证明经典(答案)1.延长AD到E,使DE=AD,则三角形ADC全等于三角形EBD即BE=AC=2在三角形ABE中,AB-BEAEAB+BE即:10-22AD10+24AD6又AD是整数,则AD=52证明:连接BF和EF。因为BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。所以三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。所以BF=EF,∠CBF=∠DEF。连接BE。在三角形BEF中,BF=EF。所以∠EBF=∠BEF。又因为∠ABC=∠AED。所以∠ABE=∠AEB。所以AB=AE。在三角形ABF和三角形AEF中,AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。所以三角形ABF和三角形AEF全等。所以∠BAF=∠EAF(∠1=∠2)。3证明:过E点,作EG//AC,交AD延长线于G则∠DEG=∠DCA,∠DGE=∠2又∵CD=DE∴⊿ADC≌⊿GDE(AAS)∴EG=AC∵EF//AB∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE∴EF=EG∴EF=AC4证明:在AC上截取AE=AB,连接ED∵AD平分∠BAC∴∠EAD=∠BAD又∵AE=AB,AD=AD雨露辅导中心专用资料7∴⊿AED≌⊿ABD(SAS)∴∠AED=∠B,DE=DB∵AC=AB+BDAC=AE+CE∴CE=DE∴∠C=∠EDC∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C∴∠B=2∠C5证明:在AE上取F,使EF=EB,连接CF因为CE⊥AB所以∠CEB=∠CEF=90°因为EB=EF,CE=CE,所以△CEB≌△CEF所以∠B=∠CFE因为∠B+∠D=180°,∠CFE+∠CFA=180°所以∠D=∠CFA因为AC平分∠BAD所以∠DAC=∠FAC又因为AC=AC所以△ADC≌△AFC(SAS)所以AD=AF所以AE=AF+FE=AD+BE6证明:在BC上截取BF=BA,连接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;AB平行于CD,则:∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD.7证明:设线段AB,CD所在的直线交于E,(当ADBC时,E点是射线BA,CD的交点,当ADBC时,E点是射线AB,DC的交点)。则:△AED是等腰三角形。所以:AE=DE而AB=CD所以:BE=CE(等量加等量,或等量减等量)所以:△BEC是等腰三角形所以:角B=角C.雨露辅导中心专用资料88作B关于AD的对称点B‘,因为AD是角BAC的平分线,B'在线段AC上(在AC中间,因为AB较短)因为PCPB’+B‘C,PC-PB’B‘C,而B'C=AC-AB'=AC-AB,所以PC-PBAC-AB9作AG∥BD交DE延长线于GAGE全等BDEAG=BD=5AGF∽CDFAF=AG=5所以DC=CF=210证明:做BE的延长线,与AP相交于F点,∵PA//BC∴∠PAB+∠CBA=180°,又∵,AE,BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°,EAB为直角三角形在三角形ABF中,AE⊥BF,且AE为∠FAB的角平分线∴三角形FAB为等腰三角形,AB=AF,BE=EF在三角形DEF与三角形BEC中,∠EBC=∠DFE,且BE=EF,∠DEF=∠CEB,∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形,∴DF=BC∴AB=AF=AD+DF=AD+BC11证明:在AB上找点E,使AE=AC∵AE=AC,∠EAD=∠CAD,AD=AD∴△ADE≌△ADC。DE=CD,∠AED=∠C∵AB=AC+CD,∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE∠B=∠EDB∠C=∠B+∠EDB=2∠B12证明:∵BE‖CFPDACB雨露辅导中心专用资料9∴∠E=∠CFM,∠EBM=∠FCM∵BE=CF∴△BEM≌△CFM∴BM=CM∴AM是△ABC的中线.13证明:因为AB=AC,所以∠EBC=∠DCB因为BD⊥AC,CE⊥AB所以∠BEC=∠CDBBC=CB(公共边)则有三角形EBC全等于三角形DCB所以BE=CD14(1)证明:∵∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCE=90°,而AD⊥MN于D,BE⊥MN于E,∴∠ADC=∠CEB=90°,∠BCE+∠CBE=90°,∴∠ACD=∠CBE.在Rt△ADC和Rt△CEB中,{∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBEAC=CB,∴Rt△ADC≌Rt△CEB(AAS),∴AD=CE,DC=BE,∴DE=DC+CE=BE+AD;(2)不成立,证明:在△ADC和△CEB中,{∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBEAC=CB,∴△ADC≌△CEB(AAS),∴AD=CE,DC=BE,∴DE=CE-CD=AD-BE;15(1)证明;因为AE垂直AB所以角EAB=角EAC+角CAB=90度因为AF垂直AC所以角CAF=角CAB+角BAF=90度所以角EAC=角BAF因为AE=ABAF=AC雨露辅导中心专用资料10所以三角形EAC和三角形FAB全等所以EC=BF角ECA=角F(2)延长FB与EC的延长线交于点G因为角ECA=角F(已证)所以角G=角CAF因为角CAF=90度所以EC垂直BF16在AB上取点N,使得AN=AC∠CAE=∠EAN,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN所以∠ANE=∠ACE又AC平行BD所以∠ACE+∠BDE=180而∠ANE+∠ENB=180所以∠ENB=∠BDE∠NBE=∠EBNBE为公共边,所以三角形EBN全等三角形EBD所以BD=BN所以AB=AN+BN=AC+BD17证明:作CG平分∠ACB交AD于G∵∠ACB=90°∴∠ACG=∠DCG=45°∵∠ACB=90°AC=BC∴∠B=∠BAC=45°∴∠B=∠DCG=∠ACG∵CF⊥AD∴∠ACF+∠DCF=90°∵∠ACF+∠CAF=90°∴∠CAF=∠DCF∵AC=CB∠ACG=∠B∴△ACG≌△CBE∴CG=BE∵∠DCG=∠BCD=BD∴△CDG≌△BDE∴∠ADC=∠BDE
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