第5讲对坐标的曲线积分

一、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的计算三、两类曲线积分之间的联系四、小结一、对坐标的曲线积分的概念实例:变力沿曲线所作的功),(),(),(jyxQiyxPyxF.ABFW设一质点在xoy面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B。在移动过程中，这质点受到力的作用，其中),,(yxP),(yxQ在L上连续，求在上述移动过程中变力),(yxF所作的功W。(1)常力，质点沿直线从FFABABFA移到B，所作的功oxyABL分割.),,(,),,(,1111110BMyxMyxMMAnnnn.)()(1jyixMMiiii(2)是变力，且质点沿曲线L移动。Fixiy1M取近似求和取极限2M1iMiM1nM,),(),(),(jQiPFiiiiii取),(iiF,),(1iiiiiMMFW.),(),(iiiiiiyQxPniiWW1.]),(),([1niiiiiiiyQxP.]),(),([lim10niiiiiiiyQxPW表示小弧段的最大长度定义.),(lim),(10iiniiLxPdxyxP如果当各小弧段长上任意取定的点为点设个有向小弧段分成把入一点列的方向任意插上沿在上有界在的一条有向光滑曲线弧到点面内从点为设.),(,,).,;,,2,1(),(,),,(),,(.),(),,(,11101111222111iiiiiiiiiiniinnnMMyyyxxxBMAMniMMnLyxMyxMyxMLLLyxQyxPBAxoyL记作或称第二类曲线积分）线积分的曲上对坐标在有向曲线弧此极限为函数,(),(xLyxP则称的极限存在时度的最大值,),(,01niiiixP类似地定义.),(lim),(10iiniiLyQdyyxQ.),(lim),(10iiniiLxPdxyxP,),(),,(叫做被积函数其中yxQyxP被积函数.叫积分弧段L积分弧段存在条件：组合形式：LLLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(.,jdyidxdsjQiPF其中.LdsF.,),(),,(第二类曲线积分存在续时上连在光滑曲线弧当LyxQyxP连续推广：空间有向曲线弧.),,(lim),,(10iiiniixPdxzyxP.),,(),,(),,(dzzyxRdyzyxQdxzyxP.),,(lim),,(10iiiniiyQdyzyxQ.),,(lim),,(10iiiniizRdzzyxRdzzyxRdyzyxQdxzyxP),,(),,(),,(性质.,)()1(212121LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLLLLLL则和分成如果把则有向曲线弧方向相反的是与是有向曲线弧设,,)2(LLL即，对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.LLdxyxPdxyxP;),(),(LLdyyxQdyyxQ),(),(LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(二、对坐标的曲线积分的计算且存在曲线积分则且间上具有一阶连续导数为端点的闭区及在以动到终点运沿的起点从点时变到地由单调当参数的参数方程为续上有定义且连在有向曲线弧设,),(),(,0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),,(22LdyyxQdxyxPttttBLALyxMttytxLLyxQyxP定理dttttQtttPdyyxQdxyxPL)}()](),([)()](),([{),(),(dttttQtttPdyyxQdxyxPL)}()](),([)()](),([{),(),(.,tt终点起点).(),(:tytxL曲线.)(,)(dttdydttdx注意:.,,),(.2而是相互有关的不彼此独立中yxyxf;.1不一定要小于上限定积分的下限不一定特殊情形则，终点为起点为.)(:)1(baxxyL.)}()](,[)](,[{dxxxxQxxPQdyPdxbaL则，终点为起点为.)(:)2(dcyyxL.]}),([)(]),([{dyyyQyyyPQdyPdxdcL).(,:xyxxL.)(,dxxdydxdx.),(:yyyxL.,)(dydydyydx对坐标的曲线积分的计算公式dttttQtttPQdyPdxL)}()](),([)()](),([{.,tt终点起点).(),(:tytxL1.曲线2.曲线3.曲线则，终点为起点为.)(:baxxyL.)}()](,[)](,[{dxxxxQxxPQdyPdxbaL则，终点为起点为.)(:dcyyxL.]}),([)(]),([{dyyyQyyyPQdyPdxdcL.,,)()()(:)3(终点起点推广ttztytxdtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)}()](),(),([)()](),(),([)()](),(),([{例1.)1,1()1,1(,2的一段弧到上从为抛物线其中计算BAxyLxydxL解1:的定积分化为对x.xyxyo1)1,1(A)1,1(B.oBAoL:Ao,xy.0,1xx终点起点.01:xoBAoLxydxxydxxydxAoxydxdxxxPPdxbaL)](,[dxxx01)(.52dxx1023:oB,xy.10:xoBxydxdxxxPPdxbaL)](,[dxxx10)(.52dxx1023xyo1)1,1(A)1,1(BoBAoLxydxxydxxydx.545252Aoxydxdxxx01)(.52dxx1023的定积分化为对y,:2yxL1122dyyyy.11:y1142dyy.54xyo1)1,1(A)1,1(B解2：dyyyyPPdxdcL)}(]),([{ABLxydxxydx.2yx.)0,()0,()2(;)1(,2的直线段轴到点沿从点的上半圆周针方向绕行、圆心为原点、按逆时半径为为其中计算aBxaAaLdxyL例2解,sincos:)1(taytaxL，0:tdttata)sin()sin(02)0,(aA)0,(aBxyodttttPdxyxPL)()](),([),(dxyL2.sintaxt.343a,0:)2(yL.:aaxaadx20.0被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.)(cos)cos1(023tdta)0,(aA)0,(aBxyodxxyxPPdxbaL)](,[dxyL2dttata)sin()sin(02dxyL2，0:t.sintaxt例3;)1,1()0,0()2(;)1,1()0,0()1(,2222的一段弧到上从抛物线的一段弧到上从抛物线为其中计算BOyxBOxyLdyxxydxL解.)1(的积分化为对x.10:,:2xxyL1022)22(dxxxxx1034dxx.1Ldyxxydx22dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL)}()](,[)](,[{)1,1(Bxoy12xy.10:,:2xxyL1022)22(dxxxxx1034dxx.1Ldyxxydx22.)2(的积分化为对y.10:,:2yyxL)1,1(Bxoy12xy2yx.2yx1042)22(dyyyyyLdyxxydx221045dxy.1被积函数相同，起点和终点也相同，虽然路径不同，但积分结果相同.例4.)0,0,0()1,2,3(,3223ABBAydzxdyzydxx的直线段到点是从点其中计算解BAsAB所在直线的方向向量}.1,2,3{直线方程：123zyxt令参数方程：.,2,3tztytx.1,2,3zyx又.01:t)03:(xydzxdyzydxx2233dtttttt]1)2()3(2)2(33)3[(01223dtt87013.487例5.设在力作用下,质点由沿移动到解:(1)ttkR2022d)((2)的参数方程为ABzzyxxydddktt20dBAzyx试求力对质点所作的功.其中为ozyx例6.求其中从z轴正向看为顺时针方向.解:取的参数方程,sin,costytx)02:(sincos2tttztttcos)sincos22(ttd)cos41(2202三、两类曲线积分之间的联系,)()(tytxL：设有向平面曲线弧为其切向量为)}.(),({ttT,,),(处的切向量的方向角为上点yxL,)()()(cos22ttt,)()()(cos22tttLdsQP)coscos(则LdttttttQtttP)()())()()()()()((222222LQdyPdxLdsQP)coscos(则LdttttttQtttP)()())()()()()()((222222LdttQtP)]()([LLdsQPQdyPdx)coscos(即---两类曲线积分之间的联系例5.)1,1()0,0(.),(),(2的弧段到点从点是沿其中化为对弧长的曲线积分将AoxyLdyyxQdxyxPL解.10:.,2xxyxxL：有向曲线弧为其切向量为}.2,1{xT,,),(处的切向量的方向角为上点yxML.2xy,411cos2x,412cos2xxLdyyxQdxyxP),(),(于是，LdsxyxxQyxP241),(2),(练习将积分化为对弧长的积分,解：oyxB,22xxyxxxxyd21d2sdxyd12xxxd212,22xxx1yyxQxyxPLd),(d),(22xx)1(x其中L沿上半圆周,,,),,(为处的切线向量的方向角上点zyxdsRQPRdzQdyPdx)coscoscos(则dstArdA,dsAt可用向量表示，其中},,{RQPA},cos,cos,{cost},,{dzdydxdstrd有向曲线元；.上的投影在向量为向量tAAt处的单位切向量上点),,(zyx推广RdzQdyPdx1.定义kkkknkyQxP),(),(limkk102.性质(1)L可分成k条有向光滑曲线弧iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2)L－表示L的反向弧LyyxQxyxPd),(d)