第5讲牛吃草问题拓展(教师版)

让优秀成为习惯1第5讲牛吃草问题变形【例题1】东升牧场南面一块2000平方米的牧场上长满牧草，牧草每天都在匀速生长，这片牧场可供18头牛吃16天，或者供27头牛吃8天．在东升牧场的西侧有一块6000平方米的牧场，可供多少头牛吃6天？【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，那么2000平方米的牧场上1688天生长的草量为181627872，即每天生长的草量为7289．那么2000平方米的牧场上原有草量为：18916144．则6000平方米的牧场每天生长的草量为96000200027；原有草量为：14460002000432．6天里，该牧场共提供牧草432276594，可以让594699(头)牛吃6天．【例题2】一个农夫有面积为2公顷、4公顷和6公顷的三块牧场．三块牧场上的草长得一样密，而且长得一样快．农夫将8头牛赶到2公顷的牧场，牛5天吃完了草；如果农夫将8头牛赶到4公顷的牧场，牛15天可吃完草．问：若农夫将这8头牛赶到6公顷的牧场，这块牧场可供这些牛吃几天？【解析】(法1)设1头牛1天吃草量为“1”，可以将不同的公顷数统一转化为单位量1公顷来解决．把2公顷牧场分割成2块，每块1公顷，每块可供4头牛吃5天；把4公顷牧场分割成4块，每块1公顷，每块可供2头牛吃15天．那么1公顷牧场每天新生长的草量为215451551，1公顷牧场原有草量为41515．那么6公顷牧场每天新生长的草量为166，原有草量为15690．8头牛里，若有6头牛去吃每天新生长的草，剩下2头牛需要90245(天)可将原有草吃完，即它可供8头牛吃45天．(法2)题中3块牧场面积不同，要解决这个问题，可以将3块牧场的面积统一起来．设1头牛1天吃草量为“1”．将8头牛赶到2公顷的牧场，牛5天吃完了草，相当于12公顷的牧场可供48头牛吃5天；将8头牛赶到4公顷的牧场，牛15天可吃完草，相当于12公顷的牧场可供24头牛吃15天．所以12公顷的牧场每天新生长的草量为：让优秀成为习惯2241548515512，12公顷牧场原有草量为48125180．那么12公顷牧场可供16头牛吃180161245(天)，所以6公顷的牧场可供8头牛吃45天．【例题3】4头牛28天可以吃完10公顷牧场上全部牧草，7头牛63天可以吃完30公顷牧场上全部牧草，那么60头牛多少天可以吃完40公顷牧场上全部牧草？(每公顷牧场上原有草量相等，且每公顷牧场上每天生长草量相等)【解析】题中是3块面积不同的草地，要解决这个问题，可以将3块草地的面积统一起来．10,30,40120，设1头牛1天的吃草量为“1”，原条件可转化为：120公顷牧场48头牛28天吃完；120公顷牧场28头牛63天吃完．那么120公顷牧场每天新生长的草量为28634828632812；120公顷牧场原有草量为4812281008．则40公顷牧场每天新生长的草量为1234，40公顷牧场原有草量为10083336．在60头牛里先分出4头牛来吃新生长的草，剩余的56头牛来吃原有的草，可以吃：336566(天)．【例题4】17头牛吃28公亩的草，84天可以吃完；22头牛吃同样牧场33公亩的草54天可吃完，几头牛吃同样牧场40公亩的草，24天可吃完？(假设每公亩牧草原草量相等，且匀速生长)【解析】设1头牛1天吃1份牧草，22头牛54天吃掉54221188份，说明每公亩牧场54天提供11883336份牧草；17头牛84天吃掉17841428份，说明每公亩牧场84天提供14282851份牧草．每公亩牧场845430天多提供513615份牧草，说明每公亩牧场每天的牧草生长量为15300.5份，原有草量为510.5849份．如果是40公亩的牧场，原有草量为940360份，每天新长出0.54020份，24天共提供牧草3602024840份，可供8402435头牛吃24天．若想18星期吃完需要：259.2÷18＋21.6＝36（头）牛让优秀成为习惯3【例题5】一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘水，8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？【解析】设1人1小时淘出的水量是“1”，淘水速度是(58103)(83)2，原有水量(102)324，要求2小时淘完，要安排242214人淘水【例题6】画展8:30开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点就不再有人排队；如果开5个入场口，8点45分就没有人排队。求第一个观众到达的时间。【解析】设每分钟1个入口进入的人数为1个单位。8:30到9:00共30分钟3个入口共进入33090。8:30到8:45共15分钟5个入口共进入51575，15分钟到来的人数907515，每分钟到来15151。8：30以前原有人33013060。所以应排了60160（分钟），即第一个来人在7：30【例题7】在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过20级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过30级台阶到达地面．从站台到地面有级台阶．【解析】本题非常类似于“牛吃草问题”，如将题目改为：“在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过20秒后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过15秒到达地面．问：从站台到地面有多少级台阶？”采用牛吃草问题的方法，电梯20155秒内所走的阶数等于小强多走的阶数：21512010阶，电梯的速度为1052阶/秒，扶梯长度为20(12)60（阶）。【例题8】小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每小时行15千米，3小时可以追上；若骑摩托车，每小时行35千米，1小时可以追上；若开汽车，每小时行45千米，分钟能追上。让优秀成为习惯4【解析】本题是“牛吃草”和行程问题中的追及问题的结合．小明在312小时内走了15335110千米，那么小明的速度为1025(千米/时)，追及距离为155330(千米)．汽车去追的话需要：3304554(小时)45(分钟)．【练习1】有甲、乙两块匀速生长的草地，甲草地的面积是乙草地面积的3倍．30头牛12天能吃完甲草地上的草，20头牛4天能吃完乙草地上的草．问几头牛10天能同时吃完两块草地上的草？【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，由于甲草地的面积是乙草地面积的3倍，把甲草地分成面积相等的3块，那么每块都与乙草地的面积相等．由于30头牛12天能吃完甲草地上的草，相当于每块上的草由10头牛12天吃完．那么条件转换为“10头牛12天能吃完乙草地上的草，20头牛4天也能吃完乙草地上的草”，可知每天乙草地长草量为10122041245，乙草地原有草量为：205460；则甲、乙两块草地每天的新生长草量为5420，原有草量为：604240．要10天同时吃完两块草地上的草，需要240102044(头)牛．【练习2】有三块草地，面积分别为5公顷、15公顷和24公顷．草地上的草一样厚，而且长得一样快．第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天．问：第三块草地可供多少头牛吃80天？【解析】(法1)设1头牛1天吃草量为“1”，第一块草地可供10头牛吃30天，说明1公顷草地30天提供1030560份草；第二块草地可供28头牛吃45天，说明1公顷草地45天提供28451584份草；所以1公顷草地每天新生长的草量为846045301.6份，1公顷原有草量为601.63012．24公顷草地每天新生长的草量为1.62438.4；24公顷草地原有草量为1224288．那么24公顷草地80天可提供草量为：28838.4803360，所以共需要牛的头数是：33608042(头)牛．(法2)现在是3块面积不同的草地，要解决这个问题，也可以将3块草地的面积统一起来．由让优秀成为习惯5于5,15,24120，那么题中条件可转化为：120公顷草地可供240头牛吃30天，也可供224头牛吃45天．设1头牛1天的吃草量为“1”，那么120公顷草地每天新生长的草量为22445240304530192，120公顷草地原有草量为240192301440．120公顷草地可供144080192210(头)牛吃80天，那么24公顷草地可供210542(头)牛吃80天．【练习3】有三块草地，面积分别是4公顷、8公顷和10公顷．草地上的草一样厚而且长得一样快．第一块草地可供24头牛吃6周，第二块草地可供36头牛吃12周．问：第三块草地可供50头牛吃几周？【解析】设1头牛1周吃草量为“1”，第一块草地可供24头牛吃6周，说明1公顷草地可供6头牛吃6周；第二块草地可供36头牛吃12周，说明1公顷草地可供4.5头牛吃12周．那么1公顷草地1周新生长的草量为4.512661263份，1公顷草地原有草量为63618．第三块草地1周新生长的草量为31030，第三块草地原有草量为1810180．50头牛中，若有30头牛去吃每天生长的草，那么剩下的20头牛需要180209周可以把原有草吃完，即这块草地可供50头牛吃9周．【练习4】一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果3人淘水40分钟可以淘完；6人淘水16分钟可以把水淘完，那么，5人淘水几分钟可以把水淘完？【解析】设1人1分钟淘出的水量是“1”，401624分钟的进水量为34061624，所以每分钟的进水量为24241，那么原有水量为：314080．5人淘水需要805120(分钟)把水淘完．让优秀成为习惯6【练习5】画展9点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9点5分就没有人排队．求第一个观众到达的时间．【解析】如果把入场口看作为“牛”，开门前原有的观众为“原有草量”，每分钟来的观众为“草的增长速度”，那么本题就是一个“牛吃草”问题．设每一个入场口每分钟通过“1”份人，那么4分钟来的人为39552，即1分钟来的人为240.5，原有的人为：30.5922.5．这些人来到画展，所用时间为22.50.545(分)．所以第一个观众到达的时间为8点15分．点评：从表面上看这个问题与“牛吃草”问题相离很远，但仔细体会，题目中每分钟来的观众一样多，类似于“草的生长速度”，入场口的数量类似于“牛”的数量，问题就变成“牛吃草”问题了．解决一个问题的方法往往能解决一类问题，关键在于是否掌握了问题的实质．【练习6】两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走3级梯级，女孩每秒可走2级梯级，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。问：该扶梯共有多少级梯级？【解析】本题与牛吃草问题类似，其中扶梯的梯级总数相当于原有草量；而自动扶梯运行的速度则相当于草的增长速度。并且上楼的速度要分成两部分︰一部分是孩子自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。自动扶梯的速度（女孩每秒走的梯级×女孩走的时间－男孩每秒走的梯级×男孩走的时间）÷（女孩走的时间－男孩走的时间）(23003100)(300100)1.5，自动扶梯的梯级总数＝女孩每秒走的梯级×女孩走的时间－自动扶梯的速度×女孩走的时间23001.5300600450150