9 一维线性谐振子ppt

§9一维线性谐振子•9.1一维线性谐振子的Hamiltonian•经典力学中，一维谐振子的Hamiltonian•势场对应于弹性恢复力•是弹性系数，是谐振子震荡园频率22221222ppHVmxmm2212Vmx2ˆˆxxFVmxekxe2km•量子力学：把x和p都对应为算符。•在位置空间中，位置坐标x是相乘算符，而动量是对位置坐标的微分算符，一维谐振子的Hamiltonian算符不显含时间，是谐振子的能量算符。ˆpix222221ˆ22dHmxmdxˆH•9.2求解定态Schrodinger方程•即•A).取得B)定义无量纲能量、无量纲坐标•方程：ˆ()()HxEx222221()()()22dmxxExmdx1m2221()()()2dxxExdxExxmm()()x2221()()()2dd•在边界条件之下求解方程•即求解：•A)方程的渐进形式和渐进解•方程的渐进形式•渐进解•舍去保留（束缚态）,()02221()()()2dd222(2)0dd2220dd22e22e22e•B)在为有限的区域,令满足的方程•其解是一个无穷级数。为了满足束缚态条件，该级数必须中断为多项式。只有当或•的解为Hermite多项式22()eu22)(udeud22222([21)]udeud()u(21)02uuu212,0,1,2,......nn1()0,1,2,......2nnn()u)H(n•9.3谐振子的能量本征值和本征函数满足正交归一条件•据此可以得到归一化常数•还原到原来量纲的能量本征值和本征函数•12nn22()()nnnceH0,1,2,....nH()n2H()H()2!nmnmnedn12(2!)nncn1()2nEn221122()()()2!xnnnxeHxn0,1,2,....n•本征函数和对应的本征值举例220014221114222222143322331411()exp(),22213()exp()22115()(21)exp()222117()(23)exp()223xxExxxExxxExxxxE量子力学概率与经典概率的比较兰线是经典概率密度红线是量子概率密度谐振子势能曲线和概率密度分布•9.4本征值和本征函数的数学性质•A.能量本征值取分立值，即谐振子的能量是量子化的.谐振子能量的本征值有下界而没有上界，它的下界是基态能量，也称零点能，是一个非零的正值，没有经典对应。•B.谐振子的能量的本征函数组成正交、归一的完全系•谐振子的全部本征函数的集合组成完全系，即任何一维坐标变量的函数（要求它的绝对值的平方是可以积分的），都可以用展开：012E()()mnmnxxdx{}n{}n()x()()nnnxax展开系数C.一维谐振子每一个能量的本征值对应有一个本征函数，即能级是不简并的。D.坐标算符或动量算符作用于本征函数上，结果是()()()()()()mmnnnmnnnnmnmnxxdxxaxdxaxxdxaa111()[()1()]2nnnxxnxnx11ˆ()()[()1()]2nnnpxinxnx•E.本征函数加上相应的时间因子是谐振子的可能状态，这些可能状态称为定态。定态的叠加不再是定态，但是仍然是薛定谔波方程的解，仍然是谐振子的可能状态。•如果初始时刻制备在某一个本征态，那么任意时刻它都将处在这个定态•如果初始时刻制备在某一个叠加态•那么t时刻它的状态是()mx(,)()miEtmmxtxe011()[()()]2xxx01011(,)[()()]2iiEtEtxtxexe•9.5三维各向同性谐振子•1.定态schrodinger方程•Hamiltonian•定态薛定谔方程•（1）可以分解为3个一维谐振子的方程。令222222222222222222ˆ11ˆ22221()()22pHmrmrmmmxyzmxyzˆ()()HrEr()(,,)()()()rxyzxyz•代入（1）•两端同除以：•上式三个方括号分别是三个独立坐标变量x,y,z的函数，它们的和为一个常数E,因此，三个方括号必须分别是与坐标变量无关的常数：222222222221()()()()()()()()22()()()xyzmxyzxyzmxyzExyz()()()xyz2222222222222221111[()][()]222211[()]22mxmymmxymzEmz••分别是一维谐振子的本征函数，•是本征值。利用前面的结果：•有2222211()22xmxEmx2222211()22ymyEmy2222211()22zmzEmzxyzEEEE(),(),()xyz,,xyzEEE1(),0,1,2,,,,2iiiEnnixyz3(),0,1,2,32xyzENNnnn•对于个给定的，可以有不同的组合方式•，只有一种可能（0，0，0）•本征函数为•能量本征值•可选为（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）共三种方式，相应的本征函数为•能量本征值(三重简并）N,,xyznnn0N(,,)xyznnn000000()()()xyz1N032E(,,)xyznnn100100()()()xyz010010()()()xyz001001()()()xyz152E•能量量子数N，能量本征值••简并度为1(1)(2)2fNN3()2EN