上极限和下极限

返回后页前页*§3上极限和下极限数列的上极限与下极限是非常有用的概念,通过一、上(下)极限的基本概念程来说,上(下)极限也是不可缺少的工具.极限或下极限来解决问题.此外,对于不少后继课考虑的某些数列不存在极限的情形,那时需要用上册第十二、十四章讨论级数收敛性时,常会遇到所它们可得出数列极限存在的另一个充要条件.在下二、上(下)极限的基本性质返回返回后页前页一、上(下)极限的基本概念注点集的聚点与数列的聚点之间的区别在于:定义1若数列{}nx满足:在数0x的任何一个邻域内均含有中的无限多项,则称x0是数列{}nx{}nx常数列()naa只有一个聚点:a.的一个聚点.限多个项”.现举例如下:前者要求“含有无限多个点”,后者要求“含有无返回后页前页定理7.4有界数列至少存在一个聚点,并且有最大但作为数列来说,它却有两个聚点:11.和有五个聚点:1,22,0,22,1.π{sin}4n数列0,.knxxk从数列聚点的定义不难看出,x0是数列的聚{}nx{(1)}n作为点集来说它仅有两个点,故没有聚点;点的一个充要条件是:存在的一个子列{},knx{}nx聚点和最小聚点.返回后页前页又设|{},nExxx是的聚点由于E非空有界,故由确界原理,存在sup,inf.AEAE下面证明A是{xn}的最大聚点,亦即.EA证设}{nx为有界数列,由致密性定理,存在一个的一个聚点.0{}nxx是收敛子列0{},(),kknnxxxk于是首先,由上确界的性质,存在,Ean使.Aan返回后页前页,11存在,1nx使;1||11axn,212存在221(),nxnn使221||;2nxa(,)iiaa{}nx内含有的无限多项.现依次令,1kk存在1(),knkkxnn使;1||kaxknk因为ia是}{nx的聚点,所以对任意正数在区间,........................返回后页前页这样就得到了{xn}的一个子列满足:,}{knxlimlim()lim,kknnkkkkkxxaaA.EA同理可证.EA定义2有界数列}{nx的最大聚点A与最小聚点A分别称为}{nx的上、下极限,记为lim,lim.nnnnAxAx即证得{},nAx也是的一个聚点所以返回后页前页注由定理7.4得知,有界数列必有上、下极限.提供了一个新的平台.的上、下极限总是存在的,这为研究数列的性质极限来研究该数列往往是徒劳的;但是有界数列数列若有界,它的极限可以不存在,此时想通过这样,上、下极限的优越性就显现出来了:一个返回后页前页例1考察以下两个数列的上、下极限:lim(1)1,lim(1)1.11nnnnnnnn111limlim0(lim);nnnnnn从中可大致看出数列的极限和数列的上、下极限之间存在着的内在联系.详细讨论请见下文.返回后页前页二、上(下)极限的基本性质由上、下极限的定义,立即得出:定理7.5对任何有界数列,}{nx有下面这个定理刻画了极限与上、下极限之间的关系.定理7.6有界数列}{nx存在极限的充要条件是:limlim.nnnnxx(1)limlim.nnnnxx(2)返回后页前页limlim.nnnnxx证设lim.nnxA对于任意正数在,(;)UA之外只有有限项.这样,对任意的若,BA}{nx0(;))UA在之外只有有限项.这就是说,B}{nx不是的聚点,故仅有一个聚点A,从而}{nx}{nx那么在内(此时必0||0,2BA0(;)UB取反之,若上式成立,则的聚点惟一(设为A),}{nx返回后页前页一的假设相矛盾.另一聚点,导致与聚点惟性定理,这无限多项必有{}nx的无限多项.由致密0(;)UA之外含有使得在00,倘若不然,则存在lim.nnxA此时易证返回后页前页定理7.7设}{nx为有界数列,则有1limnnxA的充要条件是:对于任意的,0(i)存在N,当nN时,;Axn(ii){},,1,2,.kknnxxAk存在lim2nnxB的充要条件是:对于任意的0,(i)存在N,当nN时,;Bxn(ii){},,1,2,.kknnxxBk存在证在形式上是对称的,所以仅证明.12和1返回后页前页.limAxnn必要性设因为A是}{nx的一个聚点,使得所以存在,}{knx(),knxAk故对于任意的存在0,0,K当kK时，.knAx将{}knx中的前面K项剔除,这样就证明了(ii).[,)A上,至多只含}{nx的有限项.不然的话,因为}{nx}{nx有界,故在上[,)A还有聚点,这与A是最大聚点相矛盾.设这有限项又因A是}{nx的最大聚点,所以对上述在区间,返回后页前页的最大下标为N,那么当nN时,.nxA充分性任给,0综合(i)和(ii),在),(AA上含有{xn}的无限项,即A是{xn}的聚点.而对于任意的0,,2AAAA令由于满足02nAAxA的项至多只有有限个,这说明在),(00AA返回后页前页lim.nnxA定理7.8(保不等式性)设{xn},{yn}均为有界数{xn}的有限项,故不是{xn}的上也至多只有A从而有聚点,所以A是的最大聚点.{}nx.nnxy列,并且满足:存在当nN0时,有00,N则取上(下)极限后,原来的不等号方向保持不变:返回后页前页证设lim,lim,nnnnxAyB因为B是{yn}的聚点,所以存在,{}knylim.{}kknnkyBx又有界，特别若则更有,nnaxyb故存在的一个收敛子列,{}knx{}kjnxlim.kjnjxAlimlim,limlim.nnnnnnnnxyxy(3).limlimbyxannnn(4)返回后页前页.AAB同理可证关于上极限的不等式;而(4)式则可由,kkjjnnxy又因(1)与(3)式直接推得.}{nx的最小聚点A理应满足的聚点,它与BA}{nxjA也是.由于的极限,便得取返回后页前页证这里只证明(i),(ii)可同理证明.设lim,lim.nnnnAaBb由定理7.7,存在N,当nN时,,2,2BbAann(i)lim()limlim;nnnnnnnabab(5)(ii)lim()limlim.nnnnnnnabab(6)例1}{,}{nnba都是有界数列,那么设返回后页前页再由定理7.8的(4)式,得lim().nnnabAB因为是任意的,故lim()limlim.nnnnnnnabABab注这里严格不等的情形确实会发生,例如1(1),(1).nnnnab故.BAbann返回后页前页例2设,且limlimnnnnxABx1lim()nnnxx.0求证的全体聚点的集合为}{nx].,[BA证设E是的全体聚点的集合,显然有}{nxlim1,lim1,nnnnablim()0.nnnab而],,[BAE,.AEBE内仅含的有限项:}{nx,0000(;)Ux在任给,欲证如若不然,则存在),(0BAx0.xE返回后页前页1212,,,().NnnnNxxxnnn之内.又因所以存在1lim()0,nnnxx,K当nK时,有010.(7)nnxx这就是说,当时,所有的均不在Nnnnx0(;)Ux},,max{NnKK令当nK时,由(7)导致所有的或者都有或者都有00,nxxnx00.nxx前者与B是的聚点矛盾;后者与A是{}nx{}nx返回后页前页].,[BAE的聚点矛盾.故证得,即从而Ex0[,],ABE定理7.9设{xn}为有界数列.则有(i)A是{xn}的上极限的充要条件是(ii)B是{xn}的下极限的充要条件是证这里仅证(i).设,显然是一sup{}nkknax}{nalimsup{};knknAx(8)liminf{}.knknBx(9)返回后页前页递减数列,并且有界,lim.nnaa设一方面,因为limlimlim.nnnnnnAxaaa,nnxa所以另一方面,0,112sup{,,},axx由于根据上确界定义,1111,.nnxa使得又因{},,1,2,,nnaaan递减故所以有11.nxaa同理,由于返回后页前页这样得到的子列因仍为有界的,故其上极限{}knx因是任意的,所以又得.从而证得aA.aA照此做下去,可求得使12,knnn11,1,2,.(10)kknnxaak111112sup{,,},nnnaxx211.,nnxaa2111,nnn使得2.AAa求上极限,由不等式性质(4),得出,.AAA且显然有亦存在,设为(10)式关于k返回后页前页例3用上、下极限证明:若为有界发散数列,{}nxlimlimlimlim.jjnnnnjnjnxxxx注本例命题用现在这种证法,可以说是最简捷的.{},{},jjnnxx使得limlim.nnnnxx{}nx为于是存在的两个子列{}nx证由定理7.6,有界数列发散的充要条件{}nx则存在的两个子列,收敛于不同的极限.返回后页前页例4证明:对任何有界数列有{},{},nnxylim()limlim.nnnnnnnxyxy(11)lim()limlim,nnnnnnnxyyx(12)limlimsup{}nknnknyy证根据定理7.9的(8)与(9),可得limlim(),nnnnyy若能证明便不难得出结果.分析将(11)式改写为liminf{}lim().knnknnyy返回后页前页把它用于(12)式,并利用例1的结论(6),便有lim()limlim()lim()nnnnnnnnnnxyyxyy这也就证明了(11)式.lim()lim,nnnnnnxyyx返回后页前页复习思考题种定义方式各有哪些特点?试从直观性、应用的方便性等方面,分析这三它们的充要条件(定理7.7与定理7.9)来定义.数列的上、下极限,除用定义2定义外,也可用