32-2随机变量的独立性

1一、随机变量的相互独立性二、二维随机变量的推广三、小结随机变量的相互独立2.),()(),(},{}{},{,.),()(),(),(的相互独立是和则称随机变量即有若对于所有函数的分布函数及边缘分布量分别是二维随机变及　　设YXyFxFyxFyYPxXPyYxXPyxYXyFxFyxFYXYX一、随机变量的相互独立性1.定义3},{}{},{jijiyYPxXPyYxXP相互独立和YX2.说明(1)若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为.,2,1,,},{jipjYiXPij.jiijppp即.)(例的任意两行（列）成比矩阵ijp4).()(),(yfxfyxfYX则相互独立和,)3(YX相互独立和YX则有边缘概率密度分别为的联合概率密度为设连续型随机变量),(),(),,(),()2(yfxfyxfYXYX.)()(也相互独立和YgXf5),(YXijp)1,1()2,1()3,1()1,2()2,2()3,2(619118131解的分布律改写为将),(YX例1的分布律为已知),(YX.,(2);)1(的值与求相互独立与若应满足的条件与求YX6XY32112619118131(1)由分布律的性质知：,0,0,1311819161.310,0:且即应满足的条件是7(2)因为X与Y相互独立,所以18/19/13/16/1从而91,928XY1xipjp816181例2（p56例3.2.2）设r.vX与Y相互独立，下表给出了（X,Y）的分布律及关于X与Y的边缘分布律的部分值，试将其余的值填入表中空白处。2x1y2y3y9XYipjp816181241832131121414143解1x2x1y2y3y10.),(,],[),,(,2的联合概率密度求上服从均匀分布在服从并且相互独立和设随机变量YXbbYσaNXYX;,eπ21)(222)(xσxfσaxX又)()(),(yfxfyxfYX所以解由于X与Y相互独立,例311.,0,,21)(其他bybbyfY,eπ2121),(222)(σaxσbyxf得.0),(,yxfby时当.,bybx其中12因为X与Y相互独立,解所以求随机变量(X,Y)的分布律.例3设两个独立的随机变量X与Y的分布律为XXP317.03.0YYP424.06.0.}{}{},{jijiyYPxXPyYxXP}4{}1{}4,1{YPXPYXP4.03.0,12.0}2{}1{}2,1{YPXPYXP6.03.0,18.013的联合分布律为因此),(YXXYipjp13240.30.70.60.40.180.120.420.2814*例4一负责人到达办公室的时间均匀分布在8~12时,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7~9时,设他们两人到达的时间相互独立,求他们到达办公室的时间相差不超过5分钟的概率.解,达办公室的时间书到分别是负责人和他的秘和设YX的概率密度分别为和由假设YX,,0,128,41)(其它xxfX,,0,97,21)(其它xyfY,,相互独立由于YX的概率密度为得),(YX15)()(),(yfxfyxfYX.,0,97,128,81其它yx}121{YXPGyxyxfdd),().(81的面积GOxy81279ABBCCG16的面积的面积的面积而CBAABCG22121121121321.61于是}121{YXP)(81的面积G.481.4815分钟的概率为不超过到达办公室的时间相差因此负责人和他的秘书Oxy81279ABBCCG17.,,,21为任意实数其中nxxx二、二维随机变量的推广},,,,{),,,(221121nnnxXxXxXPxxxF1.分布函数的分布函数维随机变量),,,(21nXXXn18有实数使对于任意若存在非负函数nnxxxxxxf,,,),,,,(2121.),,,(),,,(2121度函数的概率密为则称nnXXXxxxfnnxxxnnnxxxxxxfxxxF11,ddd),,,(),,,(2121212.概率密度函数19.),,,(121分布函数边缘的关于维随机变量称为XXXXnn.),(),,,(2121边缘分布函数的关于维随机变量称为XXXXXnn其它依次类推.),,,,()(111xFxFX),,,,,(),(2121,21xxFxxFXX3.边缘分布函数20边缘概率密度分别为的关于关于则),(,),,,(21121XXXXXXn.)1(),,,(21率密度维边缘概的同理可得nkkXXXn,),,,(),,,(2121密度的概率是若nnXXXxxxf,ddd),,,()(322111nnXxxxxxxfxf.ddd),,,(),(432121,21nnXXxxxxxxfxxf4.边缘概率密度函数215.相互独立性有若对于所有的nxxx,,,21.,,,21是相互独立的则称nXXX有若对于所有的nmyyyxxx,,,,,,,2121),()()(),,,(212121nXXXnxFxFxFxxxFn),,,(),,,(),,,,,,,(2122112121nmnmyyyFxxxFyyyxxxF,),,,,,,,(),,,(),,,,(,,2121212121的分布函数和依次为随机变量其中nmnmYYYXXXYYYXXXFFF.),,(),,(11相互独立与则称随机变量nmYYXX22.),,,(),,,(,,.),,2,1(),,2,1(,),,,(),,,(21212121相互独立和则是连续函数若又相互独立和则立相互独和设nmjinmYYYgXXXhghnjYmXYYYXXX定理6.重要结论23三、小结).()(),(yfxfyxfYX相互独立和YX.)()(,.3也相互独立和则相互独立和YhXgYX相互独立和YX.)(例的任意两行（列）成比矩阵ijp1.对离散型r.v2.对连续型r.v