统计学(8)抽样分布

第八章抽样分布•统计方法描述统计推断统计参数估计假设检验所谓统计推断，就是根据概率论所揭示的随机变量的一般规律性，利用抽样调查所获得的样本信息，对总体的某些性质或数量特征进行推断。参数估计假设检验这两类问题的基本原理是一致的，只是侧重点不同而已。参数估计问题侧重于用样本统计量估计总体的某一未知参数；假设检验问题侧重于用样本资料验证总体是否具有某种性质或数量特征。统计推断抽样：所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合看作总体，构成总体的每一个元素作为个体，从总体中抽取一部分的个体所组成的集合叫做样本，样本中的个体数目叫做样本数量。一般情况下：样本量大于等于30---大样本样本量小于等于30---小样本第一节三种不同性质的分布一.总体分布二.样本分布三.抽样分布1.总体中各元素的观察值所形成的相对频数分布2.分布通常是未知的3.假定它服从某种分布一、总体分布总体总体是指考察的对象的全体，个体是总体中的每一个考察的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量是指样本中个体的数目。样本分布是用来估计总体分布的。样本分布有区别于总体分布，它是从总体中按一定的分组标志选出来的部分样本容量。当样本容量n逐渐增大时，样本分布逐渐接近总体的分布。二、样本分布从已知的总体中以一定的样本容量进行随机抽样，由样本的统计数所对应的概率分布称为抽样分布。抽样分布是统计推断的理论基础。三、抽样分布三、抽样分布抽样分布总体样本样本方差样本均值从一个给定的总体中抽取（不论是否有放回）容量（或大小）为n的所有可能的样本，对于每一个样本，计算出某个统计量（如样本均值或标准差）的值，不同的样本得到的该统计量的值是不一样的，由此得到这个统计量的分布，称之为抽样分布。第二节单总体样本统计量的抽样分布一.样本均值的抽样分布二.样本比例的抽样分布三.抽样方差的抽样分布一、样本均值的抽样分布1.容量相同的所有可能样本的样本均值的概率分布2.进行推断总体总体均值的理论基础关于正态分布的一个定理=50=10X总体分布n=4抽样分布Xn=165x50x5.2x定理：若Xi～N(μ,σ2)，则X～N(μ,σ2/n)例：若Xi～N(50,100)，n=4，则X～N(50,25)若Xi～N(50,100)，n=16，则X～N(50,2.5)抽样分布与总体分布的关系正态分布非正态分布大样本小样本正态分布正态分布非正态分布总体分布1.样本均值的数学期望2.样本均值的方差•重复抽样•不重复抽样样本均值的数学期望与方差)(XEnX22122NnNnX样本均值的抽样平均误差1.测度所有样本均值的离散程度2.取值小于总体标准差3.计算公式为nX1.比例：指总体(或样本)中具有某种属性的单位与全部单位总数之比。•例1：不同性别的人与全部人数之比•例2：合格品与全部产品总数之比2.总体比例可表示为3.样本比例可表示为•二、样本比例的抽样分布NNNN101或nnPnnP101或比例：1.样本比例的数学期望2.样本比例的方差•重复抽样•不重复抽样样本比例的数学期望与方差)(PEnP)1(21)1(2NnNnP三、样本方差的抽样分布Xi是来自正态总体的简单随机样本，则比值的抽样分布服从自由度为(n-1)2分布，即),(~2NXi)1(~)1(222nsn22)1(sn1.由阿贝(Abbe)于1863年首先给出，后来由海尔墨特(Hermert)和卡·皮尔逊(K·Pearson)分别于1875年和1900年推导出来2.设，则3.令，则Y服从自由度为1的2分布，即•4.当总体，从中抽取容量为n的样本，则关于2分布),(~2NX)1,0(~NXZ2ZY)1(~2Y),(~2NX)1(~)(2212nXXnii1.分布的变量值始终为正2.分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋于对称3.E(2)=n，D(2)=2n(其中，n为自由度)4.可加性：•若U和V为两个独立的2分布随机变量，U~2(n1)，V~2(n2),则U+V这一随机变量服从自由度为n1+n2的2分布2分布的性质第三节两总体样本统计量的抽样分布一.两个样本均值之差的抽样分布二.两个样本比例之差的抽样分布三.两个样本方差比的抽样分布1.两个总体都为正态分布，即，2.两个样本均值之差的抽样分布服从正态分布，其分布的数学期望为两个总体均值之差•方差为各自的方差之和一、两个样本均值之差的抽样分布),(~2111NX),(~2222NX21XX2121)(XXE222121221nnXX1.两个总体都服从二项分布2.分别从两个总体中抽取容量为n1和n2的独立样本，当两个样本都为大样本时，两个样本比例之差的抽样分布可用正态分布来近似3.分布的数学期望为•方差为各自的方差之和二、两个样本比例之差的抽样分布2121)(PPE2221112)1()1(21nnPP三、两个样本方差比的抽样分布1.两个总体都为正态分布，即X1~N(μ1,σ12)的一个样本，Y1，Y2，…，Yn2是来自正态总体X2~N(μ2,σ22)2.从两个总体中分别抽取容量为n1和n2的独立样本3.两个样本方差比的抽样分布，服从分子自由度为(n1-1)，分母自由度为(n2-1)F分布，即)1,1(~212121nnFSS1.由统计学家费舍(R.A.Fisher)提出的，以其姓氏的第一个字母来命名则2.设若U为服从自由度为n1的2分布，即U~2(n1)，V为服从自由度为n2的2分布，即V~2(n2),且U和V相互独立，则3.•称F为服从自由度n1和n2的F分布，记为F分布21nVnUF),(~21nnFFF分布图示不同自由度的F分布F（1,20)(5,20)(10,20)