第二章随机变量及其分布

LOGO第二章随机变量及其分布2.1随机变量及其分布函数DepartmentofMathematics,TianjinUniversity内容提要随机变量的定义1分布函数的定义和性质2DepartmentofMathematics,TianjinUniversity随机变量设E是随机试验，Ω是样本空间.若对每个样本点ω∈Ω,都有一个确定的数X(ω)与之对应，则称Ω上的实值函数X(ω)为随机变量（randomvector,r.v.）随机变量的定义1注：X(ω)的取值具有随机性.DepartmentofMathematics,TianjinUniversity举例例1：测试灯泡的寿命，样本空间为Ω={t:t∈[0,+∞},用X表示灯泡的寿命，则X就是随机变量，它随随机试验结果的不同而取不同的值：{X=20}表示灯泡的寿命是20单位时间，{X≤100}表示灯泡寿命不超过100.例2:掷两枚硬币，以X表示出现正面的次数，则X是一随机变量：{X=2}表示出现两次正面；{X≥1}表示至少出现一次正面.注：分布函数是定义在R上的一个实函数.DepartmentofMathematics,TianjinUniversity随机变量的分布函数2随机变量用来表示随机事件,而随机事件的出现有一定的概率.分布函数：设X是一个随机变量，对任意的x∈R,令F(x)=P(X≤x),x∈R,称F(x)为随机变量X的分布函数.DepartmentofMathematics,TianjinUniversity分布函数的性质1.规范性：即0≤F(x)≤1,F(-∞)=limx--∞F(x)=0,F(+∞)=limx-+∞F(x)=1.2.单调不减性：即对任意的x1x2,有F(x1)≤F(x2).3.右连续性：即F(x+0)=F(x).DepartmentofMathematics,TianjinUniversity分布函数的几何意义：分布函数F(x)表示随机变量X落在区间（-∞,x]上的概率.任何事件的概率可以由分布函数表示：P(x1X≤x2)=P(X≤x2)-P(X≤x1)=F(x2)-F(x2);P(X=a)=P(X≤a)-P(Xa)=F(a+0)-F(a-0);P(x1Xx2)=P(Xx2)-P(X≤x1)=F(x2)-F(x1)-P(X=x2)P(x1≤X≤x2)=F(x2)-F(x1)+P(X=x1);P(Xa)=1-F(a);P(X≥a)=1-P(Xa)=1-F(a)+P(X=a).LOGO第一章随机事件与概率2.2离散型随机变量的概率分布DepartmentofMathematics,TianjinUniversity内容提要离散型随机变量的定义1离散型随机变量的分布律2例题3常见离散型随机变量的分布4DepartmentofMathematics,TianjinUniversity离散型随机变量:只能取有限个或可列个值的随机变量称为离散型随机变量.离散型随机变量的定义1例：DepartmentofMathematics,TianjinUniversity离散型随机变量的分布律2离散型随机变量的概率分布律：设X为离散型随机变量,所有可能取值为x1,x2,…,且P(X=xk)=pk,k=1,2,….则称上式为离散型随机变量X的（概率）分布律（列）.分布列也可以用表格表示为：Xx1x2…xk…PXp1p2…pk…DepartmentofMathematics,TianjinUniversity概率分布律的性质：（1）pk≥0k=1,2,….（2）p1+p2+…+pk+…=1.反之，若存在序列{qk,k=1,2,…}满足以上两条性质，那么该序列一定是某一离散型随机变量的概率分布律.DepartmentofMathematics,TianjinUniversity例1.对目标进行射击，知道击中为止，设每次的命中率为p.求射击次数X的分布律，并求P(X≤2).例题3例2.设离散型随机变量的分布列为P(X=k)=λbk(k=1,2,3,4,0b1).求λ.例3.已知r.v.的所有取值为1,2,3,4.且P(X=k)正比于k值.求：（1）X的分布律及分布函数F(x)；（2）P(X3),F(3).DepartmentofMathematics,TianjinUniversity常见离散型随机变量的分布40-1分布：设X的分布律为(0p1):X01PX1-pp则称X服从参数为p的0-1分布（两点分布，伯努利分布），记为X～B(1,p).例1.掷两粒骰子，以X表示出现的点数，那么X服从的不是两点分布.但是如果以X表示是否出现双六，则X服从0-1分布，且p=1/36.DepartmentofMathematics,TianjinUniversity常见离散型随机变量的分布4二项分布：设X的分布律为(0p1):q=1-p,则称X服从参数为n,p的二项分布，记为X～B(n,p).独立重复n次伯努利试验，那么事件发生的次数服从二项分布.n=1时，二项分布就是0-1分布.P(X=k),0,1,,kknknCpqkn可以证明等式是成立的.DepartmentofMathematics,TianjinUniversity例2.加工一件产品为一级品的概率为0.2.现加工20个，求（1）这20个产品中一级品的分布律；（2）这20个产品中有5个一级品的概率.例3.设X服从参数为2,p的二项分布.已知P(X≥1)=5/9,那么成功率为p的4重伯努利试验中至少有一次成功的概率是多少？DepartmentofMathematics,TianjinUniversity常见离散型随机变量的分布4泊松分布：设X去一切非负整数值，其分布律为:则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X～P(λ).稀有事件的发生适用于泊松分布.keP(X=k),0,0,1,!kk泊松分布的概率值可以通过查表求得.DepartmentofMathematics,TianjinUniversity例4.某电话交换台每分钟接到的电话呼唤次数服从参数为4的泊松分布.求（1）每分钟恰有8次呼唤的概率；（2）每分钟呼唤次数大于10次的概率.泊松定理：设pn=λ/n,λ0是常数，则对任意非负整数k,有elim(1).!kkknknnnnCppk证明：DepartmentofMathematics,TianjinUniversity例5.汽车站每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时间内出事故的概率为0.0001，在该天的该段时间内有1000辆车通过，问出事故的次数不小于2次的概率是多少?注：泊松定理通常在n≥10,p≤0.1时就可以使用；当n≥20,p≤0.05时就近似的很好了.DepartmentofMathematics,TianjinUniversity常见离散型随机变量的分布4超几何分布：设X的分布律为:则称X服从参数为M,N,n的超几何分布，记为X～H(M,N,n).其中k的取值范围为k=0,1,2,…,min(n,k).kCCP(X=k),CnkNMNnM直观的意义：DepartmentofMathematics,TianjinUniversity常见离散型随机变量的分布4几何分布：设X的分布律为:P(X=k)=(1-p)k-1p,k=1,2,…则称X服从参数为p的几何分布.n重独立重复伯努利试验中，记每次试验A发生的概率为p,以X表示A首次发生时的试验次数，则X服从几何分布.几何分布的无记忆性：记X服从参数为p的几何分布，则对任意正整数m,n,有P(Xm+n|Xm)=P(Xn).LOGO第二章随机变量及其分布2.3连续型随机变量及其分布DepartmentofMathematics,TianjinUniversity内容提要连续型随机变量的定义1概率密度函数的性质2常见连续型随机变量的分布3DepartmentofMathematics,TianjinUniversity定义：设随机变量的分布函数为F(x),若存在非负可积函数f(x),使得对任意的x∈R,都有则称X为连续型随机变量，并称f(x)为X的概率密度函数.连续型随机变量的定义1F()()dxxfttDepartmentofMathematics,TianjinUniversity注：由高等数学知识可知：连续型随机变量的分布函数一定是处处连续的，且在f(x)的连续点处，有F()().xfx概率密度名称的由来：具有以上二性质的任一函数f(x)必是某连续型随机变量的密度函数.DepartmentofMathematics,TianjinUniversity(1)f(x)≥0;(2).概率密度函数的性质2+-f()d1xx(3)对任意的实数a,b（ab）,有P(aX≤b)=F(b)-F(a)=DepartmentofMathematics,TianjinUniversitya()dbfxx(4)对任意的实数a,P(X=a)=0.(5)因此可求X落在任一区间内的概率.(6)由F(x)也可确定f(x).DepartmentofMathematics,TianjinUniversity例1:在区间[0，a]上任意投一点，以X表示该点的坐标，设该点落在[0,a]内任意小区间的概率与该小区间的长度成正比.求X的分布函数.DepartmentofMathematics,TianjinUniversity均匀分布若随机变量X的概率密度函数为则称X服从区间[a,b]上的均匀分布，记为X～U[a,b].常见连续型随机变量的分布31,[,],f()0,xabxbaotherwiseDepartmentofMathematics,TianjinUniversity例2:设K在[0，5]上服从均匀分布，求方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的概率.（1）f(x)的图形：（2）F(x)的表达式：（3）均匀分布描述一种几何概型.DepartmentofMathematics,TianjinUniversity指数分布设随机变量X的概率密度为则称X服从参数为λ的指数分布,记为X～EXP(λ).e,0,f()0,0,xxxxDepartmentofMathematics,TianjinUniversity例3:某动物的寿命X服从参数为0.01的指数分布.求(1)该动物寿命在50-150岁的概率；(2)该动物的寿命不少于100岁的概率；(3)已知该动物现100岁，求它的寿命不少于200岁的概率.(1)f(x)的图形：(2)F(x)的表达式：(3)指数分布描述各种寿命,服务时间等.DepartmentofMathematics,TianjinUniversity正态分布设随机变量X的概率密度为其中μ，σ0为常数.则称X服从参数为μ,σ2的正态分布,记为X～N(μ,σ2).22()21f()e-2xxx，，DepartmentofMathematics,TianjinUniversity(1)f(x)的图形及特性：(2)F(x)的表达式：(3)μ,σ对图形的影响：(4)x=μ时，F(μ)=1/2.(5)f(x)关于μ对称，F(μ-x)=F(μ+x).(6)令μ=0,σ2=1时，称X服从标准正态分布，即X～N(0,1).此时记22x22-11()e()ed,-.22xtxxxx，DepartmentofMathematics,TianjinUniversity(7)对任意的X～N(μ,σ2),做变换Y=(X-μ)/σ,则Y～N(0,1).例1.连续性随机变量X的概率密度函数为（1）求的近似值；（2）若已知，求c2+4x461f()e-6xxx，，31f()dxxf()df()dccxxxxDepartmentofMathemati