第二章静电场与恒定电场

第二章静电场与恒定电场2.1库仑定律电场强度一、库仑定律库仑定律是描述真空中两个静止点电荷之间相互作用的实验定律，如图2-1所示，点电荷对的作用力F可表示为(2-1)是表征真空电性质的物理量，称为真空的介电常数（电容率），其值为ReF302120212144RqqRqqR1q2q0)/(10854.8103611290mF◆库仑定律揭示的意义真空中两个静止点电荷之间的相互作用力F的大小与它们的电量和的乘积成正比；与它们之间的距离的平方成反比；力的方向沿着它们的连线，同号电荷之间是斥力，异号电荷之间是引力。◆库仑定律只能直接用于点电荷点电荷，指当带电体的尺度远远小于它们之间的距离时，将其电荷集中于一点的理想化模型。实际带电体分布在一定的区域内，称为分布电荷。◆库仑定律是大量实验的总结真空中多个点电荷构成的电荷体系，两两之间的作用力，不受其他电荷存在与否。电荷所受到的作用力是空间其余电荷单独存在时作用力的矢量代数和，即（2-2）这说明电荷之间的作用力满足线性叠加原理。二、电场强度库仑定律表明了两个点电荷之间相互作用力的大小和方向，但没有表明这种作用力是如何传递的。电场对处在其中的任何电荷都有作用力，称为电场力。电荷间的相互作用力就是通过电场传递的。ijijijjiiRqqRF304空间任意一点的电场强度定义为该点的单位正实验电荷所受到的作用力。（2-3）实验电荷是指带电量很小，引入到电场内不影响电场分布的电荷。由两个点电荷间作用力的公式（2-1），可以得到位于点处的点电荷在处产生的电场强度为（2-4）将电荷所在点称为“源点”，源点的位置用带撇号的坐标或位置矢量表示00)(lim)(0qqrFrE302044)(RqeRqRRrE图2-2场点和源点zxyOr’rR(x,y,z)(x’,y’,z’)将观察点称为“场点”，场点的位置用不带撇号的坐标或位置矢量表示。则源点到场点的距离矢量故（2-4）式也可写成（2-5）如果真空中有n个点电荷，则r点处的电场强度可由叠加原理计算。即真空中n个点电荷在r点处的电场强度，等于各个点电荷单独在该点产生电场强度的叠加。即（2-6）),,(zyx'rrR222)'()'()'('zzyyxxRrr30'4)'()(rrrrrEqiRniiiniiRqerErE12014)()(电子是自然界中最小的带电粒子之一，任何带电体的电荷量都是以电子电荷量的整数倍数值量出现的。从微观上看，电荷是以离散的方式出现在空间的。但从工程或宏观电磁学的观点上看，大量的带电粒子密集地出现在某空间体积内时，可以假定电荷以连续分布的形式充满于该体积中。基于这种假设，我们用电荷体密度（即体电荷密度）来描述电荷在空间的分布.体电荷密度的定义为（2-7）体电荷密度的单位为：。电荷面密度为：（2-8）VqV0lim)(r3/mCSqSS0lim)(r其单位为：。电荷线密度为：（2-9）其单位为：。引入连续分布电荷概念后，也可将点电荷当作分布电荷看待，其体密度为无穷大，可用函数来表示。对于单位点电荷，定义函数为另外，具有抽样特性，即2/mClqll0lim)(rmC/)(rrrrrrrr0)()(rrrrrrr10)()(VVdVdV)(rr当电荷是连续分布时，它在空间任意一点产生的电场可以通过积分的方法求得：首先将连续分布的体电荷分割为无数多的小体积元，由于体积很小，可视为点电荷，故连续分布的体电荷在空间处的电场强度可视为一系列点电荷产生的电场强度的叠加，从而得出点的电场强度为（2-10）其中，体积分为电荷所在区域。同理，连续分布的面电荷和线电荷产生的电场强度分别为VfdVf)()()(rrrrrr'4)'(4')'()('20120dVRRVVRiiRiiererrE（2-11）（2-12）【例2-1】已知一个半径为a的均匀带电圆环，求轴线上任意一点的电场强度。【解】选择圆柱坐标系，如图2-3，圆环位于xoy平面，圆环中心与坐标原点重合，设电荷线密度为。则l'4)'(4')'()('20120dSRRSSRsiiRisiererrE'4)'(4')'()('20120dlRRllRliiRiliererrEzzeryxraaaeeer'sin'cos'2/122)('azRrrRRR'rrRe所以轴线上任意一点的电场强度为图2-3带均匀线电荷的圆环oyxzRdqaPz''addl')('sin'cos4'4)'()(202/3220'20adazaazdlRyxzllRleeeerrEzlzazae2/3220)(22.2电位一、静电场的无旋性根据体电荷的场强表达式来推导静电场的旋度。'4)'()('20dVRVRerrE')1()'(41'0dVRVr')'(41'0dVRVr)(r式中，括号内的函数是一个标量函数，这表明电场强度E可以用一个标量函数的梯度来表示。对上式两边同时取旋度由矢量分析中的零恒等式知，静电场的旋度恒为零，即（2-13）由斯托克斯定理知（2-14）表明静电场是无旋场（保守场），电场强度E沿任一闭合曲线的线积分均恒为零，静电场中不存在旋涡源。)(E00Escdd0·SElE0lEdc二、电位由于静电场的无旋性，电场强度可用标量函数完整的描述静电场的特性，即(2-15)该标量函数称为电位（电势），单位：伏特（V）。式中的负号也表示电场是指向电位下降的方向。电位并不是唯一的。把任意一个常数C加到上，并不会影响E。因此要确定某一给定点的电位，必须任意设定空间某一点的电位为零，该点称为参考点。dlPQCE图2-4静电场中的电位)()(rrE电位也可以通过电场的积分来计算。因为沿场中任意闭合曲线的积分为零，等价于从场中一点延任意路径到另一点的线积分与路径无关，而只与积分的起点和终点有关。若选择Q点为电位参考点，则场域内任一点P的电位为（2-17）当电荷分布在有限区域时，通常取无穷远为参考点，即（2-18）由式（2-18）可推导出不同电荷产生的电位的表达式EElEQPdplEPdp点电荷（2-19）点电荷系（2-20）体电荷（2-21）面电荷（2-22）线电荷（2-23）Rq04NiiiRq104'4)'('0dVRVr'4)'('0dSRSsr'4)'('0dlRllr2.3静电场中的导体与电介质一、静电场中的导体导体是一种拥有大量自由电子的物质，如金属。在静电场中，导体内的自由电子会在静电力的作用下，做反电场方向的运动，直至积累在导体表面的电荷产生的附加电场在导体内处处与外加电场相抵消，此时导体内净电场为零（即静电平衡状态）。由知，导体中的电位为常数，导体为等位体，导体表面是等位面。导体内净电荷密度，任何净电荷只能分布在导体表面上（包括空腔导体的内表面）。静电平衡条件还要求导体表面上场强的切向分量，否则，电荷0E0tE将在的作用下沿导体表面运动。因此，导体表面只可能有电场的法向分量，即电场E必垂直于导体表面。其中导体表面的场强与导体表面的面电荷密度的关系为（2-24）二、静电场中的电介质1.电介质电介质与导体不同，它的原子核与周围的电子之间相互作用力很大，所有的电子均被束缚在原子核周围，没有可自由运动的自由电荷。因此在电场的作用下，唯一可能存在的运动，就是正负电荷向相反tE0snnE方向产生微小位移，从而形成极化电荷。这些极化电荷构成了新的附加场源，使原电场的分布发生变化。因而有必要单独加以讨论。按照介质分子内部结构的不同，可将其分为两类：一类是非极性分子，它的正负电荷的电中心重合，偶极矩为零。另一类是极性分子，其正负电荷的电中心不重合而，具有固有偶极矩。但由于分子的热运动，它们的排列是随机的。在没有外加电场时，从整体上看呈电中性，即总的偶极矩为零。此外，还有部分介质是由离子组成的。我们主要讨论由分子组成的介质。2.电介质的极化电介质在外电场的作用下，极性分子中的正负电荷要产生相反方向的微小位移，形成电偶极子；而对于极性分子会向外电场方向偏转，排列有序，总的电偶极矩不再为零。这两种现象均称为电介质的极化。极化的结果在电介质的内部和表面都产生了极化电荷，极化电荷产生的极化电场叠加在原来的电场上，使电场发生变化。3.电偶极子在极化了的电介质中，每个分子都起着电偶极子的作用。因此从微观上讨论电偶极子的场是很有必要的。电偶极子是指由间距很小的两个等量异号点电荷组成的系统，如图2-6所示。电偶极子的远区场取电偶极子的轴与z轴重合，电偶极子的中心在坐标原点。则电偶极子在空间任意点P的电位为其中：由于，所以将展开并略去高阶项，得Pr1r2rlOθ-q+q图2-10切向边界条件)11(4210rrq2/1221)cos4(rllrr2/1222)cos4(rllrrlr21,rr故（2-25）通常用电偶极矩表示电偶极子的大小和取向，它定义为电荷乘以有向距离，即（2-26）式（2-32）也可改写为（2-27）电偶极子的远区场为（2-28）)cos1(1rlrr)cos1(2rlrr204cosrqllpq202044cosrrprep)sincos2(430eeErrp电偶极子的场图如图2-7所示。图2-7电偶极子的场图4．极化强度为定量地计算介质极化的影响，引入极化强度矢量P，以及极化电荷密度的概念。极化强度P定义为：在介质极化后，给定点上单位体积内总的电偶极矩，即（2-29）若p是体积中的平均偶极矩，是分子密度，则极化强度也可表示为（2-30）ViVpP0limxPzyr0Vd)(rRr图2-10切向边界条件pPN5.极化介质产生的电位当介质极化后，可等效为真空中一系列电偶极子。极化介质产生的附加电场，实质上就是这些电偶极子产生的电场，如图2-8所示。在极化强度为P的电介质中取一体积元,则中的电偶极矩为，中的电偶极子在介质外r处产生的电位是整个极化介质产生的电位是利用矢量恒等式：'dV'dV'dV'dVP204')'()(RdVdRerPr''020')1('4)'(4')'()(VVRdVRRdVrPerPr'')('AAA变换为（2-31）将上式与自由电荷和和等效面分布电荷在真空中共同产生的。等效体电荷密度和等效面电荷密度分别为（2-32）（2-33）这个等效电荷也称为极化电荷或束缚电荷。'0'0')'('41')'('41)(VVdVRdVRrPrPr'0'0')'('41')'(41VSdVRRdrPSrP'0'0'41'41VPSSPdVRRdSs)'(')'(rPrPnrPr)'()'(SP2.4高斯定理一、真空中的高斯定理高斯定理描述通过一个闭合面电场强度的通量与闭合面内电荷之间的关系。先考虑点电荷的电场穿过任意封闭曲面S的通量：(2-38)对点电荷系或分布电荷，由叠加原理得出高斯定理为（2-39）04020qdRqdSRSSeSE)()(外在内在SSqq0qdSSE式（2-39）称为真空中的高斯定理。其中是闭合面内的总电荷。高斯