线性代数矩阵习题课

1、设,求An–2An-1(n≥2)。A=101020101解：An–2An-1=(A-2E)An-1=-10100010-1An-1=-10100010-1AAn-2=-10100010-1An-2101020101=0线性代数习题课（一）2、设n维向量α=(a,0,…,0,a)T(a0),其中A的逆矩阵为B，求a的值。A=E-ααT,B=E-ααT/a,解：AB=E+(1-1/a-2a)ααT,AB=E1-1/a-2a=0a=-1/2(a=1舍去)线性代数习题课（一）3、设A与A+E均可逆，G=E-(A+E)-1,求G-1。G=E-(A+E)-1=A(A+E)-1G-1=(A(A+E)-1)-1=(A+E)A-1=(A+E)(A+E)-1-(A+E)-1由A与A+E均可逆可知G也可逆，且线性代数习题课（一）4、设四阶矩阵A=(α,r2,r3,r4),B=(β,r2,r3,r4),|A+B|=|α+β，2r2,2r3,2r4|=8(|A|+|B|)=40其中α，β，r2,r3,r4均为4维向量，且已知|A|=4,|B|=1,求|A+B|。线性代数习题课（一）410011103A5、设且AX=A+2X,求矩阵X.线性代数习题课（一）解:因为AX=A+2X,所以(A–2E)X=A,而,2100111012EA又100210010011001101)|2(AEA线性代数习题课（一）,322100234010225001~初等行变等所以322234225X线性代数习题课（一）6、设001011A求An线性代数习题课（一）解：设A=λE+H，Hn=0(n≧3),，H=011001000则H2=001000000其中故An=(λE+H)n=λnE+λn-1H+λn-2H2λnnλn-1n(n-1)λn-2/20λnnλn-100λn=线性代数习题课（一）7、设矩阵6352132111A且r(A)=2，求λ和μ的值。线性代数习题课（一）1-11253μ63λ-12解：Ar2↔r3r2-5r1r3-3r11-11208μ-5-40λ+3-4-4r3-r21-11208μ-5-40λ-5μ+10又r(A)=2,故λ=5,μ=-1线性代数习题课（一）8、多项式,x-10x223x-710431-71xf(x)=求f(x)中常数项的值。解：观察f(x)的结构可知，常数项的值为d=-1×(-1)1+2×3×(-1)2+3×(2-3)=3线性代数习题课（一）9、设,求A2014。133121A解：注意到A3=-E,A6=E，故A2014=(A6)335A3A=-A线性代数习题课（一）10、计算行列式11223-1-11221-11230D=解：55405100221-11230D=554510123=-2054010-923=-204-93==24线性代数习题课（一）11、设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,(1)若|A|=0,则|A*|=0;证明:(2)|A*|=|A|n–1.线性代数习题课（一）证(1):当A=0时,则|A|的所有代数余子式从而A*=0,故|A*|=0.当AO且|A|=0时,用反证法证明.假设|A*|0,则有A*(A*)–1=E,故A=AE=A[A*(A*)–1]=AA*(A*)–1=|A|E(A*)–1=O,这与A0矛盾,故当|A|=0时,|A*|=0.均为0,线性代数习题课（一）(2)当|A|=0时,则由(1)得|A*|=0,从而|A*|=|A|n–1成立.当|A|0时,由AA*=|A|E得,|A||A*|=|AA*|=||A|E|=|A|n,由|A|0得,|A*|=|A|n–1.线性代数习题课（一）12、设A为可逆矩阵，证明其伴随矩阵A*也是证:A为可逆矩阵，则|A*|=|A|n-1≠0，故A*是可逆的。又A*=|A|A-1，故(A-1)*=|A-1|(A-1)-1=|A-1|A显然A*(A-1)*=E，故(A*)=(A-1)*。可逆的，且(A*)=(A-1)*。线性代数习题课（一）13、设矩阵A,B满足A*BA=2BA-E,其中A=diag(1,-2,1),A*为A的伴随矩阵，求矩阵B解:|A|=-2,故A可逆，且A-1=diag(1,-1/2,1),又A*=|A|A-1=-2A-1=diag(-2,1,-2)故2(E+A-1)BA=E,即B=(E+A-1)-1A-1/2故B=diag(-1,1/2,-1)又(E+A-1)-1=diag(-1,1/2,-1)线性代数习题课（一）14、设n阶矩阵A、B、A+B可逆，试证明:A-1+B-1可逆,并求其逆矩阵。证明：∵A+B=A(A-1+B-1)B,∴|A+B|=|A|·|A-1+B-1|·|B|,又因为A、B、A+B可逆，故A、B、A+B的行列式不为零。故A-1+B-1的行列式不为零，即A-1+B-1为可逆矩阵。又A-1(A+B)B-1=A-1+B-1,故(A-1+B-1)-1=B(A+B)-1A线性代数习题课（一）15、设行列式，11223-1-11221-11230D=解：11223-1-111-11-11230D′=2132-44321==34第三行各元素余子式之和。121332-4410001321=显然M31+M32+M33+M34=D′=34线性代数习题课（一）线性代数习题课（一）16、设α1=(1,1,1)T,α2=(1,2,3)T,α1=(1,3,t)T(1)问t为何值时，向量组α1、α2、α3线性无关？(2)问t为何值时，向量组α1、α2、α3线性相关？线性相关时，将α3由α1、α2线性表出。解：(α1,α2,α1)=11112313t～11101200t-5～10-101200t-5故t=5时，向量组α1、α2、α3线性相关，且α3=-α1+2α2线性代数习题课（一）17、设β1=mα1+3α2+α3,β2=2α1+(m+1)α2+α3,β3=-2α1-(m+1)α2+(m-1)α3,其中向量组α1、α2、α3线性无关，试讨论向量组β1、β2、β3线性相关性。线性代数习题课（一）解：(β1β2β3)=(α1α2α3)m2-23m+1-m-111m-1m2-23m+1-m-111m-1=m(m-2)(m+1)故m=0,否则向量组线性无关。或m=-1,或m=2时向量组线性相关。AA154111、设A为n阶方阵，A*为其伴随矩阵，det(-1)n3det(A)=1/3,则线性代数习题课（一）2、设三阶方阵A≠0，B=,且AB=0，则t=413524t353解：设A=(α1,α2,α3),则AB=(α1+2α2+3α3,3α1+4α2+5α3,5α1+tα2+3α3)由于AB=0，则B的列向量为AX=0的解又三阶方阵A≠0，故AX=0至多有两个线性无关的解向量,即r(B)≤2。线性代数习题课（一）3、若n阶矩阵A满足方程A2+2A+3E=0则A-1=EA2314、设A为三阶矩阵，且|A|=1则|2A-1+3A*|=53=125线性代数习题课（一）5、设A=,则An=3000100043n00010004n线性代数习题课（一）设A=,003010400则An=12n000100012nA2n+1=004n3n+10104n+13n00A2n=6、设A=,则A-1=3000100041/300010001/47、设α=(a1,a2,…,an)≠0,β=(b1,b2,…,bn)≠0且A=αβT，则r(A)=1r(AB)≤min{r(A),r(B)}线性代数习题课（一）设A=,003010400则A-1=001/40101/3008、设A为4阶方阵,则r(A*)=1r(A*)=n,若r(A)=n1,若r(A)=n-10,若r(A)≤n-2(2)若矩阵A的秩r(A)=2，A*为A的伴随矩阵，则r(A*)=0线性代数习题课（一）(1)若矩阵A的秩r(A)=3，线性代数习题课（一）9、设A为4×3矩阵，且r(A)=2,而B=,102020-103则r(AB)=210、设A=,k1111k1111k1111k且r(A)=3,则k=-311、设三阶矩阵A=,B=,αγ1γ2βγ1γ2且|A|=2,|B|=3,则|3A|=|A+B|=,|A-B|=|AT+BT|=5420020线性代数习题课（一）作业题答案1、设矩阵20411-243A=12-2302-14B=34122-32-1C=则(1)A+B=322410372A-3C=-2-2-31-25-35B-C=-5-125-4-4529(2)若矩阵X满足A+2X=C,则X=(C-A)/2=1/22-3/21/21/2-1/2-1-2(3)若矩阵Y满足(2A+Y)+3(B-Y)=0,则Y=(2A+3B)/2=7/23111/2115/29(4)若矩阵X、Y满足3X-Y=2A,X+Y=B,则X=(2A+B)/4=5/41/23/25/41/2-1/27/45/2则Y=(3B-2A)/4=-1/43/2-7/27/4-1/25/2-11/43/5作业题答案4-105-22132、设矩阵A=,B=10-234-2-105-321则ABT=4-105-22131450-2-3-2-123011918285-1311=作业题答案线性代数习题课（一）3、用初等变换将矩阵A化成阶梯形矩阵、行最简形矩阵、及标准型。A=2-1-11211-2144-62-2436-97911-2142-1-1124-62-2436-979r1↔r2r4-(r1+r2)r3-2r2r2-2r111-2140-33-1-60-44-4006-653(-1/4)r3r4+r211-2140-33-1-601-11002-213r3+3r2r4-2r2r2↔r311-21401-1100-33-1-602-21311-21401-1000002-6000-13r3↔r411-21401-100000-130002-6r1+r3r1-r2r4+2r3-r310-10701-1000001-300000c3+c1c3-c2c5-7c1c3-3c410000010000001000000c3↔c410000010000010000000作业题答案作业题答案4、求A的逆矩阵(AE)=11-110012-3010011001r2-r111-110001-2-110011001r3-r211-110001-2-1100031-11(1/3)r311-110001-2-1100011/3-1/31/3r1+r3r2+2r31104/3-1/31/3010-1/31/32/30011/3-1/31/3r1-r21005/3-2/3-1/3010-1/31/32/30011/3-1/31/3作业题答案5、解矩阵方程:(AB)=121-1332453r2-3r1121-130-418-6(AX=B)(-1/4)r2121-1301-1/4-23/2r1-2r2103/23001-1/4-23/23/230-1/4-23/2X=作业题答案6、解矩阵方程:(AXB=C)2-432011-24=A=E(r1,r2)=A-1,B=E(r2,r3)=B-1,X=A-1CB-1=E(r1,r2)E(r2,r3)21023-414-2作业题答案7、设矩阵A、B满足AB=2B+A,且A=301120014解、有题设可知：(A-2E)B=A(A-2EA)=101301100120012014~100120010-4520012-21B=120-4522-218、计算行列式200401-120-40052-38D=2040-125-38=41010-115-34=161000-115-3-1=161000-105-3-4=16=64作