3-(3-4)力矩 转动定律解析

1力的累积效应力对空间积累效应力对时间积累效应物体运动状态的改变功--W动能--Ek冲量--I动量--P物体运动状态的改变转动时，力在时间、空间积累效应又如何呢？23-3力矩转动定律竿子长些还是短些较安全？3--力臂d刚体绕OZ轴旋转，力作用在刚体上点P，且在转动平面内，为由点O到力的作用点P的位矢。FrFrM对转轴Z的力矩F一力矩PzOMFrdMFdFrMsin大小单位米·牛顿方向Fr40iFFF0iMFFFrMFdFrMsin大小方向Fr0iM?iM5讨论FFFzFrkMsinrFM(1)若力不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量F合力矩等于各分力矩的矢量和。321MMMM对转轴的力矩zFzOMFzFFr转轴F对转轴的力矩:？为零6(2)若刚体受N个外力作用时的力矩，NFFF,,,21iiiiFrM合力是连续的FdrM合iiMM合iiiFrNNFrFrFr2211＝力不连续iiiFrM7向心力的力矩为零0F(3)当时，FB）力的方向与矢径的方向在同一直线上。0sinA）0rC）力的方向与转轴平行FFrMFdFrMsin大小：方向：Fr投影为零以上情况力矩M=08例1长为L均匀细杆，质量为m，在平面内以角速度ω转动，求M摩擦力。Xx解：建立坐标系受力分析力是连续的FdrM合dxlmgrdFM合OFdmgdmdFlxdxlmg01mgL21方向：向下9例2现有一圆盘在平面内以角速度ω转动，求摩擦力产生的力矩（μ、m、R）。rω解：rdrRm22取细圆环为质元gdmrrfdMdMMdrRdrrRmg0222dsdmrdrRmgr22gmR3210zO要揭示转动惯量的物理意义，实际上是要找到一个类似于牛顿定律的规律--转动定律。二转动定律刚体可看成是由许多质元组成，任取一质元P点，iiirdmm),()(iiniiiiiaamamFF＝内外力与成角iFiri合内力与成角iF内iri受力：iFiiriPiF内用左叉乘(1)式：ir110iniar0iira2iiirar)(iiiFFr内用左叉乘(1)式：ir)()(iiniiaarm))((iiiniiararm方向在一条直线上0iiiFr内zOiFiiriPiF内对整个刚体，求和2)(iiiirmFr12对整个刚体，求和iiirmI2)(IFrMiii合外力IM转动定律amF“牛二”定律Im2)(iiiirmFrzOiFiiriPiF内13IM定轴转动定律：绕某定轴转动的刚体，所受合外力的力矩在该轴上的分量等于刚体对该轴的转动惯量与角加速度的乘积。IM或说明：如何求力对轴的力矩呢？(2)M,I,β应是对同一轴而言的。(1)定轴转动定律是瞬时对应关系；如图可将力分解为两个力，只求那个垂直于轴的力的力矩就可以了。zOMFzFFr14(3)转动定律说明了I是物体转动惯性大小的量度。II即：I越大的物体，转动惯性就越大，保持原有转动状态的能力就越强；反之，I越小，越容易改变状态，保持原有状态的能力越弱，或者说转动惯性越小。如一个外径和质量相同的实心圆柱与空心圆筒，若受力和力矩一样，谁转动得快些呢？IMMMM一定时15纸风车疼吗？电风扇没事！16T’例1一质量m1为的物体绕在一半径为r质量为m2的圆盘上，开始时静止，求重物的加速度、绳中的张力和t时刻重物下降多高？(绳的质量与轴上的磨擦力不计)。m2rm1m1grm2gTT’N解：建立转动轴的正方向，加速度的正方向。T隔离物体分析力：列方程：a++….(1)…(2)221mrI…(4)…(5)raIrT'raamTgm11'TT…(3)线量和角量关系：17由(2)(3)(5)式:代入(1)式:rmrIgm11amrIgm11T’rm2m1m1grm2gTNTa++rITT'Irmgrm2112221121rmrmgrmrmmgm)2(2211rβa)2(2211mmgm….(1)…(2)221mrI…(4)…(5)IrT'raamTgm11'TT…(3)18221ath因为a等于常数且初速为零!T’rm2m1m1grm2gTNTa++rmmgm)2(2211rITT'21212mmgmm….(1)…(2)221mrI…(4)…(5)IrT'raamTgm11'TT…(3)212122mmgtmrβa)2(2211mmgm192T'1Tr1T'2Tgm2Ngm1gm3解：',:111Tgmm',:222Tgmm2133,,,:TTNgmm1a2a例2质量分别为m1和m2的物体通过轻绳挂在质量为m3半径为r的圆盘形滑轮上。求物体m1和m2运动的加速度以及绳子张力T1，T2。（绳子质量不计）建立轴和力矩的正方向m1m2以m1,m2和m3为研究对象，受力分析20)3(21IrTrT)5(21raa)1(1111amTgm)4(2123rmI321212121)(mmmgmmaa列方程：)2(2222amgmT线量的正方向应满足ra2T'1Tr1T'2Tgm2Ngm1gm32a1am1m221aa和求：(1)+(2),(3)带入213213121121212mmmgmmgmmT321212121)(mmmgmmaa3213221221212mmmgmmgmmT讨论：212121)(mmgmmaa2121212mmgmmTT当m3=0时2T'1Tr1T'2Tgm2Ngm1gm32a1am1m2)1(1111amTgm)2(2222amgmT21TT和求：22作业：练习五233-4力矩的功定轴转动的动能定理力的时间、空间积累效应又如何呢？24OFrsd一力矩的功cosdddsFsFAαFdssdFAcossinsinFrdθFdsA090αMddFrsin力矩的功：MdA其中：θ是刚体在力矩的作用下转过的角度。rddsdF在转动平面内25设一细杆的质量为m，长为L，一端支以枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。求：当杆到达铅直位置时重力矩所作的功二重力矩的功ZNdm·gL以杆为研究对象受力分析dmMN=0rαgxdxdMsinLm/dmgLMdAsin2120cos21mgLmgL21LgxdxM0sinsin21mgL26mgLEEEAppp21)(12刚体的重力势能)cos2(LLmgmgZECpZC为质心距0势能面的距离mgLmgLA21重力矩做功重力做功机械能守恒0点=等价CZ27三刚体转动动能定理力矩的功定义式MddAdIddtdIdI考虑一个过程，设在力矩作用下，刚体的角速度21MddAO1XM12OX2M21角位置2821MddAA21222121II21dI2122212121IIMd定轴转动刚体的动能定理：定轴转动刚体的动能定理：外力矩对转动刚体所作的功，等于刚体转动动能的增量。29说明：定轴转动刚体的动能定理中，外力矩对转动刚体所作的功，等于刚体转动动能的增量。所以：所有内力做的总功为零。所有内力矩做的总功为零。2122212121IIMd定轴转动刚体的动能定理：30例1设一细杆的质量为m，长为L，一端支以枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。求：当杆过铅直位置时的角加速度、角速度以及此时A和C点的线速度量值。(1)以杆为研究对象受力分析mg和N，N不产生对轴的力矩建立坐标系NmgZYXOL解法一：AC31建立XYZ坐标系（并以Z轴为转动量的正方向）sin2LmgMIM231mLILg2/32/00则则Fr沿Z轴正向，故取正值231sin2mLLmgsin23Lg方向：ZNmgYXOLACr322）=？dtddddtdsin23LgdLgωdωsin23dLgdsin232/00sin23LgddZNmgYXOLAC33dLgsin232/00d2/02cos2321LgLg3gLLgLLvc32132121gLLgLLvA33ZNmgYXOLAC(2)=？Lg23sin23Lg34解2：考虑杆从水平静止转到铅直方向的过程，重力做功，角速度从0→，转动动能定理。依转动动能定理2022121IIA力矩220LmgLmg）（)(pEA力矩Lg3231mLI12ppEEZNmgYXOLAC35例2劲度系数为k的轻弹簧，一端固定另一端通过一定滑轮系一质量为m的物体，滑轮半径为R，转动惯量为I，绳与滑轮无相对滑动，求物体从弹簧原长时开始(静止)下落到h距离时的速度？m解：机械能守恒222RImkhmghv222212121ImvkhmghhRv036例3一静止刚体受到一等于M0(N.m)的不变力矩的作用,同时又引起一阻力矩M1,M1与刚体转动的角速度成正比,即|M1|=a(N·m),(a为常数)。又已知刚体对转轴的转动惯量为I，试求刚体角速度变化的规律。M+M0M1解：1）以刚体为研究对象；3）分析受力矩2）建立轴的正方向；4）列方程：IMM10I转动定律：37解：IMM10IMM10IaM0IaMdtd0IdtaMd0tIdtaMd000ItMaMa)(ln100IateMaM00)1(10IateMaM1=–aM+M0I刚体角速度变化的规律。38作业：练习六