线性代数简明教程(方小娟编 科学出版社)第二章、行列式

第二章行列式行列式的概念n阶行列式的定义行列式的性质行列式按行（列）展开定理行列式的计算再论可逆矩阵设二元线性方程组a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2(1)(2)§1行列式的概念若令，，，22211211aaaaA21xxX21bbbbAX则方程组可表示为定义3.1二阶行列式1112112212212122aaaaaaaa注：二阶行列式是一个数。用消元法解方程组，当时，021122211aaaa211222111222211aaaaababx211222111212112aaaababax为了简洁明了的表示以上结果，我们引进一个符号回忆中学方程组有唯一解：引入行列式的定义后，二元一次线性方程组的解可以用二阶行列式表示。dd1,222112112221211aaaaababx111212211122122,ababxaaaadd2111221220aaaa当时，有同样，可以用消元法求解三元一次线性方程组a11x1+a12x2+a13x3=b1a21x1+a22x2+a23x3=b2a31x1+a32x2+a33x3=b3定义3.2111213212223313233aaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa.322311aaa322113aaa312312aaa312213aaa332112aaa对角线法则三阶行列式;,,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa当系数行列式333231232221131211aaaaaaaaaD,0时相应的三元线性方程组方程组有唯一解,11DDx,22DDx.33DDx,3333123221131112abaabaabaD.3323122221112113baabaabaaD333231232221131211aaaaaaaaaD,3332323222131211aabaabaabD其中说明：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．(1)项数：2阶行列式含2项，3阶行列式含6项,这恰好就是2!,3!.(2)每项构成:2阶和3阶行列式的每项分别是位于不同行不同列的2个和3个元素的乘积.(3)各项符号:2阶行列式含2项,其中1正1负,3阶行列式6项,3正3负.例1计算行列式.542303241D例2解方程29432111xx=0注：方程左端必须展成代数形式，利用代数方程的形式来解=0+24+(-24)-0-(-60)-(-12)=72例2解方程组12313231,22,3;xxxxxxx注意：系数行列式为111201.011D以及DDx11DDx22DDx33问：表示方程组解的这一结果是否可以推广到n元线性方程组呢？从而给出n阶行列式的定义定义1由n个不同的数字构成的一个有序数组称为这n个数字的一个n级排列.例如：123455123453214都是数1，2，3，4，5的一个排列.注：n个数的不同排列有个.n!自然排列.按照由小到大的顺序排成的排列称为定义2§2n阶行列式的定义一、排列的逆序数在一个排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，就称这个排列含有一个逆序.一个排列中出现的逆序的总数12()nkkk定义3称为这个排列的逆序数，排列12nkkk的逆序数通常记为例如：排列12的逆序数为，排列21的逆序数为，排列231的的逆序数为，排列213的逆序数是。0121定义4逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。n级排列12niii的逆序数的计算),,,(21niii小的数的个数后面比数11ii小的数的个数后面比数22ii小的数的个数后面比数11nnii或者),,,(21niii大的数的个数前面比数nnii大的数的个数前面比数11nnii大的数的个数前面比数22ii求排列32514的逆序数.例1例2求排列453162的逆序数.例3求排列423165的逆序数.定义5把一个排列中的两个数交换位置，其余的数不动，叫做对该排列作一次对换.将相邻的两个数对换，称为相邻对换.定理3.1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．证明：设排列为mlbbabaa11对换，abmlbbbaaa11除外，其它元素的逆序数不改变.b,aabbaab的逆序数不变;经对换后的逆序数增加1,当时，ba当时，ba经对换后的逆序数不变，的逆序数减少1.ab因此，一次相邻对换，排列改变奇偶性.设排列为nmlcbcbabaa111现来对换与a.b次相邻对换mnmlccbbabaa111次相邻对换1mnmlccabbbaa111,111nmlcbcbabaa次相邻对换12m,111nmlcacbbbaa所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.abnmlccbbbaaa111abab定理3.22n时，n个数的所有排列中，奇偶排列各占一半，各为个.2!n推论1偶数次对换不改变排列的奇偶性；奇数次对换改变排列的奇偶性。推论2任意一个n级排列都可以经过一系列对换变成自然排列，并且所作对换的次数与该排列有相同的奇偶性.三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaaD322113312312332211aaaaaaaaa332112322311312213aaaaaaaaa说明：（1）三阶行列式共有项，即项．6!3（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．二、n阶行列式的定义（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的列指标排列（当行指标排列为自然排列时）．例如322113aaa列标排列的逆序数为,211312322311aaa列标排列的逆序数为,101132偶排列奇排列正号,负号.)1(321321321)(333231232221131211ppppppaaaaaaaaaaaa12212111212122212(1).nppnpnnnnnnnnnaaaaaaaaaDaaa由个数组成的阶行列式等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积的代数和记作定义6det().ija记作的元素．称为行列式数)det(ijijaannijaA)(A当时，也可记为为这个排列的逆序数．的一个排列，，，，为自然数其中npppn2121nnnnpppppppppnnnnnnaaaaaaaaaaaaD212121212122221112111说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而引入的;3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同列个元素的乘积;nn5、一阶行列式不要与绝对值记号相混淆;aa4、的符号为nnpppaaa2121.12、阶行列式是项的代数和,其中正负项各n!n占一半，行列式是一个数;6、上式称为n阶行列式的完全展开式.行列式的等价定义nnnnnnaaaaaaaaa212222111211nnnjjjnjjjjjjaaa21212121)()1(nnniiiniiiiiiaaa21212121)()1(结论：1、共有n！项。2、每项有n个元素。3、每项这n个元素一定处于不同行不同列中。4、每项符号与逆序数的奇偶有关例1在6阶行列式中，下列项应带什么符号.;651456423123aaaaaa解651456423123)1(aaaaaa431265的逆序数为012201,6所以前边应带正号.651456423123aaaaaa,655642312314aaaaaa651456423123)2(aaaaaa,566514234231aaaaaa342165的逆序数为002301,6所以前边应带正号.651456423123aaaaaa例21211123111211xxxxxf.3的系数求x解含的项有两项,即3x1211123111211xxxxxf对应于4334221112431aaaa44332211)1234(1aaaa,1344332211)1234(xaaaa343342211124321xaaaa.13的系数为故x例3计算4阶行列式44434241333231222111000000aaaaaaaaaaD解：根据定义，D是4！＝24项的代数和，但每一项的乘积中只要有一个元素为0，乘积就等于0，所以只需展开式中不明显为0的项。njjjjaaaa4321321行列式展开式中不为0的项只可能是a11a22a33a44，而列标排列1234的逆序数为0，即此项符号为正，因此行列式D＝a11a22a33a44。主对角线以上的元素全为零（即ij时元素aij＝0）的行列式称为下三角行列式，它等于主对角线上各元素的乘积。行列式中，从左上角到右下角的直线称为主对角线。主对角线以下的元素全为0（即ij时元素aij＝0）的行列式称为上三角行列式，它等于主对角线上各元素的乘积。行列式中，除对角线上的元素以外，其他元素全为零（即i≠j时元素aij＝0）的行列式称为对角行列式，它等于主对角线上元素的乘积。例4证明1112112121121111211(),,,,nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa上面的行列式中，未写出的元素都是0。证:行列式的值为121121nnjjnjjjaaa若乘积非零，j1j2…jn只能是排列n(n－1)…21，它的逆序数为1(1)(2)212nnnn所以行列式的值为12,11,21211nnnnnnaaaa4132231441323123222114131211000000aaaaaaaaaaaaaaD例如312213312221131211000aaaaaaaaaD而n21.12121nnn;21nn21例5证明利用行列式的定义去计算行列式，显然是很麻烦的．对于阶数较高的行列式这样去计算几乎是不可能的，所以我们有必要去研究行列式的性质和找到能够比较快地进行计算的方法．§3行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等。,212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD112111222212nnTnnnnaaaaaaDaaa行列式DT称为行列式D的转置行列式。即：证：记111212122212,nnTnnnnbbbbbbDbbb即bij＝aji(i，j＝1，2，…，n)DDTnnijaAAAT*或者设则1212121nnTjjnjjjjDbbb1212121nnjjjnjjjaaaD性质2互换行列式的两行（列），行列式反号。证nnnqnpnnqpnqpaaaaaaaaaaaaD12222111111交换第p、q两列，得行列式nnnpnqnnpqnpqaaaaaaaaaaaaD122221111111说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.对于D中任一项112121pqniiipiqinaaaaa在D1中必有对应一项212121qpniiiqipinaaaaa与只经过一次对换nqpiiii1npqiiii11211与相差一个符号niqipiiinipiqiiinqpnpqaaaaaaaaaa21212121所以对于D中