线性代数简明教程(方小娟编 科学出版社)第五章、矩阵的特征值和特征向量

第五章矩阵的特征值和特征向量向量的内积和正交化矩阵的特征值与特征向量相似矩阵实对称矩阵的对角化回忆:3Rba,cosba.,的夹角表示baaaa,,321321kbjbibbkajaiaa若332211babababa则§1向量的内积和正交化推广到实数域R上的n维实向量空间:nR定义1维向量设有n,,2121nnbbbaaa1122,Tnnababab令.,的与为向量称内积说明维向量的内积是3维向量数量积的推广，但是没有3维向量直观的几何意义．4nn内积的运算性质:,,,为实数维向量为其中kn;,,)1(;,,)2(kk;,,,)3((4),0,,0.当且仅当2(5),,,(施瓦兹不等式）当时上式显然成立当时，.0),(Rx0),(xx.0),(),(2),(2xx0),)(,(4),(42),)(,(),(2证毕定义2221,,nxx令.或的维向量为称n长度范数.1的向量为单位向量称长度是0向量长度具有以下性质（1）非负性只有当时0（2）齐次性（3）三角不等式证明：),(),(2),(),(2根据内积的性质有根据施瓦兹不等式，有),)(,(),(从而),(),)(,(2),(2222)(2即.当时，,1),)(,(),(即1),(定义3,,,arccos(0)向量之间的夹角,0,,.若则称与正交记作注：零向量与任何向量都正交.定义4定义5若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组。定理1若是正交向量组，则该向量组线性无关。12,,,nrrkk11riRki,,1,,0),(0),(11rrikk),,2,1(ri0),(),(),(2211ririikkkr,,1ji0),(ji0),(iiik,0i),,2,1(0rikir,,1设由于对于任意向量则即由于是一正交向量组，故当时，因此有又因为所以故线性无关定义6设n维向量是向量空间的一组基，如果两两正交，且都是单位向量，则称其为标准正交基。12,,,reee()nWWR12,,,reee.212100,212100,002121,0021214321eeee例如.4,3,2,1,,1),(.4,3,2,1,,0),(jijieejijieejiji且且由于.,,,44321的一个标准正交基为所以Reeee.1000,0100,0010,00014321同理可知.4的一个标准正交基也为R12121212,,,,,,,,,,,,,,,,rrrrWWeeeeee设是向量空间的一组基要求的一组标准正交基就是要找一组两两正交的单位向量使与等价称为12,,,.r把这组基标准正交化基正交基标准正交基??（1）正交化，取，111222111,,,12,,,,rW若为向量空间的一组基111122221111,,,,,,rrrrrrrrr.,,,,,,111等价与且两两正交那么rrr（2）单位化，取,,,,222111rrreee12,,,.reeeW那么为的一个标准正交基132333121122,,,,例1用施密特正交化方法，将向量组123(1,1,1,1),(1,1,0,4),(3,5,1,1)TTTaaa标准正交化.解先正交化，111,1,1,1Tba1112122,,bbbabab1141,1,0,41,1,1,11111TT0,2,1,3T令.,,,,,11称为的过程向量组构造出正交上述由线性无关向量组rr施密特正交化过程222321113133,,,,bbbabbbbabab8143,5,1,11,1,1,10,2,1,3414TTT1,1,2,0T再单位化，22212130,2,1,30,,,14141414TTbeb33311121,1,2,0,,,06666TTbeb得标准正交向量组如下111111111,1,1,1,,,22222TTbeb例212312311,,,,,1.aaaaaa已知求一组非零向量使两两正交解2311230,0.Taaaxxxx,应满足方程即.110,10121它的基础解系为把基础解系正交化，即为所求．令,12a.,,1112123a于是得其中,2,,1,1121,1012a.12121101211103a定义71,.TTnAAEAAAA若阶实矩阵满足即则称为正交矩阵TAAE112111112112222212221212nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaE定理3为正交矩阵的充要条件是的列(行)向量都是单位向量且两两正交．AA1212,,,nTTnTE111222121212nnnTTTnTTTnTTTnE1,;,1,2,,0,iTjijijijnij当当由此可知A的列向量组构成的一个标准正交基。nR同样的方法，行向量组也是。例3判别下列矩阵是否为正交矩阵．,1213121121312111.9794949491989498912解（2）由于979494949198949891979494949198949891T100010001所以它是正交矩阵．定理2则阶正交矩阵皆是设,,nBA111A或12.TAA即也是正交矩阵3.AB也是正交矩阵BA,n1,1BABA例3设都是阶正交矩阵，且，求．提示：此法为定义法，利用定理3如何证明？EBBEAATT，TTBBAA11，解由，可知，于是ABAABBBEEABA11AABBAABB1111)(TTBAAB11BABAT）（所以0BA§2矩阵的特征值和特征向量,,,8,.AnnxAxxAxA设为阶方阵若存在数和维非零向量使得则称是的一个称为矩阵的属于特征值定义特征值特征向量的应当注意，根据定义特征向量不能是零向量．给定矩阵A，如何求A的特征值和特征向量呢？XAXXAE)(WA设该齐次线性方程组的解空间为．W中的任一非零向量都是的属于的特征向量。W称为关于的属于特征值的特征子空间A根据齐次线性方程组有非零解的条件可知，0AEW中就含有非零解向量．0AEA的特征方程)(fAEA的特征多项式)(fnnnnnnaaaaaaaaa212222111211Aaafnnnnn)1()()(111特征多项式展开为n我们知道次复系数多项式有个且恰有个根（重根按重数计算），故阶方阵有个复特征值．nnnn设的个特征根（重根按重数计算）为n,,1An则有)()()(1nf将该式展开，然后与上式比较系数，即可得：1111nnnnaaA从上式（２）可看出：，A有特征值０的充分必要条件是0A另外从特征值的定义可知，对角矩阵的特征值就是它的主对角线上的所有元素．若的特征值是，是的属于的特征向量，则AxA(1)kA的特征值是.(kk是任意常数).(mm(2)mA的特征值是是正整数)(3)A若可逆，则的特征值是1A1.A的特征值是1.A1,,,mkAAAA且仍然是矩阵分别对应于x的特征向量。11,,,Amk特征值还有如下性质：可得由xAxxAxAAxA111xxA11,0,A当可逆时.,1111的特征向量对应于是且的特征值是矩阵故AxA？可得由xAx***AAxAxAxAx*AAxx()(4)fx为x的多项式，则的特征值为()fA().f(5)方阵的属于不同特征值的特征向量线性无关。A1211221122111222,,,()mmmmmmmmxxxxpxpxpAxpxpxpxpxpxp设有常数使则即证111222(1,2,,1)kkkmmmxpxpxpkm类推有121212,,,,,,,,,4,,.mmmAmpppppp设是方阵的个互不相同的特征值依次是与之对应的特征向量则定线性无关理11112211221,11(,,,).1mmmmmmmxpxpxpO写成矩阵形式得112212(,,,),,,0,1,2,,.,,,.mmiiiimxpxpxpOxppximppp于是有即但故所以向量组线性无关.,该矩阵可逆各不相同时当iAEfTAT()AfTAEAE(6)矩阵和的特征值相同。TAA求特征值、特征向量的步骤：(2)AxxEAx求齐次线性方程组的一个基础解系EAx(1)即可求出特征值;12112212,,,A,,,.ttttkkkkkk可得的属于特征值的全部特征向量其中为不全为零的常数写出特征方程,0AE求其所有的根，31.13A求的特征例值和特征向量11231()13(4)(2)2,4.AfEAA的特征多项式为所以的特征值为解1122,1,;1EAx=xx当时解方程组(2)可得得到基础解系为12,1kk所以属于特征值的特征向量为为非零常数。1124,1,;1EAx=xx当时解方程组(4)可得得到基础解系为14,1kk所以属于特征值的特征向量为为非零常数。460350.361A