线性代数简明教程(方小娟编 科学出版社)第四章、线性方程组

第四章线性方程组1、克拉默法则2、线性方程组解的判定定理3、线性方程组解的结构1、方程组是否有解，2、如果有解，求出所有的解并能很好的表示出来对方程组研究的重点是：一、线性方程组的表示形式nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb11112211211222221122(1)线性方程组1,2,,;1,2,,ijaimjnmibi,,2,1其中，xi表示未知量，为方程组的系数，aij表示第i个方程第j个未知量的系数，称为常数项。§1克拉默法则ijmnAa(),nxxXx12,mbbbb12,则AXbjjjmjaajna12,(1,2,,)若令mbbbb12,则有nnxxxb1122(2)称为方程组（1）的矩阵表达式称为方程组（1）的向量表达式若，则称方程组为齐次线性方程组，否则，称为非齐次线性方程组。bAXn12,,,b线性方程组（1）有解的充要条件是可由向量组线性表示。由（2）可以看出00111111nmnmnnxaxaxaxannxx11线性表达式向量表达式▲齐次线性方程组一定有零解。n12,,,▲齐次线性方程组只有零解的充要条件是线性无关。AXn12,,,▲齐次线性方程组有非零解的充要条件是线性相关。AXn12,,,AXnnxx11容易看出二、克拉默法则那么,方程组有唯一解,,,,2211DDxDDxDDxnnnnijaA)(nxxX1nbbb1定理1设0AD若nnjnnjnnnjjnjjjaabaaaabaaaabaaD1,1,121,221,22111,111,111证明jjnnjbAbAbA1122AD0方程组可以表示为，，所以A-1存在且唯一，所以方程组存在唯一解AXbXAbAbA1*11212jjjnjnbbDAAAb于是A*b的第j个分量jjnjjnnnjnnjnnaabaaaabaaaabaa111,111,11212,122,121,1,1例1解线性方程组.0674,522,963,85243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解rrrrrD124242151002102113060771277122702120212212147614768167402125603915181DD2108D327D427于是方程组有解x1=3，x2=-4，x3=-1，x4=1由克拉默法则可以得到：如果齐次线性方程组有非零解,则齐次线性方程组的系数行列式为零。如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零,则齐次线性方程组只有零解。xxxxxxxxx1231231230,0,0.例2问为何值时，齐次线性方程组有非零解？解方程组的系数行列式为D21110011010(1)1111111.时方程有非零解可以证明这是充要条件问、取何值时，齐次线性方程组0200321321321xxxxxxxxx有非零解？0121111100011110)1(例3ijmnAa(),nxxXx12,mbbbb12,§2线性方程组解的判定定理则AXb11112211211222221122nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb线性方程组jjjmjaajna12,(1,2,,)若令则有1122nnxxxbmnmmnnaaaaaaaaaA212222111211称为上述方程组的系数矩阵nnmmmnmaaabaaabAAbaaab11121121222212[,]称为上述方程组的增广矩阵方程组与其增广矩阵一一对应定理2(线性方程组有解的判别定理))()~(ARAR线性方程组有解bAx;,,,21线性表示能由向量组向量nb;,,,,,,,2121等价与向量组向量组bnn.,,,,,,,2121的秩相等与矩阵矩阵bBAnn证明线性方程组有解的充要条件是例2:12312321231xxxxxxxxx当为何值时，方程组有唯一解？无穷多解？无解？(1)当r=n时,方程组有唯一的解;(2)当rn时,方程组有无穷多解。rARAR)()~(令211111111111111232221110110113222212001101131rr12rr13rr23rrbA当02012即1且2时，方程组有唯一解3)()~(ARAR1当当时，时，231)~()(ARAR方程组有无穷解；2)(AR,3)~(AR方程组无解．另：0)2()1(111111A212且时，即方程组有唯一解12当当时，时，111111111111~A00000000111131)~()(ARAR2)(AR,3)~(AR421211121112~A100011102121方程组有无穷解；方程组无解．（1）齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的秩r小于未知量的个数n.（2）齐次线性方程组中，若mn,则必有非零解.AX齐次线性方程组必有解因为rARAR)()(nrAX有唯一的零解推论1nrAX有无穷解bAXbbnrAR)(nrAR)(rARAR)()~()()~(ARARnrnr唯一的零解无穷解唯一解无穷解无解有解必有解§3线性方程组解的结构W1.齐次线性方程组解的结构.若为的解，则21x,xAx1122xkkAx也是的解.注：定义设1,…,t为的解，且(I)1,…,t线性无关(II)的任何解都可用1,…,t线性表出.则称1,…,t为齐次方程组的基础解系.能否用一组解表示所有的解？定理3WAX是方程组设解集合，则是nR的一个子空间(),.AmnRArAxnrnr设是矩阵，则齐次线性方程组的解空间的维数为-，即其基础解系中的所含解定理8向量个数为个111,1,1001~0000nrrrnrccccAA证：系数矩阵的秩为r，不妨假设由初等行变换可以化为A1111,21,10010000nrrrnrnxccxccx11111,11,rnrnrrrrnrnxcxcxxcxcxAx同解方程组现对取下列组数：nrx,,x1rnnrrxxx21.,100,010,001依次得rxx11,,,.nrrnrcc122,rcc111,rcc1111,100rcc1222,010rcc1,,.001nrrnrnrcc从而求得原方程组的个解：rn,下面证明是齐次线性方程组的一个基础解系．rn,,,21100,,010,001由于个维向量rnrn线性无关，所以个维向量亦线性无关.rnnrn,,,21.,,,)1(21线性无关证明n12(2),,,.nr证明解空间的任一解都可由线性表示.11方程组的一个解为上述设Tnrrx,,,,rn的线性组合再作21rnnrr2211由于是的解故也是的解.rn,,,21AxAx.下面来证明1111100rrcc1222010rrcc1,,001nrrnrnccrnnrr2211nrrrcc211,Ax由于与都是方程的解Ax而又等价于11111,11,rnrnrrrrnrnxcxcxxcxcx,都是此方程组的解与所以方程组nrrrcc211nrrr211由.c,,crr11.故.rnnrr2211即所以是齐次线性方程组的一个基础解系.rn,,1说明１．基础解系一般是不唯一的．.kkkxrnrn22112．若是的基础解系，则其通解为rn,,,21Ax.,,,21是任意常数其中rnkkk3(),,(,0);RAn当时方程组只有零解故没有基础解系此时解空间只含一个零向量为维向量空间4求解齐次线性方程组的方法见例题.例1求齐次线性方程组0377,02352,0432143214321xxxxxxxxxxxx的基础解系与通解.解,0000747510737201137723521111~A对系数矩阵作初等行变换，变为行最简矩阵，有A13423423,7754.77xxxxxx对应的同解方程组为()24,RA方程组有无穷多解。2且其基础解系中所含解向量的个数为个。自由未知量,100143及令xx,7473757221及对应有xx1227375747,,1001即得基础解系).,(,10747301757221214321Rccccxxxx并由此得到通解不唯一例2解线性方程组076530230553203454321543215432154321xxxxxxxx