线性子空间

一、线性子空间二、生成子空间§6.5线性子空间1.子空间的定义2.子空间的判定定理3.子空间举例1.生成子空间的定义2.生成子空间的性质3.生成子空间求基，维数举例一、线性子空间§6.5线性子空间1.子空间的定义2.子空间的判定定理3.子空间举例线性子空间的定义设V是数域P上的线性空间，集合()WVW若W对于V中的两种运算也构成数域P上的线性空间,则称W为V的一个线性子空间，简称为子空间．Vk+数乘线性空间注：线性子空间也是数域P上一线性空间，它也有基与维数的概念.几种常见矩阵空间以下矩阵对于矩阵加法和数乘都构成线性空间。（1）实数域上n阶矩阵作成的空间V。（2）实数域上n阶对称矩阵作成的空间W。（3）实数域上n阶上三角矩阵作成的空间U。VWU注：W，U都是v的线性子空间线性子空间的判定定理（课本254页定理2）()W，若W对于V中两种运算封闭，即设V为数域P上的线性空间，集合WV,,;WW有,,WkPkW有则W是V的一个子空间．Vk+数乘封闭证明：证明W是线性子空间，只需证明W对V中的加法和数乘运算构成线性空间即可。证明续：由于W对于V中两种运算封闭，因此只需证W中的向量满足线性空间定义的八大定律．∵，∴.且对，WWW由数乘运算封闭，有(1)W，即W中元素的负元素就是它在V中的负元素，4）成立．就是V中的零元，3）成立．由于WV，规则1）、2）、5）、6）、7）、8）是显然成立的．下证3）、4）成立．由加法封闭，有,即W中的零元0()W推论：V为数域P上的线性空间,(),WVW则,,,,.WklPklWW是V的子空间W（向量的倍数和）线性子空间的判定定理（课本254页定理2）()W，若W对于V中两种运算封闭，即设V为数域P上的线性空间，集合WV,,;WW有,,WkPkW有则W是V的一个子空间．常见空间的线性子空间举例设V为数域P上的线性空间，只含零向量的子集合是V的一个线性子空间，称之为V的零子空间．{0}W2.线性空间V本身也是V的一个子空间.这两个子空间有时称为平凡子空间，而其它的子空间称为非平凡子空间．1.零子空间3.设V为所有实函数所成集合构成的线性空间,则R[x]为V的一个子空间．4.R[x]n是R[x]的的线性子空间．V实数域上全体一元多项式R[x]全体实函数()()()fxgxkfx函数加法：函数数乘：R[x]n5.n元齐次线性方程组111122121122221122000nnnnsssnnaxaxaxaxaxaxaxaxax的全部解向量所成集合W对于通常的向量加法和数空间，称W为方程组(＊)的解空间．量乘法构成的线性空间是n维向量空间Pn的一个子常见空间的线性子空间举例(＊)分析：nnp维向量空间例1判断Pn的下列子集合哪些是子空间：11212{(,,,)0,}nniWxxxxxxxP若为Pn的子空间，求出其维数与一组基.解：1nW是元齐次方程组12=0nxxxn的全体解向量的集合，是P的子空间。方程组的一个基础解系12n-1111-1000-1000-1，，，，就是W1的一组基，维数为n-1.12n-1注：，，，满足（1）线性无关（2）任一解向量可由它们表示例2判断Pn的下列子集合哪些是子空间：若为Pn的子空间，求出其维数与一组基.21212{(,,,)1,}nniWxxxxxxxP解：1nW是元非齐次方程组12=1nxxx的全体解向量的集合，+我们知道，非齐次解非齐次解不一定是非齐次解，比如，取解向量1212101011+000，，但是不是非齐次的解向量。故W2不是Pn的子空间.例3判断Pn的下列子集合哪些是子空间：若为Pn的子空间，求出其维数与一组基.3121{(,,,,0),1,2,,1}niWxxxxPin下证W3是Pn的子空间.解：330(0,0,,0),WW首先,Pk在数域中任取3W其次，在中任取向量，，121121(,,,,0),(,,,,0)nnxxxyyy1122113(,,,,0)nnxyxyxyW则有1213(,,,,0)nkkxkxkxW故，W3为V的一个子空间，且维W3＝n－1，例3判断Pn的下列子集合哪些是子空间：若为Pn的子空间，求出其维数与一组基.3121{(,,,,0),1,2,,1}niWxxxxPin续解：故，W3为V的一个子空间，且维W3＝n－1，就是W3的一组基.1(1,0,00,)，，，2(0,1,00,)，，，n-1(0,0,10,)，，，二、生成子空间1.生成子空间的定义2.生成子空间的性质3.生成子空间求基，维数举例生成子空间的定义称为V的由生成的子空间，12,,,rV为数域P上的线性空间，则子空间12,,,rV，1122{,1,2,,}rriWkkkkPir记作．12(,,,)rL即的一切线性组合所成集合.12,,,r称为的一组生成元.12,,,r12(,,,)rLV12(,,,)rL12,,,r生成子空间的有关结论1、设W为n维线性空间V的任一子空间，是W的一组基，则有12,,,r12(,,,)rWL线性子空间由子空间的基向量生成nV维空间w子空间12r基：，，，生成子空间的有关结论1、设W为n维线性空间V的任一子空间，是W的一组基，则有12,,,r12(,,,)rWL例4在Pn中，标准基12(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,,0,1)n12(,,,)nnPL则有。12(1,1,,1),(0,1,,1),,(0,,0,1)n也是Pn的一组基，因此12(,,,)nnPL。1、设W为n维线性空间V的任一子空间，是W的一组基，则有12,,,r12(,,,)rWL例5生成子空间的有关结论n维线性空间由n个基向量生成21[](1,,,,)nnPxLxxx基向量0001P(,1,2,,000mnijLEim）j第列i第行1,2,,)jn生成子空间的有关结论2、（课本256页定理3）12,,,s1）；为线性空间V中的两组向量，则1212(,,,)(,,,)rsLL12,,,r与等价．12,,,r12,,,s2）生成子空间的维数12(,,,)rL＝向量组的秩．12,,,r1212(,,,)(,,,)rsiiiLL推论：12s生成元，，，的极大无关组为V的一组基．即在V中必定可找到n－m个向量设W为n维线性空间V的一个m维子空间，3、（课本256页定理4）为W的一组基，则这组向量必定可扩充12,,,m，使为V的一组基．12,,,n12,,,mmn扩基定理生成子空间的有关结论Vm+1n，，应用方向：4、设为P上n维线性空间V的一组基，12,,,n则的维数＝秩(A).12(,,,)sL1212(,,,)(,,,)snAA为P上一个矩阵，若ns补充一个有用结论线性无关向量组与矩阵A的列向量组具有相同12,,,s线性相关性.所以可对矩阵A作初等行变换化阶梯阵来求向量组的一个极大无关组，从而12,,,s求出生成子空间的维数与一组基.12(,,,)sL证：设秩(A)＝r，不失一般性，设A的前r列线性无关，并将这r列构成的矩阵记为A1，其余s-r列构成的矩阵记为A2，则A＝(A1,A2)，且秩(A1)＝秩(A)＝r，12121(,,,)(,,,)rnA设即11220,rrkkk112(,,,)0,rrkk下证线性无关.12,,,r补充结论的证明过程12,,,n是V的一组基，110rkAk又秩(A1)＝r，∴方程组②只有零解，即②120,rkkk12,,,r线性无关.从而1121(,,,)0nrkAk1212(,,,)(,,,)rjnjB任取(1,2,,),jjs将A的第j列添在A1的右边构成的矩阵记为Bj，则则有1121(,,,)0njrrlBll1121(,,,,)0,rjrrlll即设112210,rrrjllll从而有110jrrlBll③而秩(Bj)＝r，∴③有非零解，故有不全为零的数121,,,,,rrllll使故为的极大无关组，12,,,r12,,,s所以的维数＝r＝秩(A).12(,,,)sL112210,rrrjllll线性相关.12,,,,rj则向量组与矩阵A的列向量组具有相同12,,,s线性相关性.所以可对矩阵A作初等行变换化阶梯阵来求向量组的一个极大无关组，从而12,,,s求出生成子空间的维数与一组基.12(,,,)sL1212(,,,)(,,,)snA注：由证明过程可知，若为V的一组基，12,,,n它扩充为P4的一组基，其中例6求的维数与一组基，并把12345(,,,,)L1(1,1,2,4),5(2,1,5,6)4(1,1,2,0),3(3,0,7,14),2(0,3,1,2),解：把所给向量按列排成矩阵A，用行变换化A为行最简形12345103121301121725421406A10312033030110102242414rr21rr313rr10312011010330302242233rr例6续解10312011010330302242313rr424rr10312011010000000044114r10301011010000000011行最简型B21rr(1,0,0,0)令则线性无关，从而为P4的一组基.124,,,4124,,P下面将扩成的一组基,即寻找使得124,,,线性无关,用单位坐标向量尝试1231000按第四列展开(0,1,0,0)(0,0,1,0)(0,0,1,0)注意：令，，，(0,0,0,1)试试，哪些满足条件？练习设V为数域P上的线性空间，为V1234,,,的一组基，且123,,,V1123412(,,,),342123421(,,,),313123413(,,,),03求的一组基，并把它扩充为V的一组基.123(,,)L令对A作初等行变换121213,330413A121121100051051010033011001077000000AB1231234121213(,,)(,,,)330413解：行最简形B12341233,,(,,)(),rankrankA由于，线性无关，补充定理可知线性无关12341233,,(,,)(),