第一章 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件 【更多关注@高中学习资料库 加微信：gzxxzlk

考纲要求考纲研读1.理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.1.要理解命题之间的等价性，对于正面证明比较困难的题目，可用“正难则反”的策略进行解答．2．会使用等价命题化简条件和结论，理解充分条件与必要条件的相对性，能借助于集合间的包含关系判断充要关系.第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题假命题可以判断_____的陈述句叫做命题；命题就其结构而言分为______和______两部分；就其结果正确与否分为______和______．2．四种命题若q则p原命题：如果p，那么q(或若p则q)；逆命题：_________；否命题：______________；逆否命题：_____________.真假条件结论真命题若p则q若q则p3．四种命题之间的相互关系逆否命题否命题如图，原命题与_________，逆命题与_______是等价命题．4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的_____条件．必要(2)如果q⇒p，则p是q的_____条件．(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的_________条件．充分必要充分1．(2011年福建)若a∈R，则a＝2是(a－1)(a－2)＝0的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件AC．充要条件D．既不充分又不必要条件2．(2012年广东惠州一模)“a0”是“a2＋a≥0”的()条件．()A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分又不必要A3．若a∈R，则“a(a－3)0”是“关于x的方程x2－ax＋a＝0没有实数根”的()AA．充分不必要条件C．充要条件B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．对于命题“正方形的四个内角相等”，下面判断正确的是()BA．所给命题为假C．它的逆命题为真B．它的逆否命题为真D．它的否命题为真5．(2011年陕西)设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是()A．若a≠－b，则|a|≠|b|B．若a＝－b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠－bD．若|a|＝|b|，则a＝－bD考点1四种命题的关系及真假的判断例1：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断真假：(1)面积相等的两个三角形是全等三角形；(2)若x＝0，则xy＝0；(3)当c0时，若acbc，则ab；(4)若mn0，则方程mx2－x＋n＝0有两个不相等的实数根．解析：(1)逆命题：两个全等三角形面积相等(真命题)．否命题：面积不等的两个三角形不是全等三角形(真命题)．逆否命题：不全等的两个三角形面积不相等(假命题)．(2)逆命题：若xy＝0，则x＝0(假命题)．否命题：若x≠0，则xy≠0(假命题)．逆否命题：若xy≠0，则x≠0(真命题)．(3)逆命题：当c0时，若ab，则acbc(真命题)．否命题：当c0时，若ac≤bc，则a≥b(真命题)．逆否命题：当c0时，若a≥b，则ac≤bc(真命题)．(4)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有两个不等实数根，则mn0(假命题)．否命题：若mn≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有两个不等实数根(假命题)．逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有两个不等实数根，则mn≥0(真命题)．原命题与其逆否命题等价，逆命题与其否命题等价，要理解命题之间的等价性，当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反”．【互动探究】1．(2012年湖南)命题“若α＝π4，则tanα＝1”的逆否命题是()A．若α≠π4，则tanα≠1B．若α＝π4，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠π4D．若tanα≠1，则α＝π4C考点2充要关系的判断例2：(1)(2012年安徽)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：本题的条件命题为“α⊥β”，结论命题为“b⊥a”．当α⊥β时，由线面垂直的性质定理可得a⊥b，所以条件具有充分性；但当a⊥b时，如果a∥m，就得不出α⊥β，所以条件不具有必要性．故条件是结论的充分不必要条件．答案：ＡA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件（2）(2011年江西)已知α1，α2，α3是三个相互平行的平面，平面α1，α2之间的距离为d1，平面α2，α3之间的距离为d2.直线l与α1，α2，α3分别交于P1，P2，P3.那么“P1P2＝P2P3”是“d1＝d2”的()解析：平面α1，α2，α3平行，由图D2可以得知：如果平面距离相等，根据两个三角形全等可知P1P2＝P2P3.如果P1P2＝P2P3，同样是根据两个三角形全等可知d1＝d2.答案：C图D2判断p是q的什么条件，要从两方面来分析：一是由p能否推得q；二是由q能否推得p；特别注意：判断命题的充要关系一定要把该题看成两个独立的命题来推理，不能光看表面现象，否则所有的结果都像“充分必要条件”．【互动探究】2．(2011年湖南)“x1”是“|x|1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件解析：方法一：因“x1”⇒“|x|1”，反之；“|x|1”⇒“x1或x－1”，不一定有“x1”．故选A.方法二：|x|1⇔x－1或x1，∵{x|x1}⊂{x|x－1或x1}，所以“x1”是“|x|1”的充分不必要条件，故选A.A考点3充要关系的应用例3：已知p：|1－2x|≤5，q：x2－4x＋4－9m2≤0，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．解析：解不等式得p：－2≤x≤3.①当m0时，q：2－3m≤x≤2＋3m.p是q的充分不必要条件，即p⇒q，等价于q⇒p.从而2－3m≥－2，2＋3m≤3，m0⇒0m≤13.p是q的充分条件，则q是p的充分条件，从而避免求补集；充要关系的判定转化为集合的包含关系：A⊆B即A是B的充分条件、B是A的必要条件；A＝B即A是B的充分必要条件．②当m0时，q：2＋3m≤x≤2－3m.p是q的充分不必要条件，即p⇒q，等价于q⇒p.从而2＋3m≥－2，2－3m≤3，m0⇒－13≤m0.③当m＝0时，q：x＝2，显然合乎题意．综上所述，实数m的取值范围为－13≤m≤13.【互动探究】3．已知函数y＝lg(4－x)的定义域为A，集合B＝{x|xa}，若P：“x∈A”是Q：“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围______.a4解析：A＝{x|x4}，由图D3易得a4.图D3易错、易混、易漏2．误把必要条件当成充要条件例题：已知点A的坐标为(1,2)，点B的坐标为(3,5)，点C的坐标为(t,0)，求使∠BAC是钝角的充要条件．正解：AB→＝OB→－OA→＝(2,3)，AC→＝OC→－OA→＝(t－1，－2)．因使∠BAC是钝角的充要条件是AB→·AC→0，且A，B，C三点不共线．∴2(t－1)－60,2×(－2)≠3(t－1)．解得t4且t≠－13.【失误与防范】用向量研究一个角是钝角的充要条件的常见错误是忽视共线情况．即AB→·AC→0并不能确定∠BAC是钝角．它只是一个必要条件，而不是充要条件．如AB→，AC→反向，夹角为180°，显然不是钝角，而AB→·AC→0成立．判断命题时需注意充分、必要关系(1)要分清命题的条件和结论．(2)要善于将文字语言转化为符号语言进行推理．(3)要注意转化与化归思想的运用，通常把一个正面较难判断的命题转化为它的等价命题进行判断．(4)当判断多个命题之间的关系时，常用图示法，它能使问题更直观，更易于判断．1．注重集合与逻辑问题的转化，如将充要关系的判定转化为集合的包含关系：A⊆B即A是B的充分条件、B是A的必要条件；A＝B即A是B的充分必要条件．2．判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，很容易混淆．