第3-3节_二维连续型随机变量

二、边缘概率密度第三节二维连续型随机变量一、二维连续型随机变量及其概率密度三、随机变量的独立性四、二维均匀分布和正态分布的联合概率密度。称为二维随机变量函数量是连续型的二维随机变则称有使对于任意如果存在非负的函数的分布函数对于二维随机变量),(),(,),(dd),(),(,),(),,(),(YXyxfYXvuvufyxFyxyxfyxFYXyx（1）定义3.13.1二维连续型随机变量及其概率密度.1),(dd),()2Fyxyxf.dd),(}),{(GyxyxfGYXP.0),()1yxf（2）概率密度的性质的概率为内落在点平面上的一个区域是设GYXxOyG),(,)3).,(),(,),(),()42yxfyxyxFyxyxf则有连续在若表示介于f(x,y)和xOy平面之间的空间区域的全部体积等于1.GyxyxfGYXPdd),(}),{(,1dd),(yxyxf说明：.),(,}),({为顶面的柱体体积以曲面为底的值等于以yxfzGGYXP.),(,表示空间的一个曲面几何上yxfz}.{)3();,((2);)1(.,0,0,0,),(),()2(XYPyxFkyxkeyxfYXyx求概率分布函数求常数其它具有概率密度设二维随机变量例12,11),()1()2(kdxdyekdxdyyxfyx因此有由解:yxyxyxfyxFdd),(),()2(.,0,0,0,dd200)2(其它yxyxyxyxe.,0.0,0),1)(1(),(2其它得　　yxeeyxFyx},),{(}{GYXXY}),{(}{GYXPXYP(3)将(X,Y)看作是平面上随机点的坐标,即有XYGxyOyxyxfGdd),(xedyyyxd20)2(.31解:,1dd),()1(yxyxf因为1dd)6(2042xyyxk所以;81k}.4{)4(};5.1{)3(};3,1{)2(;)1(.,0,42,20),6(),(),(YXPXPYXPkyxyxkyxfYX求求确定常数其它具有概率密度设二维随机变量例2}3,1{)2(YXP;83dd)6(811032xyyx}5.1{)3(XP;3227dd)6(815.1042xyyx}4{)4(YXP.32dd)6(814240yxyxy}4{YXPxyyx424.),(,d),()(,d]d),([),()(),,(),(的边缘概率密度关于称其为随机变量记由于密度为的概率设连续型随机变量XYXyyxfxfxyyxfxFxFyxfYXXxX2.3定义3.2边缘概率密度分布,d]d),([),()(yYyxyxfyFyF同理可得Y的边缘分布函数.d),()(xyxfyfYY的边缘概率密度.注意：在求连续型随机变量的边缘密度时，往往要对联合密度在一个变量取值范围上进行积分.当联合密度函数是分片表示的时候，在计算积分时应特别注意积分限.).(),(.,0,,6),(2yfxfxyxyxfYXYX求边缘概率密度其它具有联合概率密度和设随机变量解,10时当xxy2xyOxy)1,1(yyxfxfXd),()(xxy2d6例3（习题课教程P375例11-（1））).(62xx,10时或当xx.0d),()(yyxfxfX.,0,10),(6)(2其它因而得xxxxfXxy2xyOxy)1,1(,10时当yxyxfyfYd),()(,10时或当yy.0d),()(xyxfyfY.,0,10),(6)(其它得yyyyfYyyyyx)(6d6).(6yyxy2xyOxy)1,1(解yyxfxfXd),()(yexydyyxfxfXd),()(.xe,0时当x.0.,0,0,)(其它故xexfxX}.1{)2();()1(.,0,0,),(~),(YXPxfyxeyxfYXXy求其它设例4,0时当x}1{)2(YXPxxyyedx1210dxeexxd][)1(210.21211eeyxyxfyxdd),(1xyOxyxy121连续型)()(),(yfxfyxfYX说明：二维随机变量(X,Y)相互独立,则边缘分布完全确定联合分布。法2X与Y独立对任何x,y有3.3随机变量的独立性)()(),(yFxFyxFYX法1X与Y独立对任何x,y有例5已知(X,Y)的联合概率密度为其他,010,10,4),(1yxxyyxf(1)其他,010,0,8),(2yyxxyyxf(2)讨论X,Y是否独立？解：(1)由图知边缘概率密度为11其他,0,10,2)(xxxfX其他,0,10,2)(yyyfY显然，)()(),(1yfxfyxfYX故X,Y相互独立.(2)由图知边缘概率密度为其他,0,10),1(4)(2xxxxfX其他,0,10,4)(3yyyfY显然，)()(),(2yfxfyxfYX故X,Y不独立.11（书P74例3.3）判断连续型随机变量相互独立的有关命题:（1）设f(x,y)是连续二维随机变量(X,Y)的联合概率密度，则X,Y相互独立。,:,Dxyaxbcyd12,fxykgxgy当它在D上可表达成分离变量形式（包括全平面、半平面等）时，(2)设X,Y为相互独立的随机变量，u(x),v(y)为连续函数,则U=u(X),V=v(Y)也相互独立.即独立随机变量的连续函数仍独立.由命题知：若X,Y为相互独立的随机变量则aX+b,cY+d也相互独立；X2,Y2也相互独立；随机变量相互独立的概念可以推广到n维随机变量（书P97）)()()(2211nnxXPxXPxXP),,,(2211nnxXxXxXP若则称随机变量X1,X2,,Xn相互独立若两随机变量相互独立,且又有相同的分布,不能说这两个随机变量相等.如XP-110.50.5YP-110.50.5X,Y相互独立，则X-11-110.250.25Ypij0.250.25故不能说X=Y.注意由左表易得：)1,1(YXP)(YXP)1,1(YXP5.0（1）均匀分布定义设D是平面上的有界区域,其面积为A,若二维随机变量(X,Y)具有概率密度则称(X,Y)在D上服从均匀分布..,0,),(,1),(其它DyxAyxf3.4二维均匀分布和正态分布向平面上有界区域D上任投一质点，若质点落在D内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比，而与B的形状及位置无关.则质点的坐标（X,Y）在D上服从均匀分布.例6设二维随机变量(X，Y)在上服从均匀分布，求：（1）(X，Y)的概率密度；（2）．}10,0|),{(xxyyxD430,4321YXP解（1）如图，区域D的面积为，因此(X，Y)的密度为21S.,0,),(,2),(其它Dyxyxf43yxo1G21431（2）记区域，,430,4321),(yxyxG4321,0),(1xxyyxG}),{(430,4321GYXPYXP165dd2dd),(1GGyxyxyxf于是（2）二维正态分布（书P77）若二维随机变量(X,Y)具有概率密度2222212121212221)())((2)()1(21exp121),(σμyσσμyμxρσμxρρσσyxf),,(yx记为二维正态分布的服从参数为则称.,,,,),(2121ρσσμμYX),,,,(~),(222121ρσσμμNYX.11,0,0,,,,,212121ρσσρσσμμ且均为常数其中二维正态分布的图形例7设二维随机变量(X，Y)的概率密度为求．yxeyxfyx,,21),()(212222}|),{(222yxyxG}),{(GYXP解GyxyxfGYXPdd),(}),{(rreyxeryxGdθd21dd2102202)(21222222211e（书P77例3.5）的概率密度为设二维随机变量),(YX2222212121212221)())((2)()1(21exp121),(σμyσσμyμxρσμxρρσσyxf0.)2(;)1(件是相互独立的充分必要条与证明的边缘概率密度试求二维正态随机变量YX,,yx.11,0,0,,,,,212121ρσσρσσμμ且都是常数其中例8（教材P77例3.6）解（1）,d),()(yyxfxfX由于21212222))((2)(σσμyμxρσμy,)(2121221122σμxρσμxρσμy于是,π21)(211222121)1(212)(2121dyeeρσσxfσμxρσμyρσμxX,1111222σμxρσμyρt令则有,d21)(22)(122121teeσxftσμxX.,π21)(21212)(1xeσxfσμxX即同理可得二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,.ρ并且都不依赖于参数.,21)(22222)(2yeσyfσμyY2222212122222121212122)(22)(1)())((2)()1(212212121121yxyyxxeee（2）证对任何x,y有212212121121故0将0代入),(yxf即得)()(),(yfxfyxfYX21,yx取（1）结论：，则设);,;,(~),()2(222211NYXX与Y相互独立0),(~),,(~);,;,(~),(222211222211NYNXNYX，则设边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分布不一定是二维正态分布吗?