第3.1.2节 共线向量与共面向量

共线向量与共面向量复习回顾:一、共线向量：1.共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b记作//ab．规定:o与任一向量a是共线向量.2.共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数，使ab.思考:如图,l为经过已知点A且平行非零向量a的直线,那么如何表示直线l上的任一点P?lAPa复习回顾:1.共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b记作//ab．规定:o与任一向量a是共线向量.2.共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数，使ab.OABP特别地，若P为A,B中点,则12OPOAOB我们已经知道：平面中，如图不共线，OAOB、()APtABtROAOBOP，则可以用、表示如下：()(1)OPOAAPOAtABOAtOBOAtOAtOB结论：设O为平面上任一点，则A、P、B三点共线(1)OPtOAtOB或：令x=1-t，y=t，则A、P、B三点共线(1)OPxOAyOBxy其中那么空间又如何呢？思考:如图,l为经过已知点A且平行非零向量a的直线,如何表示直线l上的任一点P?lAPaB⑴∵//APa,∴存在唯一实数tR,使APta.∴点P在直线l上唯一实数,tR使APta①⑵对于任意一点O,有APOPOA则点P在直线l上唯一实数,tR使OPOAta②⑶点B在直线l上,且ABa则点P在直线l上唯一实数,tR使OPOAtAB③注:①、②、③式都称为空间直线的向量表示式,即空间直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定.O注:我们把非零向量a叫做直线l的方向向量.例1已知A、B、P三点共线，O为直线外一点，且，求的值.OPOAOB解:∵ABP、、三点共线,∴tR,使OPOAtAB∴(1)OPtOAtOB∵、、ABP三点共线,且OPOAOB又O为直线AB外一点,故OAOB、不共线∴由平面向量基本定理可知1t,t∴1反过来,如果已知OPOAOB,且1,那么ABP、、三点共线吗?平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使12ee，a12，1122aeeabBPCA思考1：空间任意向量与两个不共线的向量共面时，它们之间存在怎样的关系呢？pab，ab二.共面向量:1.共面向量:能平移到同一平面内的向量,叫做共面向量.OAaa注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。2.共面向量定理:如果两个向量ab、不共线,则向量p与向量ab、共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(,)xy使pxayb.AabBCPpabBCpPAO思考2：有平面ABC，若P点在此面内，须满足什么条件？结论:空间一点P位于平面ABC内存在有序实数对x,y使或对空间任一点O,有APxAByACOPOAxAByAC可证明或判断四点共面练习1:已知OE是以OAOBOC、、为棱的平行六面体OADBCFEG─的对角线,点M是ABC△的重心.求证:点M在直线OE上.OAMGEFCBDO'分析:证三点共线可尝试用向量来分析.例：已知空间任意一点O和不共线的三点ABC、、,满足向量关系式OPxOAyOBzOC(其中1xyz)的点P与点ABC、、是否共面?练习2：已知矩形ABCD和ADEF所在的平面互相垂直，点M、N分别在BD，AE上，且分别是距B点、A点较近的三等分点，求证：MN//平面CDEABCDEFMN练习3：已知A、B、M三点不共线，对于平面ABM外的任一点O，确定在下列各条件下，点P是否与A、B、M一定共面？(1)3OBOMOPOA＋－(2)4OPOAOBOM注意：空间四点P、M、A、B共面存在唯一实数对,,xyMPxMAyMB（）使得(1)OPxOMyOAzOBxyz其中，类比平面向量的基本定理,在空间中应有一个什么结论?NOCM1e2eaOCOMON1122tete平面向量的基本定理:如果12,ee是平面内两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任一向量a,存在唯一的一对实数12,tt使1122atete.对向量a进行分解,2e1ea类似地,有空间向量基本定理:cabpAO然后证唯一性//,//,//ABbBDaBCc作pOBBAOCODOEDCBxaybzc证明思路：先证存在性E如果三个向量abc、、不共面,那么对于空间任一向量p,存在唯一的有序实数组,,xyz使pxaybzc.对向量p进行分解,注：空间任意三个不共面向量都可以构成空间的一个基底.如：,,abc看书P75推论：设点O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数对x、y、z使OPxOAyOBzOCOABCP例1平行六面体中,点MC=2AM,A1N=2ND,设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示MN.分析:要用a,b,c表示MN,只要结合图形,充分运用空间向量加法和数乘的运算律即可.ABCDA1B1D1C1MN解:ABCDA1B1D1C1MN连AN,则MN=MA+ANMA=－AC=－(a+b)1313AN=AD+DN=AD－ND=（2b+c)13=（－a+b+c)13∴MN=MA+AN例1平行六面体中,点MC=2AM,A1N=2ND,设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示MN.练习.空间四边形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c点M在OA上,且OM=2MA,N为BC的中点,则MN=().OABCMN(A)a－b+c122312(B)－a+b+c122312(C)a+b－c122312(D)a+b－c1223231.对于空间任意一点O，下列命题正确的是：(A)若，则P、A、B共线(B)若，则P是AB的中点(C)若，则P、A、B不共线(D)若，则P、A、B共线OPOAtAB3OPOAABOPOAtABOPOAABA2.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，,则x的值为()1()1()0()3()3ABCDOMxOAOBOC11＋＋33课外补充练习:D课外补充练习:1.下列说明正确的是：(A)在平面内共线的向量在空间不一定共线(B)在空间共线的向量在平面内不一定共线(C)在平面内共线的向量在空间一定不共线(D)在空间共线的向量在平面内一定共线2.下列说法正确的是：(A)平面内的任意两个向量都共线(B)空间的任意三个向量都不共面(C)空间的任意两个向量都共面(D)空间的任意三个向量都共面DC补充练习:已知空间四边形OABC，对角线OB、AC，M和N分别是OA、BC的中点，点G在MN上，且使MG=2GN，试用基底表示向量,,OAOBOCOGCOABMNG解：在△OMG中，OGOMMG1223OAMN12()23OAONOM111633OAOBOC4.下列命题中正确的有：(1)pxaybpab　与、共面;(2)pabpxayb与、共面　；(3)MPxMAyMBPMAB、、、共面；(4)PMABMPxMAyMB、、、共面；A.1个B.2个C.3个D.4个B5.对于空间中的三个向量它们一定是：A.共面向量B.共线向量C.不共面向量D.既不共线又不共面向量2MAMBMAMB、、－7.已知A、B、C三点不共线，对平面外一点O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？212(1);555OPOAOBOC(2)22OPOAOBOC；三、课堂小结：1.共线向量的概念。2.共线向量定理。3.共面向量的概念。4.共面向量定理。