第七章 应力状态和强度理论

第7章应力状态和强度理论构件内一点处各截面方向上的应力的情况，称为该点的应力状态。可由围绕该点的一个单元体面上的应力表示。§7-1概述1、一点处的应力状态目的：通过应力状态分析求出该点处的max、max及其作用面，从而更好地进行强度分析。单元体每个面上应力均布；每对相互平行面上的性质相同的应力大小相等；可用截面法求任一截面上的应力。单元体如何取？在研究点的周围，取一个由三对互相垂直的平面构成的六面体，该六面体的边长分别为无穷小量dx、dy和dz，如下图所示。dydzdxzxy对单轴或纯剪切应力状态，可由实验测得的相应的材料许用应力来建立正应力和切应力强度条件。2、强度理论而当一点处的应力状态较为复杂时，因应力的组合形式有无限多的可能性，不可能由实验的方法来确定每一应力组合下材料的极限应力，因此需确定引起材料破坏的共同因素。关于材料破坏的共同因素（即破坏规律）的假说，即称为强度理论。可根据强度理论来建立强度条件。zx例1画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。PPAAxxMPxyzBCxxBxzCxyyx§7-2平面应力状态分析•主应力对图a所示悬臂梁上A点处单元体上的应力分布（图b）可见：有一对平面上的应力等于零，而不等于零的应力分量都处于同一坐标平面内。AF(a)adcbAa'b'd'c'(b)adcbA该应力状态则称为平面应力状态，其单元体可简化为左图所示情形。1、斜截面上的应力已知如下图a（或图b）所示的一平面应力状态：efanxyzabcdxy(a)xyyyxxdabcxyxx(b)xxyyyy可由截面法求与前、后两平面垂直的斜截面上应力。如图b所示，斜截面ef的外法线与x轴间的夹角为a，称为a截面。应力的正负和斜截面夹角的正负规定：1）正应力拉为正，压为负；2）切应力使单元体产生顺时针旋转趋势为正；反之为负；3）对a角，x轴逆时针旋转这一角度而与斜截面外法线重合时，其值为正；反之为负。取图c所示分离体进行分析。图c中所示斜截面上应力和斜截面夹角均为正。efbyxaa(c)xy0n0cossindsinsindsincosdcoscosddaaaaaaaaaAAAAAyyxx由图d所示体元上各面上的力的平衡，参考法线n和切线t方向可得：⇒ntydAsina(d)bfydAsinaadAxdAcosaeadAxdAcosaaaa2sin2cos22xyxyx由此可得，任一斜截面上的应力分量为：0t0sinsindcossindcoscosdsincosddaaaaaaaaaAAAAAyyxx⇒其中dA为斜截面ef的面积。aaa2cos2sin2xyx解：C点应力状态如图b所示，其拉应力和切应力为：MPa7.631004π1050023AFx例7-1图示圆轴中，已知：圆轴直径d=100mm，轴向拉力F=500kN，外力矩Me=7kN·m。求C点a=30°截面上的应力。(b)Cxxxxxyyy(a)xTFTCFMPa9.1660sin60cos202030xxxMPa4.452cos2sin2030aaxx图示斜截面上应力分量为：MPa7.3510016π10736PeWMxCxxxxxyyy30°n-30-30°°2、应力圆由任一斜截面上应力分量的计算公式可得：aaa2sin2cos22xyxyxaaa2cos2sin2xyx两式两边平方后求和可得：222222xyxyxaa而圆方程为：222Rbyax可见前式实际上表示了在为水平轴、为垂直轴的坐标系下的一个圆，其圆心坐标为：0,2yx半径为：222xyxR如下图。单元体斜截面上应力（a，a）和应力圆上点的坐标（a，a）一一对应，因此可通过确定应力圆上相应点的坐标来求斜截面上应力（a，a）。因为圆心一定在轴上，只要知道应力圆上的两点（即单元体两个面上的应力），即可确定应力圆。OC222xyx2yx),(aa222xyx1）应力图的画法xxD,1yyD,2已知x、y、x、y，如右图，假定xy。•在、坐标系内按比例尺确定两点：xxD,1yyD,2dabcefaxyxxnxxyyyy•以C为圆心，线段CD1或CD2为半径作圆，即为应力圆。•连接D1、D2两点，线段D1D2与轴交于C点。xxD,1yyD,2CxxD,1yyD,2C2）证明对下图所示应力圆可见C点的横坐标为：•从D1点按斜截面角a的转向转动2a得到E点，该点的坐标值即为斜截面上的应力分量值。xxD,1yyD,2C2aEOC2FA1B1B2A2D1D2Exyyx12a0CBOBOC22由于CBDCBD1122可得：CBCB12222/212yxyxyBBOBOC因此，C点坐标为应力圆圆心坐标，并且22211221122xyxDBBBCD该线段长度等于应力圆半径。从而证明上述圆确为应力圆。则：另外，E点横坐标为：aaa2cos2sin2xyxEEFaaaaaa2sin2sin2cos2cos22cos000CECEOCCEOCCFOCOFE可见，E点坐标值即为a斜截面上的应力分量值。aaa2sin2cos22xyxyxE即：同理可得E点的纵坐标为：由于应力圆上点的坐标与单元体面上的应力分量值一一对应，因此，按比例作图，可通过直接用尺子量出坐标值来求任意斜截面上的应力分量，此即称为图解法。解：按一定比例画出应力圆。0MPa7.63x0yMPa7.35yx例7-2用图解法求图示a=30°斜截面上的应力值。因为图示应力状态有：x30°x=35.7MPax=63.7MPayn按一定比例，作出应力圆，并找到斜截面对应的点，量取其坐标可得：MPa1730MPa46307.357.63，xD7.350，yD则x、y截面在应力圆上两点为：EDy(0,35.7)Dx(63.7,-35.7)60°-30°-30°，)20MPa圆上一点，体上一面；圆上半径，体上法线；转向一致，数量一半；直径两端，垂直两面。应力圆和单元体的对应关系3、主平面和主应力对图a所示应力状态，作出应力圆（图b）。1a01220,max1A0,min2A主平面：剪应力=0的平面；主应力：主平面上的正应力。321321可证明：并规定：可见：xy(a)ODyDxCA2A12a0(b)；；2211OAOA03具体值可在应力圆上量取，即：主平面位置：图a中1主平面的方位角a0对应于应力圆（图b）上的圆心角2a0。主应力值和主应力平面的计算：由图b可见，A1、A2两点的横坐标为：11CAOCOA22CAOCOAyxxCBBDa22tan111002atg，IV象限22122xyxyx22222xyxyx由此可得两个主应力值为：因为1主平面方位角的两倍对应于应力圆上2a0，而02tanaIV象限。02tana02tana02tana注意：2a0的值与其所在的象限有关，而其所在象限与计算式中分子、分母的正负有关，即：I象限；II象限；III象限；所以，1主平面方位角a0为：yxxa2arctan210例7-3求图a所示应力状态的主应力及方向。MPa100xMPa40xMPa30yMPa40y40,100xD40,30yD解：1、应力圆图解法：因为：所以：按一定比例作出应力圆（图b）。yx30MPa100MPa=40MPax(a)DxDyA3A12a0(b)MPa403MPa110102'163020a'8150a由应力圆通过直接量取，并考虑主应力的大小关系可得：由此可得：主应力单元体以及主平面的方位如图c所示：1a01yx(c)2、解析法：MPa11022221xyxyxMPa4022223xyxyx1383010040222tan0yxxa'163020a02'8150a所以：⇒（2）应力圆OC2FA1B1B2A2D1D2Exyyx12a0应力圆和单元体的对应关系圆上一点，体上一面；圆上半径，体上法线；转向一致，数量一半；直径两端，垂直两面。（3）主平面和主应力22122xyxyx22222xyxyxyxxa2arctan210§7-3空间应力状态的概念下图所示单元体的应力状态是最普遍的情况，称为一般的空间应力状态。图中x平面有：xzxyx,,图中y平面有：yzyxy,,图中z平面有：zyzxz,,在切应力的下标中，第一个表示所在平面，第二个表示应力的方向。xyzOdxdydzxyxzxyxyyzxyzzxxyxxzzyzzxyxyyzzxyzxyzyx,,,,,可以证明，对上述应力状态一定可找到一个单元体，其三对相互垂直的面都是主平面，其上应力分别为：321,,空间应力状态共有9个分量，然而，根据切应力互等定理可知，独立的分量只有6个，即：空间应力状态：三个主应力都不等于零；平面应力状态：两个主应力不等于零；单向应力状态：只有一个主应力不等于零。该单元体称为主单元体。考虑图a所示主单元体中斜截面上的应力。对与3平行的斜截面：同理：和2平行的斜截面上应力与2无关，由1、3的应力圆确定；和1平行的斜截面上应力与1无关，由2、3的应力圆确定。下面分析空间应力状态下的最大正应力和切应力。cab133(b)2121332(a)进一步研究表明，一般斜截面abc面上应力位于图c所示的阴影部分内。由图b可知，该面上应力a、a与3无关，由1、2的应力圆来确定。1max3min231maxmax作用面为与2平行，与1或3成45°角的斜截面。所以，由1、3构成的应力圆最大，max作用点位于该圆上，且有：因为：O321maxBDAmax(c)注意：max作用面上，0。例7-4用应力圆求图a所示应力状态的主应力、主平面，最大切应力max及作用面。解：由图示应力状态可知z=20MPa为一主应力，则与该应力平行的斜截面上的应力与其无关。可由图b所示的平面应力状态来确定另两个主应力。202040(b)(a)20MPa20MPa40MPa20MPaxyzMPa461MPa202MPa263图b所示平面应力状态对应的应力圆如图c。最后依据三个主应力值可绘出三个应力圆，如图d。O31ACD2D1(c)Omax321BACD2D1