第一章常见的逻辑用语小结

第1章常用逻辑用语总结专题探究精讲本章优化总结知识体系网络知识体系网络专题探究精讲四种命题及其关系题型特点：四种命题及其关系是高考命题的内容之一，主要以选择题和填空题的形式出现，一般不单独命题，往往和其他知识结合起来进行考查．考点突破知识方法：原命题与它的逆命题、原命题与它的否命题之间的真假是不确定的，而原命题与它的逆否命题(它的逆命题与它的否命题)之间在真假上是始终保持一致的：同真同假．一般来说，命题p⇒q的四种形式之间有如下关系：(1)互为逆否的两个命题是等价的(同真同假)．因此，证明原命题也可以改证它的逆否命题．(2)互逆或互否的两个命题是不等价的．判断下列命题的真假：(1)“若x∈A∪B，则x∈B”的逆命题与逆否命题；(2)“若0x5，则|x－2|3”的否命题与逆否命题；(3)a，b为非零向量，“如果a⊥b，则a·b＝0”的逆命题和否命题．例1【解】(1)“若x∈A∪B，则x∈B”，是假命题，故其逆否命题为假，逆命题“若x∈B，则x∈A∪B”，为真命题．(2)∵0x5，∴－2x－23，∴0≤|x－2|3.原命题为真，故其逆否命题为真．否命题：若x≤0或x≥5，则|x－2|≥3.否命题为假．例如当x＝－12时，|－12－2|＝523.(3)逆命题：a·b＝0⇒a⊥b，为真命题．故它的否命题：a，b不垂直⇒a·b≠0也为真．题型特点：充要条件的判定以选择题和填空题为主，所考查内容涉及各个章，具有一定的综合性，个别题目不具有一定的难度．知识方法：充分条件与必要条件的判断(1)直接利用定义判断：即“若p⇒q成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”．(条件与结论是相对的)(2)利用等价命题的关系判断：“p⇒q”的等价命题是“綈q⇒綈p”，即“若綈q⇒綈p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”．充要条件的判定(2010年高考广东卷)“m14”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的()A．充分非必要条件B．充分必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件例2【答案】A【解析】若一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解，则Δ＝1－4m≥0，因此m≤14.故m14是方程x2＋x＋m＝0有实数解的充分非必要条件．题型特点：高考中常以选择题和填空题的形式对含有逻辑联结词的命题的构成及其真假判断进行考查，正确理解逻辑联结词“且”“或”“非”是解决问题的关键．知识方法：判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是对逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义的理解，应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断．逻辑联结词在下列各结论中，正确的是()①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分条件但不是必要条件；②“p∧q”为假是“p∨q”为假的充分条件但不是必要条件；③“p∨q”为真是“綈p”为假的必要条件但不是充分条件；④“綈p”为真是“p∧q”为假的必要条件但不是充分条件．A．①②B．①③C．②④D．③④例3【解析】“p∧q”为真，则“p∨q”为真，反之不一定，①真；如p真，q假时，p∧q假，但p∨q真，故②假；綈p为假时，p真，所以p∨q真，反之不一定对，故③真；若綈p为真，则p假，所以p∧q假，因此④错误．【答案】B题型特点：全称命题与特称命题是新课标新增内容，从形式上看，主要以选择题和填空题的形式出现．知识方法：全称命题“∀x∈M，p(x)”强调命题的一般性，因此，(1)要证明它是真命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)成立；全称命题与特称命题(2)要判断它是假命题，只要在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)不成立即可；特称命题“∃x0∈M，p(x0)”强调结论的存在性，因此，(1)要证明它是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可．(2)要判断它是假命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)不成立．(2010年高考天津卷)下列命题中，真命题是()A．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数B．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数C．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数D．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数例4【解析】对于选项A，∃m∈R，即当m＝0时，f(x)＝x2＋mx＝x2是偶函数．故A正确．【答案】A