高等代数课件(北大版)第七章-线性变换§7.8

2020/2/16数学与计算科学学院§2线性变换的运算§3线性变换的矩阵§4特征值与特征向量§1线性变换的定义§6线性变换的值域与核§8若当标准形简介§9最小多项式§7不变子空间小结与习题第七章线性变换§5对角矩阵数学与计算科学学院2020/2/16§7.8λ─矩阵介绍一、若当(Jordan)形矩阵二、若当(Jordan)标准形§7.8λ─矩阵介绍数学与计算科学学院2020/2/16§7.8λ─矩阵介绍由§7.5知，n维线性空间V的线性变换在某组基下的矩阵为对角形有n个线性无关的特征向量.的所有不同特征子空间的维数之和等于n.可见，并不是任一线性变换都有一组基，使它在这组基下的矩阵为对角形.本节介绍，在适当选择基下，一般的线性变换的矩阵能化简成什么形状.引入数学与计算科学学院2020/2/16§7.8λ─矩阵介绍00001000(,)00100001ttJt的矩阵称为若当(Jordan)块，其中为复数；一、若当(Jordan)形矩阵定义：形式为由若干个若当块组成的准对角矩阵称为若当形矩阵.数学与计算科学学院2020/2/16§7.8λ─矩阵介绍如：000020010000120,,010010120010ii都是若当块；100000(1,2)110000004000(4,1)0000000010(,3)00001JJiiJii而下面的准对角形则是一个若当形矩阵.注：一级若当块就是一级矩阵，从而对角矩阵都是若当形矩阵.数学与计算科学学院2020/2/16§7.8λ─矩阵介绍1、设是复数域C上n维线性空间的一个线性变换，在V中必存在一组基，使在这组基下的矩阵是若当形矩阵，并是除若当块的排列次序外，该若当形由唯一决定，称之为的若当标准形.二、若当(Jordan)标准形2、任一n级复矩阵A总与某一若当形矩阵相似，并且除若当块的排列次序外，该若当形矩阵由矩阵A唯一决定，称之为矩阵A的若当标准形.数学与计算科学学院2020/2/16§7.8λ─矩阵介绍3、在一个线性变换的若当标准形中，主对角线上的元素是的特征多项式的全部根（重根按多数（1、2、3的证明将在第八章给出）计算）.数学与计算科学学院2020/2/16§7.8λ─矩阵介绍10000000(,)00010000ttJt的矩阵为若当(Jordan)块.附：有时也规定形式为