11周培源力学竞赛辅导材料力学

2材料力学◆材料力学与理论力学研究方法的异同1.理论力学的研究对象是刚体,材料力学的研究对象是变形体.所以,理论力学中有关静力等效的概念不能随意运用到材料力学中.如力和力偶的作用位置一般不能随便移动.分布载荷不能用合力随便代替等.2.刚化原理是刚体受力平衡过渡到变形体受力平衡的桥梁,即:已知变形体在力系作用下处于平衡,如果把变形体“刚化”,则平衡状态不变.从道理上讲,构件在受力时是同时发生形变的,所以应是对变形后的结构应用刚化原理,从而列出静力平衡方程.但是如果材料是小变形的条件下(即结构的改变量相对与结构的原始尺寸是很小的量),变形前后的尺寸变化对用静力平衡方程求的结果影响非常小,则一般就用变形前的尺寸求解平衡方程.3.理论力学研究的是质点系和刚体系统的平衡和运动,基本的思考路径为,受力分析,运动分析,建立方程求解.材料力学研究的是变形体结构在静力作用下的应力分布和变形.基本思考路径为,静力平衡或有条件的静力等效分析,几何变形分析,材料的力—形变关系的确立.其中,几何变形分析的难易往往决定整个问题的难易.4.材料的连续均匀,使我们可借助于连续函数及微积分计算,各向同性使得应力—应变关系变得简单,特别是材料的线弹性及小变形,使几何变形计算和应力—应变分析变得容易.尽管如此,变形的分析计算相对应力的分析计算还是要难一些的.3一.轴向拉压基本公式:AFN横截面上的应力:斜截面上的应力与横截面应力关系:2cos122sin2EAlFlN纵向伸长E纵向应变横向应变'EAlFVN22弹性应变能弹性应变能密度Ev2212功能关系UWniiiiNAElFPi12221(胡克定律)4难点:位移的计算、超静定问题(包括温度应力、装配应力)例1.在图示简单的杆系中,设AB和AC分别为直径为20cm和40cm的圆截面杆,E=200GPa,F=5kN.l=2m.试求A点的位移.30º30ºBCAFll解:取A点分析受力Axy30º30º1F2F:0xF21FF:0xFFFF020130sin30sin)(521kNFFmmEAlF16.021201020042000105233111mmEAlF04.081401020042000105233222mmAEy2.0230sin21202mmtgAEAAx07.030030º30º60º30º12ADED'E'A'A530º30ºBCAFllAxy30º30º1F2F解:取A点分析受力:0xF21FF:0xFFFF020130sin30sin)(521kNFF用能量法可求本题A点的竖直位移2221212221EAlFEAlFFy2362236234010200242000105201020024200010510521ymmy2.081216例2.刚杆如图示,其横截面A=25cm².若在加载荷P之前,杆的下端与地面的间隙为=0.3mm,已知P=200kN,E=210GPa.试求上下端的反力.1.5m1.5mP解:加载后,变形的叠加过程如图示1.5m1.5mPP1.5m1.5mP2F1F由静力平衡120021PFF由变形协调11112222AElFAElF3.0250010210150025001021015003132FF210512FF由(1)、(2)联立kNF5.1522kNF5.4717例2(又解).刚杆如图示,其横截面A=25cm².若在加载荷P之前,杆的下端与地面的间隙为=0.3mm,已知P=200kN,E=210GPa.试求上下端的反力.1.5m1.5mP又解:先求伸长为的力P'3.025001021015003PNP331010515002500102103.0NPPP310951.5m1.5mP2F1F由静力平衡:9521PFF此时,上端反力kNF1052由变形协调250010210150025001021015003132FF12FF所以有:kNF5.472kNF5.471kNFFF5.1522228例3打入粘土的木桩长为L,顶上的载荷为F.设木桩的自重不计,而木桩上单位长度上的摩擦力按f=Ky2变化,K为常数.若F=420kN,L=12m,木桩截面A=640cm2,E=10GPa.试确定常数K的数值,并求木桩的缩短.FfLfyO2Kyf解:由静力平衡FfdyL03120210420FdyKymmNmNK/729.0/729在离底部任意y长时桩内的轴力302243ydKFyN由胡克定律mdyyEAdyFlLN712034901019683106401010243mml9683.19例4图示简单杆系,两杆长度均为l=3m,横截面面积A=10cm2.材料的应力–应变关系如图示.E1=70GPa,E2=10GPa.试分别计算当F=80kN和F=120kN时,节点B的位移.030030FB12MPa1001E2Eo解:取B点分析受力由静力学平衡方程式可得:kNFFNN8021当F=80kN时kNFFNN12021当F=120kN时060060120160cosB由形变协调:10030030FB1206006012MPa1001E2Eo0160cosB由形变协调:当F=80kNmmAElFN428.31010107010310802333111mmB857.660cos01mmAElFAElFNN2857.1010101010103102010101070103101002333233321111当F=120kNmmB57.2060cos0111例5.图示结构,AB为刚性杆,设l1、l2分别表示1、2杆的长度,1和2分别表示它们的伸长,则当求解两斜杆的内力时,相应的变形协调条件是什么?aa1212ABF解:需要寻求的是纯几何关系注意小变形的条件由相似比可得:2:1sin:sin1122角度可认为变形前后是相等的12B例6.铸铁压缩试件是沿最大剪应力面破坏的.但实践表明其破坏截面与水平面不成450.而是大约530.试说明原因并证明.在铸铁压缩试验中,铸铁的破坏面是最大剪应力面,之所以不是450的斜面,主要是由于受压的材料有滑动内摩擦力所致.12设一铸铁压缩试件如图.其内摩擦系数为f=0.28.试计算受压破坏时的破坏面的法线与轴线的夹角≈530.PxF解:对于任意角相应截面的剪力为FAfAA即是作函数fAA由横斜截面应力变换公式可知:2cos122sin2AAA2cos228.0228.02sin2令002sin28.02cosAA02sin28.02cos57.328.012tan0135.742012.370265.10520282.52012.37不合题意,故取0025382.520651050考查函数可知:因而对应的截面有最大的剪力.13二.圆轴扭转基本公式:斜截面上的应力与横截面应力关系:2sin2cos剪切弹性应变能密度Gv2212横截面上的应力:pITppWTIRTmax相对扭转角dxGITlp0pGIlT或(T在l长内为常量)单位长度扭转角pGITdxd剪应力互等定理:在互相垂直的平面上,剪应力必然成对存在,且数值相等,两者垂直于二平面的交线,方向同指或同背离此交线.14极惯矩dAIDp2抗扭截面系数RIWptRRrR空心圆轴薄壁圆筒实心圆轴4432121DRIp3316121DRWt44444444132112132121DRdDrRIp43431161121DRWt32022RRdRIp22RWt15例1.厚度=8mm的钢质圆筒,平均直径D=200mm.圆筒两端受扭转力偶矩M=30kN.m的作用,试求横截面上的切应力.如果筒长L=1m,试求纵向截面上承受的剪力的大小.MMMMMParT7.598100210302262解:由薄壁筒扭转之切应力计算公式:由剪切互等定理可得:而薄壁筒内切应力沿壁厚大致相等于是有:)(6.477477600100087.59kNNLFssFsF16★圆轴扭转补充例题例2.图示圆轴有A、B两个凸缘,该圆轴在力偶Me作用下发生了扭转变形.这时将一个薄壁圆筒与轴的凸缘焊接在一起,然后解除力偶Me.设圆轴和圆筒的抗扭刚度分别是G1Ip1和G2Ip2.求轴内和筒内的扭矩.(凸缘视为刚体.)解:属装配应力设所求圆轴和圆筒上扭矩分别为T1和T2.由整体平衡可得:21TT1T2eM12T21由形变协调可得:由扭转变形可得:11222111peppIGlMIGlTIGlTeMeMABl22112221PppeIGIGIGMTT17例3.由两种不同的材料构成的圆筒与圆柱组成一等截面圆轴.里层和外层材料的切变模量分别为G1和G2且G1G2.圆轴受扭时,里层和外层之间无相对滑动.关于横截面上切应力分布有(a)、(b)、(c)、(d)四种所示的结论.试判断哪一种是正确的?T2G1Gabcd例4.直径为d的圆截面杆,材料的应力—应变关系如图示.求整个截面全屈服时的极限扭矩.TTOsdddATDsDs212320220dddsdssd18圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动，这表明二者形成一个整体，同时产生扭转变形。根据平面假定，二者组成的组合截面，在轴受扭后依然保持平面，即其直径保持为直线，但要相当于原来的位置转过一角度。因此，在里、外层交界处二者具有相同的切应变。由于内层（实心轴）材料的剪切弹性模量小于外层（圆环截面）的剪切弹性模量，所以内层在二者交界处的切应力一定小于外层在二者交界处的切应力。19三.弯曲内力—剪力和弯矩(2)简单载荷下的剪力方程和弯矩方程,剪力–弯矩图(3)利用微积关系作剪力–弯矩图(1)剪力和弯矩正负号的规定1.在剪力图中某点处切线的斜率,等于相应截面处的载荷集度,弯矩图中某点处切线的斜率,等于相应截面处的剪力.2.一段梁中,若载荷为零,则剪力图为水平直线,而弯矩图为梁长的一次函数.若载荷为均匀分布,则剪力图为梁长的一次函数,而弯矩图为梁长的二次数.若载荷为线性分布,则剪力图为梁长的二次函数,而弯矩图为梁长的三次函数,依次类推……3.一段梁中,集中力引起剪力的突变;集中力偶引起弯矩的突变,但对梁内的剪力没有影响.4.剪力图中,距原点某处的剪力等于该段梁上的载荷集度面积和集中外力的代数和.5.弯矩图中,距原点某处的弯矩等于该段梁上的剪力面积和集中外力偶矩的代数和.20ABCED1m1m2m1m10kN2kN2kN/m4kN·mkNFA7kNFD97kN7kN3kN7kN2kN2kN（＋）（＋）（－）7kN