同济大学弹性力学知识点复习

知识点一：弹性力学绪论形状范围方法上弹性力学：杆、板、壳、水坝等弹性材料力学：杆状弹塑性、蠕变、疲劳等结构力学：杆状物件组合弹性①连续性②均匀性③各向同性④线性完全弹性⑤小变形⑥无初始应力基本假设基本假设：在基本假设的基础上还有应力、变形状态的附加假设知识点二：张量基础1、1,0,ijijδ==⋅ee2、1,10ijke=－，，3、123123123uuuvvv×=uveeeiijjijijijijkkuvuvuve×=×=×=uveeeeeijkrskirjsisjreeδδδδ=−当ij=；当ij≠。当i,j,k为顺序排列；当i,j,k为逆序排列；当指标中有两个相等。4、张量定义：1212nniiiiiiT⋅⋅⋅=⊗⊗⋅⋅⋅⊗Teee5、Hamilton算子：123123iixxxx∂∂∂∂∂∂∂∂∇==++eeee6、梯度：,,,,,jjijijiijiijϕϕ∇=⊗=⊗∇=⊗=⊗eeeeeeϕϕϕϕ7、散度：,,divijjijijiϕϕ=∇=∇==⋅⋅eeϕϕϕ8、旋度：,curlijjjiijkkiuuex∂∂=∇×=×=uueee9、Laplace算子∆：22,()ijiiijiixxxx∂∂∂∂∂∂∂∆=∇=∇∇===⋅⋅ee知识点三：弹性力学问题的建立点的应力状态：平衡微分方程、静力边界条件————静力学位移与应变的关系：几何方程————几何学应力—应变关系：本构方程（广义虎克定律）————物理学3.1应力与一点的应力状态外力：外界作用在物体上的力，包括体力（[力][长度]-3）、面力（[力][长度]-2）内力：物体内一部分与另一部分间的相互作用力应力：截面上内力的集度（[力][长度]-2）应力矢量：⊥+=++=VVkZjYiXFvvvvvτσ一点的应力状态：过物体内同一点的各个微分面上的应力情况，可以用过一点M的三个与坐标面平行的微分面的应力矢量来表示：XF、YF、ZFkjiFxzxyxXττσ++=kjiFyzyyxYτστ++=kjiFzzyzxZσττ++=或[]⋅=⋅=kjikjiFFFijzzyzxyzyyxxzxyxZYXσστττστττσ（第一个下标为方位，第二个下标为方向）方向的规定：正面正向为正，负面负向为正3.2与坐标轴倾斜的微分面上应力nmlXzxyxxvττσ++=nmlYzyyxyvτστ++=nmlZzyzxzvσττ++=3.3平衡微分方程、静力边界条件小变形条件下：0=+∂∂ijjiXxσ0=+∂∂+∂∂+∂∂Xzyxzxyxxττσ0=+∂∂+∂∂+∂∂Yzyxzyyxyτστ0=+∂∂+∂∂+∂∂Zzyxzyzxzσττ剪应力互等定理：ijjiττ=静力边界条件：ijijXnσ=vxyxzxXlmnσττ=++vxyyzyYlmnτστ=++vxzyzzZlmnττσ=++静力上可能的平衡：应力分量在物体内部满足平衡微分方程，在边界上满足静力边界条件。真正的平衡：满足上述平衡条件的同时，应满足变形协调条件。3.4几何方程,,1()2ijijjiuuε=+xuxε∂=∂，yvyε∂=∂，zwzε∂=∂xyuvyxγ∂∂=+∂∂，xzuwzxγ∂∂=+∂∂，yzvwzyγ∂∂=+∂∂正应变：三条相互垂直棱边的伸缩的变化（伸长为正）。剪应变：棱边间所夹直角的改变量（减小为正，增大为负）。应变张量：112211221122xyxzxijxyyzyxzyzzεγγεγεγγγε=3.5应变协调方程3个位移分量（u，v，w）表示6个应变分量（xε，yε，zε，xyγ，xzγ，yzγ），显然6个应变分量是相关联的。若已知6个应变分量，求3个位移分量，出现矛盾方程。补充的协调方程（6个）：22222yxyxxyxyεγε∂∂∂+=∂∂∂∂，2()2yzxyxzxxxyzyzγγγε∂∂∂∂∂−++=∂∂∂∂∂∂22222xxzzxzxzεγε∂∂∂+=∂∂∂∂，2()2yzxyyxzyxyzxzγγεγ∂∂∂∂∂−+=∂∂∂∂∂∂22222yyzzzyyzεγε∂∂∂+=∂∂∂∂，2()2yzxyxzzxxyzxyγγγε∂∂∂∂∂+−=∂∂∂∂∂∂几何意义：变形前后均连续。对单元体来说，当单元变形不满足协调方程，则单元间会产生裂缝。3.6广义虎克定律1、极端各向异性线弹性体有21个常数；各向同性体有2个常数。2、各向同性体：2ijijijuσλθδε=+(32)12EuλθθνΘ=+=−体积应变：mmxyzθεεεε==++体积应力：xyzσσσΘ=++(1)(12)Eνλνν=+−，2(1)EuGν==+不可压缩的弹性体：0θ=，0.5ν=11()()11ijijijijmmijEEννννεσδσσδνν++=−Θ=−++12Eνθ−=Θ0θ=条件：①0Θ=②0.5ν=3.7弹性力学基本方程三类边值问题3D2D1、平衡方程3个2个2、几何方程6个3个3、物理方程6个3个4、边界条件①静力ijijXnσ=2个②位移iiuu=2个三类边值问题：1、已知体力iX，面力iX，取静力边界条件，求ijσ，ijε，iu2、已知体力iX，位移iu，取位移边界条件，求ijσ，ijε，iu3、已知体力iX，一部分边界面力iX，一部分边界位移iu，取混合边界条件，求ijσ，ijε，iu3.8解题途径1、位移解法：①位移(,,)iuuvw作为基本未知量②平衡微分方程物理方程用位移表示（运用几何、物理方程）,,()ijijijjiGuuσλθδ=++mmθε=拉梅方程,,()0jijjiGGuXλθ+++=2,ijjiuu=∇2222222xyz∂∂∂∇=++∂∂∂,,,,()()iijijjijjijjijXGuunnGuunλθδλθ=++=++位移解法：归结为在给定的边界条件下，求解拉梅方程。2、应力解法：①应力ijσ作为基本未知量②既要满足平衡条件（平衡微分方程、静力边界条件），还要满足应变协调方程（或以应力表示的协调方程）1()1ijijijEννεσδν+=−Θ+应力协调方程（Bltrami-Michell）：,,,,,1()11ijkkijkkijijjiXXXνσδνν+Θ=−−++−2221()211xXYZXxxyzxνσνν∂Θ∂∂∂∂∇+=−++−+∂−∂∂∂∂221()1xyYXxyxyτν∂Θ∂∂∇+=−++∂∂∂∂平衡微分方程：0,=+jjijXσ应力解法：给定边界条件下解平衡微分方程和应力协调方程。3.9解的唯一性定律、圣维南原理、叠加原理、逆解法、半逆解法唯一性定律：弹性体在已知体力作用下，受边界条件（静力、位移、或混合）作用，则弹性体平衡时，体内的应力分量与应变分量是唯一的；位移边界条件确定时，位移分量也是唯一的。唯一性定律是逆解法、半逆解法的理论基础。圣维南原理（局部性原理）在物体任一小部分上作用一个平衡力系，该力系作用的附近区域的应力分布受到该力系的影响，在离该区域的相当远处，这种影响急剧减小。主边界与次边界：逆解法：已知满足全部方程的应力分量或位移分量，求给定坐标系下具体物体的边界条件（表面受什么样面力或位移）。半逆解法：①已知一部分应力分量或位移分量，再由基本方程求出其它分量，再考察边界条件。②已知所有应力或位移分量，再校核这些假设的量是否满足弹性力学基本方程和边界条件。3.10弹性力学的一些基本知识1、一点的应力状态：（1）求主应力；（2）求最大剪应力；（3）根据一点的应力求任意斜截面上的应力：ijijXnσ=（4）不同坐标系下的应力转换（5）各种不同情况下应力边界条件的正确表达2、一点的应变状态：（1）求主应变；（2）求任意方向的应变；（3）不同坐标系下的应变转换3、张量运算：梯度、旋度、散度等知识点四：弹性力学平面问题4.1平面应变问题与平面应力问题1、平面应变问题位移模式：),(yxuu=),(yxvv=0=w平衡方程（2个）：=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00YyxXyxyxyxyxσττσ几何方程（3个）：xux∂∂=εyy∂∂=υεyuxxy∂∂+∂∂=νσ物理方程（3个）：)(111yxxEσνσε−=)(111xyyEσνσε−=−=−=νννν11121EExyxyEτγ11=或+=+−=+−=xyxyxyyyxxEEEγντενενσενενσ)1(2)(1)(111121121应变协调方程：yxyxxyxy∂∂∂=∂∂+∂∂γεε22222应力协调方程：)(11)(yYxXyx∂∂+∂∂−−=+∇νσσ静力边界条件：+=+=mlYmlXyxyyxxσττσνν2、平面应力问题物理方程+=−=−=xyzyxyyyxxEEEτνγνσσενσσε)1(2)(1)(1或+=+−=+−=xyxyxyyyxxEEEγντνεενσνεενσ)1(2)(1)(122应变协调方程：同前；应力协调方程：)))(1()(2yYxXyx∂∂+∂∂+−=+∇υσσ3、应力函数解法022=∇∇ϕ（22222yx∂∂+∂∂=∇4422444222yyxx∂∂+∂∂∂+∂∂=∇∇）22yx∂∂=ϕσ22xy∂∂=ϕσyxzy∂∂∂−=ϕτ2有体力X、Y的作用下，有∂∂∂−=−∂∂=−∂∂=yxYyxXxyxyyxϕτϕσϕσ22222引入应力函数ϕ后，对于带体力下的平面问题求解归结为在给定的边界条件下求解双调和方程－求出应力函数ϕ。再由此求出应力分量，再由边界条件定待定系数。应力函数的构造：①直接给出),(yxϕ，但必须首先验证其是否满足022=∇∇ϕ，如多项式②利用一部分应力分量已知，或有一定的规律，如对受均布荷载的悬臂梁0)(==yfyσ0)(22==∂∂yfxϕ0)()(2),(212=++=yflxfyfxyxϕ0)(2)()()(2122424414444=+++dyyfddyyfdxdyyfdxdyyfd0)(44=dyyfd0)(414=dyyfd22424)(2)(dyyfddyyfd−=③利用量纲分析三角形水坝),,(1αρyxN),,(21αρyxN1N单位为[力][长度]－3；α为x，y的一次幂4.2极坐标问题求解1、平衡方程：=++∂∂+∂∂=+−+∂∂+∂∂02101θθθθθθτθστσσθτσFrrrFrrrrrrrrr2、几何方程：−∂∂+∂∂=+∂∂=∂∂=ruruurruurrurrrrrθθθθθθγθεε113、物理方程（平面应力）+=−=−=θθθθθτυγυσσευσσεrrrrrEEE)1(2)(1)(1平面应变问题：将E、υ改成21υ−E、υυ−1即可。4、莱维方程（Levy）方程0)(2=+∇yxσσ或0))(11(22222=+∂∂+∂∂+∂∂θσσθrrrrr5、应力函数和双调和方程∂∂∂−=∂∂=∂∂+∂∂=)1(11122222θϕτϕσθϕϕσθθrrrrrrrr（0)11)(112222222222=∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂ϕθθrrrrrrrr注意：应力函数①轴对称问题)(rϕϕ=②由应力分量在特定位置的分布定应力函数02cos2===θσσbrrθϕ2cos)(rf=θστθ2sin2−==brr③量纲分析：楔形体)(θϕrf=③利用问题的对称性和反对称性定应力函数DCBA+++=θθθϕ2sin2cos反对称则0==DA4.3平面轴对称应力问题（楔形状问题、半平面问题）1、轴对称问题①均匀且各向同性材料特性的条件下，外力关于坐标原点对称的问题，即为轴对称应力问题，其应力函数)(rϕϕ=②与轴对称应力对应的位移不一定是轴对称的，只有当物体几何形状、受力均是轴对称的，位移才是轴对称。=+++−=+++=02)ln23(2)ln21(22θθτσσrrCrBr