同济大学概率论与数理统计第四章

第四章随机变量及其分布一随机变量二一维离散型随机变量三一维连续型随机变量例1．设有同类产品100件，其中5件次品、95件正品。现从中任取20件产品，问抽到的次品数是多少？一.随机变量“次品数”的值在试验前无法给出确定的答案，但是另一方面，对于每一次的抽取结果，次品数又是完全确定的，是由试验的结果来决定取什么值的一个量，不同的结果对应不同的取值，因此次品数是一个变量，称之为随机变量。本例中，记次品数为X，则X可能取值为0、1、2、3、4、5。许多随机试验的结果（即随机事件）都与实数密切相连。进一步的例子：例2．抛一枚骰子出现的点数就是一个随机变量X。我们看到样本空间可以量化为一个数集：1,2,,6，而X可能取值为1至6。例3．n重贝努利试验中事件A发生的次数。还存在许多随机试验，它们的试验结果从表面上看并不与实数相联系，例4．抛一枚硬币，其结果为{出现正面向上，出现反面向上}。样本空间是一个一般的集合，而不是一个数集。但是我们可以人为地把试验结果和实数对应起来。令10X当正面向上当反面向上从数学上看，上述对应关系犹如一个函数，即对于样本空间中的任意一个元素，它对应的函数值为X；对于样本空间本身就是一个数集的试验，我们可以理解成如下函数：X，对一切比对上述几个例子。定义：给定一个随机试验，是它的样本空间。如果对中的每一个样本点，有一个实数X与它对应，那么就把这个定义域为的单值实值函数XX称为是（一维）随机变量。把随机变量X的值域记作X，则,X。用大写字母X，Y，Z等来表示随机变量。引进随机变量后，随机事件及其概率可以通过随机变量来表达。例1中，随机事件{抽取的20件产品中恰有三件次品}可以表示为{X=3}。例2中，A={出现奇数点}A={X=1，3，5}而P（A）=P（{X=1，3，5}）=1/2例4中，A={出现正面向上}={X=1}，P（A）=1/2一般地，对实数轴上任意一个集合S，如果S对应的样本点构成一个事件A，即:AXS，那么便用XS来表示事件A，用PXS来表示事件A的概率P（A）。引进随机变量后，目的是通过随机变量来研究随机现象。站在试验前的立场，我们不知道试验结果将出现中的哪个样本点，即不知道随机变量将会取X中的哪个值。因此随机变量的取值是随机的，进一步随机变量的取值的规律性也就反应了随机现象的统计规律性。结论：引进随机变量（本质上是一个函数），借助微积分等数学工具来研究随机变量取值的统计规律性。描述这种规律性的各种表达形式称为分布。二.一维离散型随机变量1概率函数2分布函数3常见离散型分布定义：如果一个随机变量只可能取有限个或可列无限个值，那么称这个随机变量为（一维）离散型随机变量。离散型随机变量的分布的表现形式称为概率函数。1概率函数设12,,,,Xiaaa，且iiPXap，其中ip满足（1）0ipi；（2）1iip。那么称iiPXap，1,2,i为随机变量X的概率函数或概率分布（律）。常用表格表示，其中概率为零的项不必列出，为方便起见，常按次序排列X的值。例1．盒中5球，2白3黑。今从中任取三球，求“取得的白球数”的概率函数。例2．从一批含有10件正品、3件次品的产品中一件一件地抽取，设每次取样时各个产品被抽到的可能性相等，在下列三种情况下，分别求出“直到取得正品为止所需抽取次数X”的概率分布。（1）有放回抽样；（2）无放回抽样；（3）每次取出一件产品后总是放回一件正品。例3．已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品、3件次品；乙箱中仅装有3件合格品，今从甲箱中任取3件产品放入乙箱，求：（1）乙箱中次品件数X的概率函数；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率。利用概率函数可以求出任意一个事件的概率：:iiiiaSiaSPXSPXap例4．例1中，求白球数不超过1的概率。例2的（2）中，求31PXX。2分布函数定义：设X是一个随机变量，称定义域为,，函数值在区间0,1上的实值函数FxPXx，x为随机变量X的分布函数。对任意的ab，总有PaXbFbFa。例1．设一口袋中有依次标有-1、2、2、2、3、3数字的六个球。从中任取一球，记随机变量X为取得的球上标有的数字，求X的分布函数。分布函数的性质：（1）01Fx；（2）分布函数单调不减；（3）分布函数右连续；（4）lim0xFx，lim1xFx分布函数的性质刻划了分布函数的特征性质。即如果某个函数具有上述四条性质，那么它必定是某个随机变量的分布函数。3常见离散型分布1．0-1分布如果随机变量X的概率函数为01PXp、1PXp，则称X服从参数为p的0-1分布，记作1,XBp。也可用下列表格表示：X01Pr1-pp凡是样本空间只含有两个样本点的试验都可以用服从0-1分布的随机变量来刻划。如产品的好坏、婴儿的性别、天气的晴雨等。2．二项分布如果随机变量X的概率函数为1nkkknPXkCpp，0,1,,kn。那么称X服从参数为n、p的二项分布。记作,XBnp，其中01p。（1）在n次重复独立试验中，事件A发生的次数就服从二项分布。（2）利用二项展开定理不难验证：011nnkkknkCpp。（3）0-1分布是二项分布在n取1时的特例。（4）在某些教科书中，会列有二项分布的概率函数值表。3．泊松分布若随机变量X的概率函数为!kPXkek，0,1,2,,k；0，那么称X服从参数为的泊松分布。记作X。（1）由无穷级数知识知01!kkek（2）实例：放射性物质在某个时间段内放射的粒子数服从泊松分布；公用电话亭在某段时间内打电话的人数服从泊松分布。（3）泊松分布的概率函数值可以查表得到，见课本第148至150页。（4）泊松定理：设0nnp，01np，对于任意一个非负整数k，lim1nkkknnnnCpp!kek泊松定理告诉我们，二项概率可以用泊松分布的概率函数值来近似。当10n，0.1p时，近似效果比较理想。例2．分析病史资料表明，因患感冒而最终导致死亡的比例占0.2%。试求，目前正在患感冒的1000个病人中：（1）最终恰有4个人死亡的概率；（2）最终死亡人数不超过2个人的概率。例3．某物业管理公司负责10000户居民的房屋维修工作。假定每户居民是否报修是相互独立的，且一个时段内报修的概率都是0.04%。另外，一户居民住房的维修只需一名修理工来处理。在某个时段报修的居民数10000,0.0004XB。按泊松定理，可以近似认为4X。试问：（1）该物业管理公司至少需要配备多少名维修工人，才能使居民报修后能得到及时修理的概率不低于99%？（这里不考虑维修时间长短）（2）如果该物业管理公司现有4名修理工，那么居民报修后不能得到及时维修的概率有多大？均匀分布：称具有下列分布律的随机变量X服从集合12,,,naaa上的（离散型）均匀分布：X1a2anaPr1n1n1n古典概型即可用服从均匀分布的随机变量来描述。例4．设,XY是随机变量，且30,07PXY，4007PXPY，求max,0PXY。例5．求方程210tXt有实根的概率。其中X服从1,2,,6上的均匀分布。例6．将一粒骰子连掷两次，以X表示两次所得点数之和。求X的分布律。例7．袋中5只乒乓球，编号1至5。今从中任取3个，以X表示取出的3球中最大的号码，求X的分布律。例8．已知X，12PXPX，求4PX。例9．某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次，每次随机的取10件产品进行检验，如果发现其中的次品数多于1，就去调整设备。以X表示一天中调整设备的次数，试求X的概率函数。（设各产品是否为次品是相互独立的）三.一维连续型随机变量•1概率密度函数•2常见连续型随机变量在实际问题中，常常遇到这样的随机变量，它们的值域是一个区间或若干个区间的并，称这类随机变量为连续型随机变量。对于连续型随机变量，我们常常并不注重它取某个值的概率，而是更关心它落在某个区间内的概率，用什么来描述连续性随机变量取值的统计规律性即分布呢？——概率密度函数。下面先复习一下分布函数的概念。给定一个随机变量X，称定义域为,的实值函数FxPXx，x，为随机变量X的分布函数。也记作XFx。注：（1）上述定义对任意随机变量而下；（2）分布函数取值范围为[0,1]；（3）对任意的ab，总有PaXbFbFa。定理对于任意的随机变量X，其分布函数Fx在0xx处连续的充分必要条件是00PXx。定义给定一个连续型随机变量X，如果存在一个定义域为,的非负实值函数fx，使得X的分布函数Fx可以表示为xFxftdt，x那么称fx为连续型随机变量X的概率密度函数。1.概率密度函数概率密度函数满足下面两个条件：（1）0fx，x；（2）1fxdx。xf（x）0F（x）这两个条件刻划了密度函数的特征性质。即如果某个实值函数具有这两条性质，那么它必定是某个连续型随机变量的密度函数。（连续型随机变量的性质）定理设X是任意一个连续型随机变量，Fx与fx分别是它的分布函数与密度函数。则（1）Fx是连续函数，且在fx的连续点处fxFx；（2）对任意常数c，c，0PXc；（3）对任意两个常数a，b，ab，有baPaXbFbFafxdxa注：PxXxxFxxFxfxx，密度函数与概率之间的关系犹如物理学中线密度与质量之间的关系。由性质（2）可知：PaXbPaXbPaXbbaPaXbfxdx进一步有对实数轴上任意一个集合S，SPXSfxdx。特别地aPXafxdx，bPXbfxdx例1．证明：函数22000xcxexxcx是一个概率密度函数（c为大于零的常数）。例2．某城市每天的耗电率X服从下列密度函数所定的分布：2121010xxxfx其余如果该城市发电厂每天供电量为80万千瓦小时，那么任一天供电量不够需要的概率是多少？（耗电率定义为每天耗电量/百万千瓦小时）例3．设连续型随机变量X的分布函数为2000111xFxAxxx求：（1）系数A；（2）X的概率密度函数；（3）概率值0.30.7PX、0.80.5PXX。例4．设X的密度函数为121400202xexfxxx，求X的分布函数。常见连续型随机变量均匀分布指数分布正态分布1．均匀分布设随机变量X的密度函数为0caxbfx其余，则称X服从区间,ab上的均匀分布。记作,XRab。abc显然1cba，这是直线上的几何概率情形。其分布函数为01xaxaFxaxbbaxbab1•例:公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过,乘客在5分钟内任一时刻到达汽车站是等可能的,求乘客候车时间在1到3分钟内的概率.2．指数分布如果随机变量X的密度函数为00xexfx其余，则称X服从参数为的指数分布，记作XE。其中0。其分布函数为1000xexFxx。001例:根据历史资料分析，某地连续两次强地震之间间隔的时间是一个随机变量，服从参数为0.1的指数分布。现