第4章 数据分布特征的描述2011上

第四章统计数据分布特征的描述一、概念平均指标是指反映同质总体各单位标志表现的一般水平的统计指标。数据集中区变量xx第一节集中趋势的测定——平均指标平均指标的特点1、同质性2、代表性3、抽象性二、平均指标的作用•1、反映总体分布的集中趋势；•2、可将不同总体同类现象的平均指标进行比较;•3、可将同一总体不同时间上同类现象的平均指标进行比较;•4、可作为评价和衡量事物的数量标准;•5、可用来反映事物发展变化的规律性；•6、可用来分析现象之间的依存关系；•7、可用来推算其他有关指标.三、平均指标的种类及其计算方法（一）算术平均数（算术均值）（二）调和平均数（调和均值）（三）几何平均数（几何均值）（四）平方平均数（五）众数（六）中位数（七）切尾均值1、算术平均数的概念算术平均数是总体各单位某一数量标志的标志值的平均数。（一）算术平均数（算术均值：ArithmeticalMean）总体单位总量总体标志总量算术平均数或者Averagex（1）是总体各单位变量值集中趋势的最常用测度值；（2）易受极端值的影响；（3）可用来计算定距数据与定比数据的平均指标，不能用来计算定类数据与定序数据的平均指标。几点说明：2、算术平均数与强度相对数的比较(1)概念不同。强度相对数是两个有联系而性质不同的总量指标对比而形成相对数指标；算术平均数是反映同质总体各单位标志值一般水平的指标。(2)主要作用不同。强度相对数反映两不同总体现象形成的密度、强度；算术平均数反映同一现象在同一总体中的一般水平。(3)计算公式及内容不同。算术平均数分子、分母分别是同一总体的标志总量和总体单位总量，分子、分母的元素具有一一对应的关系，即分母每一个总体单位都在分子可找到与之对应的标志值，反之，分子每一个标志值都可以在分母中找到与之对应的总体单位；而强度相对数是两个总量指标之比，分子分母没有一一对应关系。3、算术平均数的计算方法可分为：简单算术平均法与加权算术平均法。（1）简单算术平均法——简单算术平均数计算公式其中：代表算术平均数，xi代表各单位标志值（变量值），n代表数据个数（项数）。采用条件当统计资料为未分组资料时，可用简单算术平均法计算。nxnxxxxn21x（2）加权算术平均法——加权算术平均数计算公式：适用条件当统计资料为分组资料时可用加权算术平均法计算。x其中：代表算术平均数，x代表各标志值（变量值），f代表各组单位数（项数）。fxfffffxfxfxxkkk212211例：袁卫教材P33表2.12（件）67.10330311011kiikiiiffxx按产量分组组中值xi人数fixifi80~9085325590~100957665100~110105131365110~1201155575120~1301252250合计-303110例：某公司下属各店职工按工龄分组情况工龄组中值x人数f一店二店三店四店五店0～2年2～5年5～10年10～20年1.03.57.515.011117777252525251361010631合计—4281002020平均工龄—6.756.756.7510.3253.42575.64155.75.31nx一店平均工龄)(425.3205.681361011535.765.3101年五店平均工龄fxf一、二、三店人数相差很远，但平均工龄相等；四、五店人数相等，但平均工龄相差很大。结论：平均数水平高低受两个因素的影响：（1）变量x（2）权数（频数f或频率）。ff就简单算术平均数来说AxnAxxAnAxAxnAxxxxxxnx)6)5)()4min)()30)()2)12就加权算术平均数来说AxffAxxAffAxAxffAxfxxfxxfxfx)6)5)()4min)()30)()2)124、算术平均数的若干数学性质5、交替标志(0-1标志）标志值的平均数交替标志又称是非标志，它是一个只有两种答案的标志。如：性别只有男、女；一批产品只有合格品、不合格品等就可用是非标志来反映。一个0-1总体各单位的标志值的均值等于该0-1总体中变量志为1的单位的个数与总体单位总个数之比（即总体比例）。pnnnxxnii11有关说明：1：具有某种属性的单位标志值。0：不具有某种属性的单位标志值。n：全部总体单位数。n1：具有某种属性的总体单位数。n0：不具有某种属性的总体单位数。p=n1/n：具有某种属性的单位数所占的比重。q=n0/n：不具有某种属性的单位数所占的比重。其中：p+q=1（二）调和平均数（HarmonicMean）1、调和平均数的概念及计算方法调和平均数又称倒数平均数，是变量倒数的算术平均数的倒数。kkkHnHxwxwx2211212111111111简单调和平均法加权调和平均法计算方法：Hx2、调和平均数与算术平均数的联系调和平均数的计算公式常作为算术平均数的变形计算公式使用。Hxxwwxfxfxffxxwxf则令,3、应用调和平均数应注意问题（1）变量x的值不能为0；（2）调和平均数易受极端值的影响；（3）要注意其运用的条件。例1：某水果甲级每千克2元，乙级每千克1.5元，丙级每千克1元。问：（1）若各买1元钱的水果，平均每千克多少元？（2）若各买6.5元钱的水果，平均每千克多少元？（3）若甲级水果买1元钱的，乙级水果买2元钱的，丙级水果买3元钱的，平均每千克多少元？（4）甲乙丙三级各买1千克，平均每千克多少元？举例解：千克）元/(38.11667.23115.112131n)1(xxH千克）元/(38.10833.145.1915.65.15.625.65.65.65.6w)2(xwxH千克）元/(24.183.46135.1221321w)3(xwxH千克）元/(..)(51315124nxx例2：自行车赛时速：甲30千米，乙28千米，丙20千米，全程200千米，问三人平均时速是多少？若甲乙丙三人各骑车2小时，平均时速是多少？小时）千米/(2.2581.23600202002820030200200200200xwwxH小时）千米/(266156222220228230fxfx解：例3：假如有A、B两家公司员工的月工资资料如下表所示。试分别计算其平均工资？员工人数f（人）工资总额我（元）月工资x（元）A公司B公司A公司B公司80010001600504025480007000032000合计115150000元）元）(48.104311512000025405025160040100050800:(100015015000016003200010007000080048000320007000048000:xBxAH解：例4：某公司有15个事业部，有关资料如下表所示：事业部按计划完成程度分组（%）组中值x（%）事业部个数（个）计划产值f（万元）实际产值w（万元）90～100100～110110～1209510511538412001380030001140144903450合计-151800019080要求求出该公司各事业部的平均计划完成程度相对数？解：%10618000190803000138001200%1153000%10513800%951200x%1061800019080%1153450%10514490%9511403450144901140Hx平均计划完成程度相对数=各单位实际完成数的平均数各单位计划完成数的平均数=各单位实际完成数的总和单位个数各单位计划完成数的总和单位个数=各单位实际完成数的总和各单位计划完成数的总和=总的计划完成程度相对数（三）几何平均数（GeometricMean）（2）加权几何平均数1、几何平均数的概念与计算公式几何平均数是将若干项变量值的连乘积开其项数次方所得的结果。（1）简单几何平均数nininnGxxxxx121kiiikkffikiffffkffGxxxxx121211)(21几何平均法通常适合于动态平均数（平均发展速度）以及生产过程各阶段平均合格率等的计算。2、几何平均法的适用情况nnaaaaann1210)1(2101211201nnnnaaaaaaaa0010201aaaaaaaannnnxxxx121nnRRRR121nnRxxx21nGGGRxxxnnniiniGRxx101211201aaaaaaaaaannnnn3、几点说明（1）变量数列中任何一个为0，则几何平均数为0；（2）易受最初水平和最末水平的影响。举例例1：我国1998～2002年各年的国内生产总值如下表所示（单位：亿元，当年价格）。试求出我国1999～2002年间国内生产总值的平均发展速度。年份19981999200020012002国内生产总值78345.282067.589468.197314.8104790.6环比发展速度（%）-104.75109.02108.77107.68解：107.54%1.075478345.2104790.61.0768108.771.0902.4404751Gx%0787.81%9.101%5.125%1.102%5.1044平均收益率举例例2：一位投资者购持有一种股票，在2000年、2001年、2002年和2003年收益率分别为4.5%、2.1%、25.5%、1.9%。计算该投资者在这四年内的平均收益率？解：%43.3%100)1183935.1(%100)1022.103.105.1(515.25.115.25.1平均年利率解：例3：假定某地储蓄年利率（按复利计算：5%持续1.5年，3%持续2.5年，2.2%持续1年。请问此5年内该地平均储蓄年利率。例4：某企业生产A产品需经过铸造、锻造、切削、焊接四个车间的加工才能完成，各车间的合格率分别为：98%、95%、90%、85%所示。试求该四个车间生产A产品的平均合格品率与平均不合格品率？解：91.87%85%90%95%98%4平均合格品率8.13%91.87%-185%90%95%98%-14平均不合格品率（四）平方平均数sx1、概念平方平均数:变量值平方的算术平均数的平方根。平方平均数有简单平方平均数与加权平方平均数之分。（1）简单平方平均数nxnxxxxns222221（2）加权平方平均数ffxffffxfxfxxkkks2212222121（RootMeanSquare）2、平方平均数的适用情况（1）有些总量指标与总体各单位变量值的平方平均数的平方成正比，为了方便根据平均指标推断这样的总量指标，平均指标的计算采用平方平均法。（2）计算总体中各单位的变量值与总体均值的偏差的平均值。举例：现有10000根长度基本一致而直径相差较大的木料，有关资料如下表。试计算这批木料的平均直径？直径（cm）30以下30～5050～7070以上合计根数（根）100020004000300010000解：)(cmxs61100003000804000602000401000202222SfffffSfSfSfSxs