向量加减运算及几何意义

2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义知识回顾1.向量与数量有何区别?2.怎样来表示向量?3.什么叫相等向量?数量只有大小没有方向,如:长度,质量,面积等向量既有大小又有方向,如位移,速度,力等1)用有向线段来表示AB2）用字母来表示如aAB,长度相等,方向相同的向量相等.正因为如此,任何向量可以在不改变它的大小和方向的前提下,移到任何位置.即向量可以平移4.平行向量：方向相同或相反的向量叫做平行向量5.共线向量：向量可以平移，平行向量都可以平移到同一条直线上，因此平行向量又称作共线向量上海香港台北引入1：由于大陆和台湾没有直航，因此要从上海去台湾探亲，乘飞机要先从上海到香港，再从香港到台北，这两次位移之和是什么？上海香港台北OAB由于大陆和台湾没有直航，因此要从上海去台湾探亲，乘飞机要先从上海到香港，再从香港到台北，这两次位移之和是什么？OABOA+AB=OB•向量加法的定义:我们把求两个向量的和的运算,叫做向量的加法,叫做的和向量.,abab,ab两个向量的和仍然是一个向量.向量的加法的三角形法则：abbaabCAB,,,,abAABaBCbACabababABBCAC、内点，则与，记则这称为已知非零向量在平面任取一作向量叫做的和作即种求向量和向量加法的三角方法，形法的。首尾相接首尾连例1.如图，已知向量，求作向量。,ababab则OBabOABaba三角形法则作法1：在平面内任取一点O，作，，OAaABbb例题讲解：尝试练习一：ACABCDE_____ABBC_____BCCD_____ABBCCDBDAD（1）根据图示填空：_____ABBCCDDEAE思考7：等于什么向量？112231nnOAAAAAAA-++++uuuruuuuruuuuruuuuuurL112231nnnOAAAAAAAAO-+++++uuuruuuuruuuuruuuuuuruuurL等于什么向量？112231nnnOAAAAAAAOA-++++=uuuruuuuruuuuruuuuuuruuurL1122310nnnOAAAAAAAAO-+++++=uuuruuuuruuuuruuuuuuruuurrLACab=+ACab=+ABC(1)同向(2)反向ababABC当向量是共线向量时又如何作出来?a,b,a+bab+ababab+||||||abab+=+判断的大小||||||abab++与1、共线(1)同向(2)反向||||||abba+=-||||||abab++判断的大小||||||abab++与2、不共线abo·ABb+aba||||||abab++00aaa规定：三角形的两边之和大于第三边综合以上探究我们可得结论：||||||abab图1表示橡皮条在两个力F1和F2的作用下，沿MC方向伸长了EO；图2表示橡皮条在一个力F的作用下，沿相同方向伸长了相同长度EO。从力学的观点分析，力F与F1、F2之间的关系如何？MCEOF1F2图1MEOF图2F=F1+F2F2F1F引入2：OABCabba,OabOACBOOCaabbabOAOBOC点为点两个为邻边则为点对线与这平行四边则称为以同一起的已知向量、作,以起的角就是的和即向量加法的种求向量和的方法，形法。起点相同2.向量加法的平行四边形法则：------------------------------------------OABCabba起点相同向量加法的平行四边形法则：文字表述为：以同一起点的两个向量为邻边作平行四边形，则以公共起点为起点的对角线所对应向量就是和向量。aaaa00,我们规定对于零向量与任一向量对于向量的加法的理解需要注意下面两点:(1)两个向量的和仍然是向量(简称和向量)(2)位移的合成是三角形法则的物理模型.力的合成为平行四边形法则的物理模型.例1.如图，已知向量，求作向量。,abababO例题讲解：作法2：在平面内任取一点O，作，，OAaOBbOAOB、以为邻边作，OACB.OCOAOBab连结OC，则abbaBCA平行四边形法则●O练习2：如图，已知、，用向量加法的平行四边形法则作出。abababab(1)(2)ababaabb●O向量加法向量加法AC2.它们之们有联系吗?1.两种方法做出的结果一样吗?向量加法的定义任意给出两个向量a与b.如何求a+b.ababBabBOACABBCACuuuruuuruuurbbaba向量加法向量加法三角形法则:平行四边形法则:AC2.它们之们有联系吗?1.两种方法做出的结果一样吗?向量加法的定义任意给出两个向量a与b.如何求a+b.ababBabBOACb练习1：如图：已知向量、用向量加法的三角形法则作出。ababab(1)ab（2）ba(3)ab(4)abababab尝试练习二：(3)已知向量，用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出ab、ab①②abbba思考2:数的加法满足交换律和结合律，即对任意，有,abR,abba()().abcabc那么对任意向量的加法是否也满足交换律和结合律？请画图进行探索。,abOABCabbaabbaabccbcbaACDabba()().abcabcbaba+abba+bac+ab+()a+bc+(),.a如图，已知,,，请作出bcab+ab+cb+,,bacccbaabbc数学应用如图，一艘船从A点出发以23km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水以２km/h的速度向东流,求船实际行驶速度的大小与方向.例2CBA解:如图,设用向量表示船向垂直于对岸的速度,用向量表示水流的速度ACABD60DAB答:船实际行驶速度的大小为4km/h,方向与水流速度间的夹角.60,2,23RtABDABBD在中ADABBD4ADtan3DAB以AC,AB为邻边作平行四边形,则就是船实际行驶的速度AD向量加法向量加法若水流速度和船速的大小保持不变,最后要能使渡船垂直过江,则船的航向应该如何?在白纸上作图探究.探究2BAD5C1、求两个向量____的运算,叫做向量的加法。2、向量的加法可由__________或_____________求得。3、利用三角形法则求向量和要__________，和三角形法则平行四边形法则“首尾相接”向量的起点放在一起。利用平行四边形求向量和要将_______________)4()3()2()1(edcdbadcba１.化简________)1(BCCDAB________)2(CBACBNMA________)3(DCCABDAB练一练２.根据图示填空abcdefgABDECcfgfADMN0A1A2+A2A3=_______(A1A2+A3A4)+A2A3=______ABCDEFO数学应用1(2)(3)OABCDEFOAOCBCFEOAFE例1：已知为正六边形的中心，作出下列向量（）;1OBOCOA）解：（;2ADFEBC）（.03FEOA）（____,abab(,,,)请选用合适符号连接：,ab非零向量处于什么位置时？(1)(2)(3)(4)abababababababbaab，不共线或共线反向ab，共线且同向abab，反向且abab，反向且探究10103akmbkmab1.若表示“向南走”，表示“向西走”，则表示________.练习题2.35ababababab若，满足，，求的最大值，并指出，满足什么条件时?取到最大值.向南偏西60走20km.FABCCDDFAB:.1化简?||,3||,14||,6||.2最大值和最小值吗有则已知cbacba练习：限时2分钟最小值各是什么的最大值和则已知||,6||,8||baba12本节课学习的数学知识本节课学习的数学方法特殊与一般，归纳与类比，数形结合，几何作图，向量加法的实际应用)++=++(ab)ca(bc+=+abba回顾与小结3.向量加法满足交换律与结合律2.向量加法的平行四边形法则1.向量加法三角形法则2.2.2向量的减法运算及其几何意义（1）你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？（2）两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？思考：如设,,xyRxy()xy实数的相反数记作。aa如何定义向量的减法运算呢？回顾：一、相反向量：规定：（1）()a（3）设互为相反向量，那么,ab,,0abbaab设向量，我们把与长度相同，方向相反aa的向量叫做的相反向量。a记作：a的相反向量仍是。00二、向量的减法：()abab（2）()aa()aaa00BACab设,ABbACaDEb()AEab又bBCa所以BCabababab你能利用我们学过的向量的加法法则作出吗？()ab不借助向量的加法法则你能直接作出吗？ab三、几何意义：可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量baba注意：（1）起点必须相同。（2）指向被减向量的终点。一般地abBabbAO（三角形法则）a练习：(1)ABAD(3)BCBA(2)BABC(4)ODOA(5)OAOBDBCAACADBA（1）如果从的终点指向终点作向量，所得向量是什么呢？ab（2）当，共线时，怎样作呢？ababABOABOaOAbOBabBAba已知向量，求作向量，。ab例3,,,abcdcdabcdOBACDabdc作法：在平面内任取一点O，,OAa,OBb,OCc,ODd则BAabDCcd作注意：起点相同，连接终点，指向被减向量的终点。abcd练习：ab已知向量，求作向量。ab,ab（1）（2）ab（3）（4）abbaabababab例4在ABCD中，,ABa,ADb你能用表示吗？,ACDBDBACabACabDBab,ab与互相垂直？变式一本例中，当满足什么条件时，,abababab变式二本例中，当满足什么条件时，,ab?ababab与互相垂直)aaaa+=+++=++bb(b)c(bc向量的减法一、定义（利用向量的加法定义）。二、几何意义（起点相同，由减向量的终点指向被减向量的终点）。