狭义相对论第二讲

1正变换cvxcvttzzyyvtxx式中,11222静系S到动系S'的变换逆变换cvxcvttzzyytvxx式中,11222伽利略变换是洛仑兹变换低速下的极限情形cv2【例】水平隧道AB长L0，一列火车A'B'静长L=2L0。今使火车如图所示，以匀速v驰入隧道，地面系中观察到A'与A相遇时恰好B'与B相遇。试根据洛仑兹变换计算v值，并在列车系中计算从A'与A相遇到B'与B相遇之间的时间间隔Δt'。【解】地面参考系S，火车参考系S‘,以A’与B相遇的时刻为t‘=t=0时刻，以A'与B相遇的位置为S与S'的原点。洛仑兹变换11222xcvttvtxx车头：0,2xlx车尾：lxx,0在A'与A相遇的时刻t，3上述两事件代入洛仑兹变换（1）式cvlvt23,S'系观察者测量A'与A相遇的时刻t'A对应vltlx,clcltA23322S'系观察者测量B'与B相遇的时刻t'B对应vltx,00322cltBS'系中从A'与A相遇到B'与B相遇之间的时间间隔cltttAB3201xvtx4三.相对论运动学伽利略变换下的速度变换公式，在相对论中不再成立。将洛伦兹变换公式两边取微分cvdxcvdttddzzddyydvdtdxxd式中,11222在参考系S'中，速度定义为tdzdutdydutdxduzyx,,1.速度变换5相对论速度变换xzzxyyxxxucvuuucvuuucvvuu22222111112222211111xxxyyxzzxuvuvucuuvucuuvuc相对论速度逆变换6若物体相对一个参考系的运动速度小于c，即则相对于任意参考系，它的速度都小于c。2222cuuuzyx22222222222222222222222222222222211cvucuuucvcccvucvuucvcvucuuuucvuuvuuuuxzyxxzyxzyxxzyxzyx2222cuuuzyx2222cuuuzyx在任何参考系中光速不变速度空间的几何学7,欧氏几何，双曲几何（罗巴切夫斯基几何），椭圆几何（黎曼几何）8取/2,则：22cotcot'1vvuc由对称性，又有：22cot1uuvccotcot1cot()1cotcot2双曲几何！90.5vc0.5(0.5)0.80.50.51(0.5)0.5xucccc飞船乙0.5xuc【例】两艘飞船以相同速率0.5c反向而行。求两者的相对速率。S系：地面S’系：飞船甲22111111xxxuvcnvuuvcvnccnvvcvncncnn【例】匀速运动介质中的光速（在固定系观察）斐索水流实验验证22111111xxxuvcnvuuvcvnccnvvcvncncnn沿介质运动方向：逆介质运动方向：【解】以地面为S系，水为S’系【例】不同参考系中光线角度的变化：cossinxyucuc2sin1cos,1cos1cosxycvccvuuvcvc2sin1sintancoscosyxcvcuucvvc2sintantan1tancoscosvvccsinvc1vc21tancos光行差恒星的表观位置（方向）以年为周期发生变化–地球运动方向背离观测方向时，方向变高（仰起）–地球运动方向迎向观测方向时，方向变低（俯下）光行差现象sinvc【例】三个惯性系之间的变换12121速度不可简单相加21xxxuvuvuc212121vvvvvc144.加速度变换在参考系S'中，加速度定义为tdudatdudatdudazzyyxx,,相对论加速度变换3/223211xxxaavuc22223221111yyyxxxvucaaavvuucc22223221111zzzxxxvucaaavvuucc15相对论加速度逆变换xxzzxzxxyyxyxxxaucvucvaucvaaucvucvaucvaaucva32222223222222322/32111111111116相对论中，只有加速度为零时才是惯性系不变的00aa加速度变换的三个特征：有关。）加速度的变换与速度（叉变换关系，）加速度分量间存在交（）一般情况下（321aa因此，经典力学中牛顿第二定律需要修正。17二、相对论动力学1.概述根据狭义相对性原理，物理定律应在洛伦兹变换下具有不变性麦克斯韦方程组具有洛伦兹变换不变性在高速情况下，动量守恒、能量守恒以及质量守恒仍然成立在不同的惯性系中，同一个质点的加速度不再是不变量。经典力学的基本定律——牛顿第二定律需要修正182.动质量公式静系中：动系中：0m)(umsusxvAABBsusxvAABB设在相对论中，质量与时间、长度一样，与惯性系的选择有关。理想实验：全同粒子的完全非弹性碰撞固接于粒子A的S’系固接于粒子B的S系在两坐标系中，粒子系统质量守恒、动量守恒。susxvAABB固定于粒子A的S’系)()(0ummuumvx质量守恒：)()(0xvMumm动量守恒：xxvvMuum)()(解得：质量守恒：)()(0xvMumm动量守恒：xxvvMuum)()()()(0ummuumvx固定于粒子B的S系;)()(0ummuumvx21cuvuvvxxx02201)(mcumum代入洛仑兹速度变换：得质速关系：满足对应原理的要求：0)(mumcu)()(0ummuumvx21物体的质量m与其静止质量m0和速度v的关系2201cvmm223.牛顿三定律的修正在洛仑兹变换下，加速度不等于零时不再是不变量，质量依赖于速度，力必然也不再是惯性系不变的。在狭义相对论中，牛顿第一定律仍然成立，牛顿第二定律需要修正，牛顿第三定律也不再成立。重新定义质点的动量2201cuumump重新定义力dtpdFdtvmddtpdF相对论力学的基本定律为23dtvmddtpdF相对论力学的基本定律质点动量定理pddtF质点动能定理kdEldF【例】观察者甲以0.8c速率相对于观察者乙运动，甲携带长L，截面积S，质量为m的棒，棒沿运动方向安放，求乙和甲测定的棒的密度之比。【解】棒相对于甲静止，甲测定的密度为：LSm棒相对于乙运动，设乙测定的质量为m，长度为L’，截面积为S’，有：78.29258.01122SSLcvLcvmm,1,12222乙测定的密度为：21LSmSLm254.质能关系)83211()1()(44220021220cucummcumum2c将质速关系按幂级数展开，得两边同乘以c2得)431(212220202cuumcmmc总能量静能量2mcE200cmE相对论动能2020cmmcEEEkcu2021umEk质能关系26202cmmcEk当vc时，2222111cv2020221vmcmmcEk相对论动能公式275.能量与质量2mcE20cmEEk一定的质量m对应一定的能量mc2一定的能量E对应一定的质量E/c2质量守恒定律能量守恒定律质能守恒定律物体的质量和能量是紧密联系在一起的力学中两个独立的守恒定律在狭义相对论中统一为质能守恒定律28质量亏损：各种原子核的质量都小于组成该核的相同数目的核子质子和中子）的质量。早在20世纪20年代，人们用质谱仪测定了各种核同位素的质量。29重核裂变180MeV2nSrXeUUn94381406423692235921kg的235U核裂变，释放能量8×1013J，相当于燃烧27000吨优质煤30轻核聚变17.6MeVnHeHH423121聚变反应是恒星发射巨大能量的来源SOHO'sExtremeultravioletImagingTelescope.316.能量动量关系在狭义相对论中动量的定义仍为vmp能量222021cvcmmcE2222021cvvmppp420222cmcpE对于静止质量为零的粒子pcEmccEp静止质量为零的粒子永远以光速c运动2000002022221)())((cmEEEEEEEEEEEEpckkk022mpEk满足对应原理讨论：cv当时小结相对论动力学的三个主要关系02201)(mcumum420222cmcpE2020cmmcEEEk动能mcE2200cmE总能静能2mcE能量与动量的关系：质能关系：质速关系：【例】在S参照系中有两个静止质量均为m0的粒子A、B。分别以相同的速度v相向运动，相撞后合在一起成为一个静止质量为M0的粒子。求M0【解】设合成粒子质量M、速度v据动量守恒vMvmvmAABBBABABAmmvvmm0000ABvvvMM22202cmcmcMMcBA据能量守恒：220012cvmmmMBA＝【例】一个静质量为m0的粒子，以v=0.8c的速率运动，并与静质量为3m0的静止粒子发生对心碰撞以后粘在一起，求合成粒子的静止质量。002220.61/10.8ommmmvc代入(2)式得【解】设合成粒子的运动质量为M，速率为u，由动量守恒和能量守恒：2220(1)3(2)mvMumcmcMc由于0001430.63mMmmcmcmMmvu723148.06.00002022047.47213141mmcuMM再代入(1)式得又由221cuMMo【例】两个静质量相同的粒子，一个处于静止状态，另一个的总能量为其静能的4倍，当此两粒子发生碰撞粘合在一起，成为一个复合粒子，试求复合粒子的静质量和碰前单个粒子的质量比。【解】对于单个粒子，由2222110104EpcEEE和2221015pcE对于复合粒子，由2222401001c5,EpcMEEEEpp和242240001010McEmc000010,/10MmMm【例】一个以0.8c的速度沿X轴方向运动的粒子衰变成两个静止质量同为m0的粒子，其中一个粒子以0.6c的速度沿-Y方向运动，若衰变前粒子的静止质量为M0，求：（1）另一个粒子运动速度和方向；（2）比值m0/M0【解】原粒子动质量为：002531(0.8)MMM