概率论与数理统计第一章教案

教师备课纸1第一节随机事件一、随机现象在自然界和人类社会生活中普遍存在着两类现象：一类是在一定条件下必然出现的现象，称为确定性现象。例如：(1)一物体从高度为h（米）处垂直下落，则经过t（秒）后必然落到地面，且当高度h一定时，可由公式221gth得到，ght/2（秒）。(2)异性电荷相互吸引，同性电荷相互排斥。…另一类则是在一定条件下我们事先无法准确预知其结果的现象，称为随机现象。例如：(1)在相同条件下抛掷同一枚硬币，我们无法事先预知将出现正面还是反面。(2)将来某日某种股票的价格是多少。…概率论就是以数量化方法来研究随机现象及其规律性的一门数学学科。二、随机试验为了对随机现象的统计规律性进行研究,就需要对随机现象进行重复观察，我们把对随机现象的观察称为随机试验，并简称为试验，记为E。例如，观察某射手对固定目标进行射击；抛一枚硬币三次,观察出现正面的次数；记录某市120急救电话一昼夜接到的呼叫次数等均为随机试验。随机试验具有下列特点：(1)可重复性；试验可以在相同的条件下重复进行；(2)可观察性；试验结果可观察,所有可能的结果是明确的；(3)不确定性：每次试验出现的结果事先不能准确预知。三、样本空间尽管一个随机试验将要出现的结果是不确定的,但其所有可能结果是明确的,我们把随机试验的每一种可能的结果称为一个样本点,记为e（或）；它们的全体称为样本空间,记为S(或).例如：(1)在抛掷一枚硬币观察其出现正面或反面的试验中有两个样本点：正面、教师备课纸2反面.样本空间为S={正面，反面}或121}(,{eeeS正面，2e反面)。(2)在将一枚硬币抛掷三次，观察正面H、反面T出现情况的试验中，有8个样本点，样本空间：S},,,,,,,{TTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHH。(3)在抛掷一枚骰子，观察其出现的点数的试验中，有6个样本点：1点，2点，3点，4点，5点，6点，样本空间可简记为S{1，2，3，4，5，6}。(4)观察某电话交换台在一天内收到的呼叫次数，其样本点有无穷多个：i次，i=0,1,2,3，…，样本空间可简记为S{0，1，2，3，…}。(5)在一批灯泡中任意抽取一个，测试其寿命，其样本点也有无穷多个(且不可数)：t小时，样本空间可简记为S{t|t0}=[0,+]。注：同一个随机试验，试验的样本点与样本空间是要根据要观察的内容来确定的。四、随机事件在概率论中，把具有某一可观察特征的随机试验的结果称为事件，事件可分为以下三类：(1)随机事件：在试验中可能发生也可能不发生的事情。(2)必然事件：在每次试验中都必然发生的事件。(3)不可能事件：在任何一次试验中都不可能发生的事件。显然，必然事件和不可能事件都是确定性事件，为讨论方便，今后将它们看作是两个特殊的随机事件，并将随机事件简称为事件。五、事件的集合表示任何一个事件都可以用S的某一子集来表示,常用字母,,BA等表示。称仅含一个样本点的事件为基本事件；含有两个或两个以上样本点的事件为复合事件。显然，样本空间S作为事件是必然事件，空集作为一个事件是不可能事件。六、事件的关系与运算事件之间的关系与运算可按集合之间的关系和运算来处理.为了方便，给出下列对照表：教师备课纸3\表1.1没有相同的元素与互不相容和事件事件的差集与不发生发生而事件事件的交集与同时发生与事件事件的和集与至少有一个发生与事件事件的相等与相等与事件事件的子集是发生发生导致事件的余集的对立事件子集事件元素基本事件空集不可能事件全集必然事件样本空间集合论概率论记号BABAABBABABABABAABBABABABABABABABABAAAAA,注：两个互为对立的事件一定是互斥事件；反之，互斥事件不一定是对立事件，而且，互斥的概念适用于多个事件，但是对立概念只适用于两个事件。七、事件的运算规律由集合的运算律，易给出事件间的运算律：（1）交换律；（2）结合律；（3）分配律；（4）自反律；（5）对偶律。例1甲，乙，丙三人各射一次靶，记A“甲中靶”B“乙中靶”C“丙中靶”则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件：(1)“甲未中靶”：;A(2)“甲中靶而乙未中靶”：;BA(3)“三人中只有丙未中靶”：;CAB(4)“三人中恰好有一人中靶”：;CBACBACBA(5)“三人中至少有一人中靶”：;CBA(6)“三人中至少有一人未中靶”：;CBA或;ABC(7)“三人中恰有两人中靶”：;BCACBACAB教师备课纸4(8)“三人中至少两人中靶”：;BCACAB(9)“三人均未中靶”：;CBA(10)“三人中至多一人中靶”：;CBACBACBACBA(11)“三人中至多两人中靶”：;ABC或;CBA注：用其它事件的运算来表示一个事件,方法往往不惟一，如上例中的(6)和(11)实际上是同一事件，应学会用不同方法表达同一事件,特别在解决具体问题时,往往要根据需要选择一种恰当的表示方法。课堂练习1.设当事件A与B同时发生时C也发生,则().(A)BA是C的子事件;(B);ABC或;CBA(C)AB是C的子事件;(D)C是AB的子事件.2.设事件A{甲种产品畅销,乙种产品滞销},则A的对立事件为().(A)甲种产品滞销,乙种产品畅销;(B)甲种产品滞销;(C)甲、乙两种产品均畅销;(D)甲种产品滞销或者乙种产品畅销.课后作业P6,1，2，4教师备课纸5第二节随机事件的概率一、频率及其性质定义1若在相同条件下进行n次试验,其中事件A发生的次数为)(Arn,则称nArAfnn)()(为事件A发生的频率。频率的基本性质:(1);1)(0Afn(2);1)(Sfn(3)设nAAA,,,21是两两互不相容的事件,则)()()()(2121nnnnnnAfAfAfAAAf.定义2在相同条件下重复进行n次试验，若事件A发生的频率nArAfnn)()(随着试验次数n的增大而稳定地在某个常数p()10p附近摆动，则称p为事件的概率，记为)(AP。例1从某鱼池中取100条鱼，做上记号后再放入该鱼池中。现从该池中任意捉来40条鱼，发现其中两条有记号，问池内大约有多少条鱼？二、概率的公理化定义定义3设E是随机试验,S是它的样本空间,对于E的每一个事件A赋予一个实数,记为)(AP,若)(AP满足下列三个条件:(1)非负性：对每一个事件A,有0)(AP;(2)完备性：1)(SP;(3)可列可加性：设,,21AA是两两互不相容的事件，则有.)()(11iiiiAPAP则称)(AP为事件A的概率.教师备课纸6三、概率的性质性质1(P)0性质2(有限可加性)若事件nAAA,,,21两两互不相容，则有)()()()(2121nnAPAPAPAAAP性质3对任一事件A，有)(1)(APAP性质4)()()(ABPAPBAP；特别地，若AB，则有（1）)()()(APBPABP，（2）)()(APBP性质5对任一事件A，1)(AP性质6对任意两个事件BA,，有)()()()(ABPBPAPBAP注：推广到对任意三个事件CBA,,，则有)()(()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP例2已知,5.0)(AP,2.0)(BAP4.0)(BP,求(1))(ABP;(2))(BAP;(3))(BAP;(4))(BAP.课堂练习1.设,AB,6.0)(AP8.0)(BAP,求事件B的逆事件的概率.2.设,4.0)(AP,3.0)(BP,6.0)(BAP求)(BAP.3.设BA,都出现的概率与BA,都不出现的概率相等,且pAP)(,求)(BP.课后作业P103、4教师备课纸7第三节古典概型一、古典概型1、我们称具有下列两个特征的随机试验模型为古典概型。(1)随机试验只有有限个可能的结果;(2)每一个结果发生的可能性大小相同.古典概型又称为等可能概型.在概率论的产生和发展过程中，它是最早的研究对象，且在实际中也最常用的一种概率模型。2、古典概率.)()()(11中基本事件的总数包含的基本事件数SAnkePePAPkjikjijj二、计算古典概率的方法1.基本计数原理：(1)加法原理：设完成一件事有m种方式,其中第一种方式有1n种方法，第二种方式有2n种方法，……,第m种方式有mn种方法，无论通过哪种方法都可以完成这件事,则完成这件事的方法总数为mnnn21.(2)乘法原理：设完成一件事有m个步骤,其中第一个步骤有1n种方法，第二个步骤有2n种方法，……，第m个步骤有mn种方法；完成该件事必须通过每一步骤才算完成，则完成这件事的方法总数为mnnn21.2.排列组合方法(1)1排列公式：(2)组合公式。例1一个袋子中装有10个大小相同的球,其中3个黑球,7个白球,求(1)从袋子中任取一球,这个球是黑球的概率;(2)从袋子中任取两球,刚好一个白球一个黑球的概率以及两个球全是黑球的概率.教师备课纸8例2将3个球随机放入4个杯子中,问杯子中球的个数最多为1,2,3的概率各是多少?例3在1~2000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?课堂练习P141、2、3、4、课后作业P146、9、10教师备课纸9第四节条件概率一、条件概率的引入引例一批同型号的产品由甲、乙两厂生产，产品结构如下表：厂别数量等级甲厂乙厂合计合格品4756441119次品255681合计5007001200(1)从这批产品中随意地取一件，则这件产品为次品的概率为多少？(2)当被告知取出的产品是甲厂生产的时，那么这件产品为次品的概率又是多大？在事件A发生的条件下，求事件B发生概率，这就是条件概率，记作)|(ABP。二、条件概率的定义1、定义1设BA,是两个事件,且0)(AP,则称)()()|(APABPABP(1)为在事件A发生的条件下，事件B的条件概率。相应地，把)(BP称为无条件概率。一般地，)|(ABP)(BP。2、条件概率的性质(1)10)A(P;(2)1)A|S(P;(3)设nAAA,,,21互不相容，则)A|A(P)A|A(P)A|A(P)AAAA(Pnn2121|教师备课纸10例1一袋中装有10个球,其中3个黑球,7个白球,先后两次从袋中各取一球(不放回)(1)已知第一次取出的是黑球,求第二次取出的仍是黑球的概率;(2)已知第二次取出的是黑球,求第一次取出的也是黑球的概率.注:(1)用维恩图表达(1)式.若事件A已发生,则为使B也发生,试验结果必须是既在A中又在B中的样本点,即此点必属于AB.因已知A已发生,故A成为计算条件概率)|(ABP新的样本空间.(2)计算条件概率有两种方法:a)在缩减的样本空间A中求事件B的概率，就得到)|(ABP；b)在样本空间S中，先求事件)(ABP和)(AP，再按定义计算)|(ABP。例2袋中有5个球,其中3个红球2个白球.现从袋中不放回地连取两个.已知第一次取得红球时,求第二次取得白球的概率。三、乘法公式由条件概率的定义立即得到:)0)(()|()()(APABPAPABP(2)注意到BAAB,及BA,的对称性可得到:)0)(()|()()(BPBAPBPABP(3)(2)和(3)式都称为乘法公式,利用它们可计算两个事件同时发生的概率.例3一袋中装10个球,其中3个黑球、7个白球,先后两次从中随意各取一球(不放回),求两次取到的均为黑球的概率。例4设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.教师备课纸11四、全概率公式全概率公式是概率论中的一个基本公式。它使一个复杂事件的概率计算问题，可化为在不同情况或不同原因或不同