4第四章 平面的投影

第四章平面§4-1平面的表示法§4-2各种位置平面的投影特性§4-3属于平面的点和直线§4-1平面的客观形态一、以几何元素呈现的平面用几何元素表示平面有五种形式：不在同一直线上的三点；直线及外一点；相交二直线；平行二直线；任意平面图形本身。二、以迹线呈现的平面平面的迹线为空间平面与投影面的交线。特殊位置平面其具有积聚性的投影与其同面迹线是一致的。一、用几何元素表示平面aabcbcbaacbcbaacbcaabcbcabcabcdd二、平面的迹线表示法VHPPVPHPVPHVHQVQHQHQVQPVPHa′ab′bc′cm1m2n1n2一般位置平面的迹线求法1、平面迹线的定义平面的迹线是平面与投影面的交线。平面P与H投影面的交线称作平面的水平迹线，用PH表示；平面P与V投影面的交线称作平面的正面迹线，用PV表示。（平面名称的大写字母加右下标注相应投影面名称）。PH、PV是平面P的两条直线，不是一直线的两投影。2、迹线的空间位置特点平面迹线既属于平面，又属于投影面。3、迹线的投影特点迹线的一个投影即其本身，其余投影在投影轴上。4、平面迹线的作图先作出平面内任意两直线的迹点，再连接其同名迹点即平面的同面迹线，注意利用迹线共点。特殊位置平面用具有积聚性的迹线表示。PxPx——迹线集合点PVPH迹线平面与几何平面的转换baccabPx§4-2各种位置平面的投影特性一、投影面的垂直面1铅垂面2正垂面3侧垂面二、投影面的平行面1水平面2正平面3侧平面三、一般位置平面VWHPPH1、铅垂面投影特性：1、abc积聚为一条线2、abc、abc为ABC的类似形3、abc与OX、OY的夹角反映、角的真实大小ABCacbababbacccVWH铅垂面迹线表示法PHPPHVWHQQV2、正垂面投影特性：1、abc积聚为一条线2、abc、abcABC的类似形3、abc与OX、OZ的夹角反映α、角的真实大小αababbacccAcCabBVWH正垂面的迹线表示法QQVαγQVVWHSWS3、侧垂面投影特性：1、abc积聚为一条线2、abc、abc为ABC的类似形3、abc与OZ、OY的夹角反映α、β角的真实大小CabABcabbbaaαβccc侧垂面的迹线表示法VWHSHSZXOYSHYαβVWH1、水平面投影特性：1、abc、abc积聚为一条线积聚为一条线，具有积聚性2、水平投影abc反映ABC实形CABabcbacabccabbbaacc2、正平面VWH投影特性：1、abc、abc积聚为一条线，具有积聚性2、正平面投影abc反映ABC实形cabbacbcabacabcbcaCBA3、侧平面投影特性：1、abc、abc积聚为一条线，具有积聚性2、侧平面投影abc反映ABC实形VWHabbbacccabcbacabcCABa三、一般位置平面投影特性：1、abc、abc、abc均为ABC的类似形2、不反映、、的真实角度abcbacababbaccbacCAB§4-3属于平面的点和直线一、属于一般位置平面的点和直线二、属于特殊位置平面的点和直线三、属于平面的投影面平行线四、属于平面的最大斜度线一、属于一般位置平面的点和直线1平面上的直线直线在平面上的几何条件是：①通过平面上的两点；②通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。2平面上的点点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上。在平面上取点、直线的作图，实质上就是在平面内作辅助线的问题。利用在平面上取点、直线的作图，可以解决三类问题：判别已知点、线是否属于已知平面；完成已知平面上的点和直线的投影；完成多边形的投影。取属于平面的点和直线取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经过属于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直线。ABCEDabcabcddeeFff例题已知ABC给定一平面，试判断点D是否属于该平面。ddabcabcee例题2已知点D在ABC上，试求点D的水平投影。ddabcabceed例题已知点E在ABC上，试求点E的正面投影。edabcabce二、属于特殊位置平面的点和直线1取属于垂直面的点和直线2过一般位置直线总可作投影面的垂直面(1)几何元素表示法(2)迹线表示法3过特殊位置直线作平面(1)过正垂线作平面(2)过正平线作平面1取属于垂直面的点和直线（1）abcabc几何元素表示平面kk123123ggfeefnmmnEF属于ABCK属于ABCG不属于ⅠⅡⅢMN不属于ⅠⅡⅢPHbb1取属于垂直面的点和直线aaeffeRVVHabbaSVHbaabAB2过一般位置直线总可作投影面的垂直面过一般位置直线AB作H面的垂直面PH过一般位置直线AB作V面的垂直面SHPPHSVAB(1)过一般位置直线作投影面的垂直面(几何元素表示法)meffeff’een(m)(n)(2)过一般位置直线作投影面的垂直面(迹线表示法)babaabSVQWPH(1)过正垂线作平面(迹线表示法)m（n）mnm（n）mnm（n）mnm（n）mnPVSVQVRVeffe(2)过正平线作平面effeeffeeffePHSHgg（a）题目（c）作正垂面（b）作正平面（d）作一般位置平面平面上投影面平行线：属于平面并平行于投影面的直线。在一般位置平面上，对三个投影面都有相应的投影面平行线。这些投影面平行线既具有投影面平行线的投影特点，又与所属平面保持从属关系，并且与平面的同面迹线平行。三、属于平面的投影面平行线VHP属于平面的水平线和正平线PVPHabcbac例题已知ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正平线，过点A作属于该平面的水平线。mnnm例题已知点E在ABC平面上，且点E距离H面15，距离V面10，试求点E的投影。Xabcbacmnmnrsrs1015ee三角形ABC为：例题a′b′a〞b〞c′c〞﹙1﹚一般位置平面﹙2﹚过Z轴的平面﹙3﹚正平面﹙3﹚铅垂面判断题：指出正确答案。ZO三角形ABC为：例题﹙1﹚一般位置平面﹙2﹚过X轴的平面﹙3﹚正平面﹙3﹚侧垂面判断题：指出正确答案。a′b′abc′cOX1平面上的最大斜度线—平面上对某个投影面倾角最大的直线。它与投影面的倾角反映该平面与投影面的倾角。2平面上对某投影面的最大斜度线与该平面上对相应投影面的平行线相互垂直。3同一平面上的最大斜度线有三组，即分别对V面、H面及W面各有一组。（1）平面上对H面的最大斜度线（2）平面上对V面的最大斜度线（3）平面上对W面的最大斜度线四、属于平面的最大斜度线ABAB//H，则雨水总是沿着与AB垂直的方向流下属于定平面并垂直于该平面的投影面平行线的直线，即为该平面的最大斜度线；最大斜度线对投影面的倾角最大。最大斜度线的几何意义:用来确定平面对投影面的倾角（二面角）。HPCDaSAEVHW（1）平面上对水平投影面的最大斜度线EFAB平行于H，EF垂直于ABPBAEFVHW（2）平面上对正面投影面的最大斜度线CDAB平行于V，CD垂直于ABPCDBAVHW（3）平面上对侧面投影面的最大斜度线MNAB平行于W，MN垂直于ABPBAMN例题求作ABC平面上对水平面的最大斜度线BE。ddeeabcabc作图步骤•作平面上的水平线•过平面上任意点作与平面上水平线垂直相交的直线例题求ABC平面与水平投影面的夹角。beαBEddeeabcabc•作平面的水平线•作平面对H面的最大斜度线•求对H面最大斜度线的αα例题求ABC平面与正面投影面的夹角。ddabcabcebeeβBE•作平面的正平线•作平面对V面的最大斜度线•求对V面最大斜度线的ββ例题已知直线EF为某平面对H面的最大斜度线，试作出该平面。effeffeeaa给题effe已知直线EF为某平面对H面的最大斜度线，求该平面的βg′gβkk′注意：题目的条件是对H面的最大斜度线，可以通过EF直接求α角，但不能直接求出β角。该题的第一个条件实际上只是给你一个平面。作图步骤：•作出水平线FG。得到FGE平面。•画出该平面的正平线，得到该平面对V面的最大斜度线FK。•根据直角三角形法求平面的β倾角。综合练习1：已知△ABC对H面的最大斜度线AD和BC边的H投影，完成△ABC的V、H投影a′d′badcb′c′a′b′ab30°c′c分析过已知点作的平面上的正平线与对V面的最大斜度线是一对垂直相交的直线。投影作图步骤•以直角边∆YAB、β=30°作直角三角形，获对V面的最大斜度线的V投影长。•以b′为圆心，上述投影长为半径画圆。•过a′向此圆作切线，获切点C的V、H投影。•连接AC、BC，完成作图。综合练习2：含AB作平面，使其Β=30°综合练习2已知BC为正平线，完成平面四边形ABCD的水平投影。a′b′ac′dOXd′cbe′ea′b′ac′dOXd′cbe′ef′f解法2综合练习3：已知平面ABCD的一边CD=45MM，完成其H面的投影。a′b′c′d′ab分析：这是一个共面问题。解决这种问题的实质是根据平面的表达方法确定一个平面。这里AB和CD显然很难确定交点，因此可以根据两平行线确定平面的办法来解决。根据直角三角形法，可以求得CD直线的△Y值。再根据平行线的投影性质，完成该平面图形。cdabba△△c综合练习4以水平线AB为边作正三角形与水平投影面H的夹角成30°。以ab为边作正三角形c′本章要点熟练掌握平面的空间七种位置及其投影特征。充分理解平面的迹线概念,了解平面的迹线作法。熟练掌握平面上的各种线的概念求法。最大斜度线为本章的难点。a′b′aba″b″c′d′c″d″cd(2′)2″3″(3)作业讲评习题3-15关于交叉二直线重影点的可见性判别（其中一直线为侧平线）４″５″４′５′（）1′1″1a′b′c′abc45°b″a″c″2″1″2′1′21习题4-7求作属于△ABC与投影面H、V等距离点的轨迹。与投影面H、V等距离点的集合为V、H的角平分面ee′例题3过D作直线DE和△ABC平行，且使DE线上所有点与投影面H、V等距。dd′a′b′c′abc第二种解法2′1′21利用关于ＯＸ轴对称aba′b′α已知AB为平面P对V面的最大斜度线，求作该平面的投影和对H面的倾角α。注意AB为平面P对V面的最大斜度线，不能用来求平面的α对V面的最大斜度线AB和与之垂直相交的正平线确定平面Ppp′aabbcc不补画W投影，只利用V、H投影区分一般位置平面与侧垂面。abcabc一般位置平面侧垂面侧垂面cabcab平面中存在一条侧垂线作业评讲以AB为边长作正三角形，使其与V面成30°，本题有几解？a′b′abAB显然是正平线，垂直于正平线的方向就是该平面对V面的最大斜度线，所以等边三角形AB的中垂线就是平面的最大斜度线，它的β=30°β=30°d′YCDc′cd