(教师用书)高中数学-第三章-数系的扩充与复数的引入章末归纳提升课件-新人教A版选修12

复数是在实数的基础上扩充的，其虚数单位为i，满足i2＝－1，且i同实数间可以进行加、减、乘、除法的运算，结合复数的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)中，a、b的条件可把复数分为：复数(z＝a＋bi，a、b∈R)实数b＝0，虚数b≠0纯虚数a＝0，b≠0，非纯虚数a≠0，b≠0.其中纯虚数中“b≠0”这个条件易被忽略，学习中应引起足够的注意．设i是虚数单位，复数1＋ai2－i为纯虚数，则实数a为()A．2B．－2C．－12D．12【思路点拨】先将已知复数化为“a＋bi”的形式，再由纯虚数定义求a.【规范解答】法一1＋ai2－i＝1＋ai2＋i2－i2＋i＝2－a＋2a＋1i5为纯虚数，所以2－a＝0，a＝2，故选A.法二1＋ai2－i＝ia－i2－i为纯虚数，所以a＝2，故选A.【答案】A若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则()A．a＝－1B．a≠－1且a≠2C．a≠－1D．a≠2【解析】a2－a－2≠0或a2－a－2＝0|a－1|－1＝0，a≠－1且a≠2或a＝2.综上可知，a≠－1.【答案】C复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分母有理化，要注意i2＝－1.在进行复数的运算时，要灵活利用i，ω的性质，或适当变形创造条件，从而转化为关于i，ω的计算问题，并注意以下结论的灵活应用：(1)设ω＝－12±32i，则ω2＝ω，1ω＝ω2，ω3n＝1，ω3n＋1＝ω(n∈N＋)等．(2)(12±32i)3＝－1.(3)作复数除法运算时，有如下技巧：a＋bib－ai＝a＋biib－aii＝a＋biia＋bi＝i，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化．已知复数z＝1－i，则z2－2zz－1＋z＝()A．1－iB．－2iC．1＋iD．－2【思路点拨】先计算z1＝z2－2zz－1，再计算z1＋z.【规范解答】法一z2－2zz－1＝1－i2－21－i1－i－1＝－2i－2＋2i－i＝－2i－i·i＝－2i，∴z2－2zz－1＋z＝－2i＋1＋i＝1－i.故选A.法二z2－2zz－1＝z－12－1z－1＝z－1－1z－1＝(－i)－1－i＝－i－i－i·i＝－2i.∴z2－2zz－1＋z＝－2i＋1＋i＝1－i.故选A.【答案】A计算：(1)2＋2i41－3i5；(2)－23＋i1＋23i＋(21－i)2006.【解】(1)2＋2i41－3i5＝241＋i4－25－12＋32i5＝－242i225－12＋32i2＝2(－12＋32i)＝－1＋3i.(2)－23＋i1＋23i＋(21－i)2006＝－23＋ii1＋23ii＋21003－2i1003＝－23＋iii－23－1i1003＝i－1－i＝i－i＝0.共轭复数与复数的模是复数中两个重要的概念，在解决有关复数问题时，除用共轭复数定义与模的计算公式解题外，也常用下列结论简化解题过程：(1)|z|＝1⇔z＝1z；(2)z∈R⇔z＝z；(3)z≠0，z为纯虚数⇔z＝－z.设z1、z2∈C，且|z1|＝1，|z2|≠1，求|z1＋z21＋z1·z2|的值．【思路点拨】利复数模的性质：z·z＝|z|2进行化简．【规范解答】∵|z1|＝1，∴|z1|2＝z1·z1＝1.从而|z1＋z21＋z1z2|＝|z1＋z2z1z1＋z2|＝|1z1|＝1|z1|＝1.已知z∈C，解方程z·z－3iz＝1＋3i.【解】∵z·z＝|z|2，把方程变形为z＝－1＋1－|z|23i，①两边取模得|z|2＝|z|2＝1＋1－|z|229.整理得|z|4－11|z|2＋10＝0.解得|z|2＝1或|z|2＝10.将其代入①得z＝－1或z＝－1－3i.∴z＝－1或z＝－1＋3i.1.复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．2．任何一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内一点Z(a，b)对应，而任一点(a，b)又可以与以原点为起点，点Z(a，b)为终点的向量OZ→对应，这些对应都是一一对应，由此得到复数的几何解法，特别注意|z|、|z－a|的几何意义——距离．3．复数加减法几何意义的实质就是平行四边形法则和三角形法则．由减法的几何意义知|z－z1|表示复平面上两点Z，Z1间的距离．4．复数形式的基本轨迹(1)当|z－z1|＝r时，表示复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的圆；单位圆|z|＝1.(2)当|z－z1|＝|z－z2|时，表示以复数z1、z2的对应点为端点的线段的垂直平分线．已知复数z1＝i(1－i)3，(1)求|z1|；(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．【思路点拨】(1)利用模的定义求解；(2)可以利用三角代换，也可利用几何法数形结合．【规范解答】(1)z1＝i(1－i)3＝i(－2i)(1－i)＝2(1－i)，∴|z1|＝22＋－22＝22.(2)法一|z|＝1，∴设z＝cosθ＋isinθ，|z－z1|＝|cosθ＋isinθ－2＋2i|＝cosθ－22＋sinθ＋22＝9＋42sinθ－π4.当sin(θ－π4)＝1时，|z－z1|取得最大值9＋42，从而得到|z－z1|的最大值22＋1.法二|z|＝1可看成半径为1，圆心为(0,0)的圆，而z1对应坐标系中的点(2，－2)．∴|z－z1|的最大值可以看成点(2，－2)到圆上的点距离最大，则|z－z1|max＝22＋1.已知等腰梯形OABC的顶点A、B在复平面上对应的复数分别为1＋2i，－2＋6i，OA∥BC.求顶点C所对应的复数z.【解】设顶点C对应的复数z＝x＋yi，x，y∈R，∵OA∥BC，|OC|＝|BA|，∴kOA＝kBC，|zC|＝|zB－zA|，即21＝y－6x＋2，x2＋y2＝32＋42，解得x1＝－5y1＝0或x2＝－3，y2＝4.∵|OA|≠|BC|，∴x2＝－3，y2＝4(舍去)，故z＝－5.复数的代数形式z＝x－yi(x，y∈R)，从实部虚部来理解一个复数，把复数z满足的条件转化为实数x，y应该满足的条件，从而可以从实数的角度利用待定系数法和方程思想来处理复数问题．已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.【思路点拨】由x，y为共轭复数设出x，y代入条件等式，利用复数相等转化为实数方程组．【规范解答】设x＝a＋bi(a，b∈R)，则y＝a－bi.又(x＋y)2－3xyi＝4－6i，∴4a2－3(a2＋b2)i＝4－6i.∴4a2＝4，a2＋b2＝2，∴a＝1，b＝1或a＝1，b＝－1或a＝－1，b＝1或a＝－1，b＝－1，∴x＝1＋i，y＝1－i或x＝1－i，y＝1＋i或x＝－1＋i，y＝－1－ix＝－1－i，y＝－1＋i.设存在复数z同时满足下列两个条件：①复数z在复平面内的对应点位于第二象限；②z·z＋2iz＝8＋ai(a∈R)．求a的取值范围．【解】设z＝x＋yi(x，y∈R)，由①得x0，y0.由②得x2＋y2＋2i(x＋yi)＝8＋ai，即x2＋y2－2y＋2xi＝8－ai，由复数相等的充要条件，得x2＋y2－2y＝8，2x＝a，即x2＋y－12＝9，a＝2x.∵x2＋(y－1)2＝9表示以(0,1)为圆心，3为半径的圆，且x0，∴－3≤x0，∴－6≤2x0，即－6≤a0，∴a的取值范围是[－6,0)．