2015-2016学年高中数学-第3章-数系的扩充与复数的引入章末归纳总结课件-新人教B版选修2-2

数系的扩充与复数的引入第三章章末归纳总结第三章知识结构1知识梳理2随堂练习4专题探究3知识结构知识梳理本章在小学、初中和高中所学知识的基础上，介绍复数的概念、复数的代数形式的运算和数系的扩充等内容．本章共分两大节．第一大节是“数系的扩充与复数的概念”．第二大节是“复数的运算”．在第一大节中，首先简要地展示了数系的扩充过程，回顾了数的发展，并指出当数集扩充到实数集时，由于负数不能开平方，因而大量代数方程无法求解，于是就产生了要开拓新数集的要求，从而自然地引入虚数i，复数由此而产生，接着，介绍了复数的有关概念和复数的几何表示．主要涉及的概念有：复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数相等、复数的模等．在第二大节中，介绍了复数代数形式的加、减、乘、除的运算法则，同时指出了复数加法、减法的几何意义，复平面上两点间的距离公式，沟通了“数与形”之间的联系，提供了用“形”来帮助处理“数”和用“数”来帮助处理“形”的工具．本章有两条主线：一条主线是以复数代数形式来表示复数的概念．规定了加、乘两种运算法则，然后把减、除法分别定义为加、乘法的逆运算来推导出其运算法则．利用复数的四则运算，可把复数代数形式a＋bi看成由a和bi两个非同类项组成，这样多项式的运算法则几乎可以全部搬过来照用不误，于是复数就与多项式、方程联系起来，从而能帮助解决一些多项式中的因式分解、解方程等数学问题．另一条主线是用复平面上的点或向量来描述复数．由此引出了复数运算的几何意义，使复数在平面几何、解析几何中得到广泛应用．这两条主线在教材中是交替安排的，这样能加强学生的“形与数”结合的观念，使学生在看到代数形式时就能联想到几何图形，看到几何图形就能联想到对应的复数．有利于学生深入理解复数概念，开阔学生的思路，培养和提高用“数形结合”观点来处理问题的能力．学习中应注意的几个问题：(1)对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它，这是理解复数问题的重要思路之一．(2)在复平面内，如果复数变量按某种条件变化，那么对应的动点就构成具有某种特征的点的集合或轨迹，这种数形的有机结合，成为复数问题转化为几何问题的重要解题途径之一，注意数形结合思想和转化思想的应用．(3)两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法，此外，要明确由一个复数等式可得到两个实数等式这一性质，在解决复数问题时经常用到它．(4)两个复数的和、差、积、商仍是一个惟一确定的复数，要熟练掌握复数的乘、除法的运算法则．(5)要善于用复数的几何意义去解题，要深刻理解复数运算式|z1－z2|，|z1＋z2|等的几何意义，并会灵活运用．此外z·z＝|z|2＝|z|2也是复数运算与实数运算互相转化的重要依据．专题探究有关复数的概念设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(1)z是虚数⇔b≠0；(2)z是纯虚数⇔a＝0，b≠0；(3)z是实数⇔b＝0.在解题中，若实部、虚部中含有分式、根式、对数式等，需先使其有意义，再进行分类．当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．如z＝a＋bi的共轭复数为z－＝a－bi(a，b∈R)．已知m∈R，复数z＝mm＋2m－1＋(m2＋2m－1)i，当m为何值时：(1)z∈R；(2)z是虚数；(3)z是纯虚数．[解析](1)当m2＋2m－1＝0且m－1≠0，即m＝－1±2时，z为实数．(2)当m2＋2m－1≠0且m－1≠0.即m≠－1±2且m≠1时，z为虚数．(3)当mm＋2m－1＝0且m2＋2m－1≠0，即m＝0或－2时，z为纯虚数．[方法总结]此题考查复数的分类概念，主要运用复数概念的充要条件，要注意纯虚数的充要条件a＝0且b≠0.复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分子、分母有理化，要注意i2＝－1.在进行复数的运算时，要灵活利用i，ω的性质，或适当变形创造条件，从而转化为关于i，ω的计算问题，并注意以下结论的灵活运用：复数的运算在运算的过程中常用来降幂的公式有：(1)i的乘方：i4k＝1，i4k＋1＝i，i4k＋2＝－1，i4k＋3＝－i(k∈N*)；(2)(1±i)2＝±2i；(3)设ω＝－12±32i，则有ω2＝1,1＋ω＋ω3＝1，ω3n＝1(n∈N*)，ω2＝ω；(4)进行复数除法运算时，有如下技巧：a＋bib－ai＝a＋biib－aii＝a＋biia＋bi＝i(a，b∈R)，利用此结论可使一些特殊类型题目的计算过程简化．计算：2＋2i3－i7－2－2i1＋3i7.[解析]原式＝2i1－i3－i7－21－ii3－i7＝2i1－i3－i7＋2i1－i3－i7＝22＋2i3－i7＝21＋i3＋i27＝2[(1＋i)2]3(1＋i)(－i)7－12＋32i7＝2(－8i)·(1＋i)·i·－1＋3i2＝－8－83＋(－8＋83)i.[方法总结]①利用1＋i＝i(1－i)，1＋3i＝i(3－i)巧妙化简．②巧妙凑出－12＋32in的形式.复数的代数形式z＝x＋yi(x，y∈R)，从实部虚部来理解一个复数，把复数z满足的条件转化为实数x，y应该满足的条件，从而可以从实数的角度利用待定系数法和方程思想来处理复数问题．复数问题实数化的思想已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.[解析]设x＝a＋bi(a，b∈R)，则y＝a－bi.又(x＋y)2－3xyi＝4－6i，∴4a2－3(a2＋b2)i＝4－6i，∴4a2＝4a2＋b2＝2，∴a＝1b＝1或a＝1b＝－1或a＝－1b＝1或a＝－1b＝－1，∴x＝1＋iy＝1－i或x＝1－iy＝1＋i或x＝－1＋iy＝－1－i或x＝－1－iy＝－1＋i.共轭复数与模共轭复数与复数的模是复数中两个重要的概念，在解决有关复数问题时，除用共轭复数定义与模的计算公式解题外，也常用下列结论简化解题过程．1．|z|＝1⇔z＝1z；2．z∈R⇔z＝z；3．z≠0，z为纯虚数⇔z＝－z.复数模的计算公式：若z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝a2＋b2，在解答有关复数模的问题时应重视以下结论的运用：z·z＝|z|2＝|z|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，z1z2＝|z1||z2|(z2≠0)等．已知z∈C且|z|＝1，求|z2－z＋1|的最值．[解析]因为|z|＝1，所以z·z＝1，所以z2－z＋1＝z2－z＋zz＝z(z＋z－1)，所以|z2－z＋1|＝|z(z＋z－1)|＝|z|·|z＋z－1|＝|z＋z－1|.设z＝x＋yi(x，y∈R)，那么|z＋z－1|＝|2x－1|，又因为|z|＝1，所以x2＋y2＝1.所以－1≤x≤1，所以－3≤2x－1≤1，则0≤|2x－1|≤3.所以|z2－z＋1|的最小值为0，最大值为3.[方法总结]本题中求|z2－z＋1|的最值，如果先设出z的代数形式，直接代入进行运算将非常繁琐，并且不易求解，但巧妙利用模的性质进行求解便简化了运算．已知z∈C，解方程z·z－3iz＝1＋3i.[解析]∵z·z＝|z|2，把方程变形为z＝－1＋1－|z|23i①两边取模得|z|2＝|z|2＝1＋1－|z|229.整理得|z|4－11|z|2＋10＝0.解得|z|2＝1或|z|2＝10.将其代入①得z＝－1或z＝－1－3i.∴z＝－1或z＝－1＋3i.简解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由题意知x2＋y2－3i(x－yi)＝1＋3i，即x2＋y2－3y－3xi＝1＋3i，∴x＝－1x2＋y2－3y＝1，∴x＝－1y＝0或x＝－1y＝3，∴z＝－1或－1＋3i.复数的几何意义1.复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．2．任何一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内一点Z(a，b)对应，而任一点Z(a，b)又可以与以原点为起点，点Z(a，b)为终点的向量OZ→对应，这些对应都是一一对应，由此得到复数的几何解法，特别注意|z|、|z－a|的几何意义——距离．3．复数加减法几何意义的实质就是平行四边形法则和三角形法则．由减法的几何意义知|z－z1|表示复平面上两点Z，Z1间的距离．4．复数形式的基本轨迹．(1)当|z－z1|＝r，表示复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的圆；单位圆|z|＝1.(2)当|z－z1|＝|z－z2|，表示以复数z1、z2的对应点为端点的线段的垂直平分线．已知复数z1＝i(1－i)3，(1)求|z1|；(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．[解析](1)z1＝i(1－i)3＝i(－2i)(1－i)＝2(1－i)，∴|z1|＝22＋22＝22.(2)解法1：∵|z|＝1，∴设z＝cosθ＋isinθ，|z－z1|＝|cosθ＋isinθ－2＋2i|＝cosθ－22＋sinθ＋22＝9＋42sinθ－π4.当sinθ－π4＝1时，|z－z1|2取得最大值9＋42.从而得到|z－z1|的最大值22＋1.解法2：|z|＝1可看成半径为1，圆心为(0,0)的圆，而Z1可看成在坐标系中的点(2，－2)，∴|z－z1|的最大值可以看成点(2，－2)到圆上的点距离最大．由图可知|z－z1|max＝22＋1.随堂练习一、选择题1．(2015·黑龙江省龙东南四校高二期末)i是虚数单位，复数(3－i1＋i)2表示的点落在哪个象限()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]C[解析](3－i1＋i)2＝3－i21＋i2＝8－6i2i＝8－6i－2i2i－2i＝－12－16i4＝－3－4i，∴复数表示的点为(－3，－4)，故选C.2.1＋i31－i2＝()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i[答案]D[解析]本题考查了复数的运算．原式＝2i1＋i－2i＝－1－i.3．设z＝10i3＋i，则z的共轭复数为()A．－1＋3iB．－1－3iC．1＋3iD．1－3i[答案]D[解析]本题考查了复数的运算以及共轭复数的概念．Z＝10i3－i3＋i3－i＝3i＋1，所以复数Z的共轭复数是1－3i.4．i是虚数单位，若1＋7i2－i＝a＋bi(a，b∈R)，则乘积ab的值是()A．－15B．－3C．3D．15[答案]B[解析]本题考查复数的概念及其简单运算．1＋7i2－i＝1＋7i2＋i2－i2＋i＝－5＋15i5＝－1＋3i＝a＋bi，∴a＝－1，b＝3，∴ab＝－3.故选B.二、填空题5．在复平面内，复数2i1－i对应的点的坐标为________．[答案](－1,1)[解析]2i1－i＝2i1＋i1－i1＋i＝i(1＋i)＝－1＋i.6．若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数(z1－z2)i的实部为________．[答案]－20[解析]本题主要考查复数的概念及运算．∵z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，∴(z1－z2)i＝[(4＋29i)－(6＋9i)]i＝－20－2i.∴复数(z1－z2)i的实部为－20.三、解答题7．已知z、ω为复数，(1＋3i)z为纯虚数，ω＝z2＋i，且|ω|＝52，求ω.[解析]解法1：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(1＋3i)z＝a－3b＋(3a＋b)i.由题意，得a＝3b≠0.∵|ω|＝z2＋i＝52，∴|z|＝