第四讲 傅里叶变换

DigitalImageProcessing制作：刘晓翔暨南大学珠海学院《数字图像处理》2020/2/161第四讲傅里叶变换JINANUniversityDigitalImageProcessing制作：刘晓翔暨南大学珠海学院《数字图像处理》2020/2/162傅里叶变换主要内容图像变换基础傅里叶变换定义傅里叶变换的性质快速傅里叶变换JINANUniversityDigitalImageProcessing制作：刘晓翔暨南大学珠海学院《数字图像处理》2020/2/163图像变换基础什么是图像变换？为了有效地和快速的对图像进行处理和分析，常常需要将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到另外一些空间，并利用这些空间的特有性质方便地进行一定的加工，最后再转换回图像空间以得到所需的效果。这些转换方法称为图像变换技术。本讲着重介绍和讨论的傅里叶变换，就是一种广泛应用的图像变换技术。JINANUniversityDigitalImageProcessing制作：刘晓翔暨南大学珠海学院《数字图像处理》2020/2/164图像变换基础为什么要学习图像变换？从某种意义来说，使用不同的空间来描述图像，就好比使用不同的语言来表达观点。能讲两种语言的人常常会发现，在表达某些观点时，一种语言会比另一种语言优越。类似的，图像处理的分析者在解决某一问题时会在不同的空间来回切换。掌握图像变换技术，就可以在不同的空间下思考问题，并利用不同空间的优越性解决问题，这种能力是非常有用的。傅里叶变换也被喻为描述图像的第二种语言。JINANUniversityDigitalImageProcessing制作：刘晓翔暨南大学珠海学院《数字图像处理》2020/2/165图像变换基础“傅里叶变换”将图像变成怎样的空间？我们之前所讨论的、大家所熟悉的图像空间为“空域”空间。经过傅里叶变换，则可获得图像的“频域”空间。那么什么是“频域”呢？？？这个就要从信号的分解开始说起。。。（所谓信号，就是带有信息的物理量。对于灰度图像，像素点的灰度值就是其携带的信号。因此，图像本质上是一个二维信号的集合。）JINANUniversityDigitalImageProcessing制作：刘晓翔暨南大学珠海学院《数字图像处理》2020/2/166图像变换基础信号分解——概述信号分解是利用“化繁为简、化整为零”的思路，将一个复杂信号分解为一系列“简单”信号（或称基元信号）的特定组合（叠加）。问题1：怎样的信号是我们需要的“简单”信号？问题2：它们遵循什么样的组合规律？JINANUniversityDigitalImageProcessing制作：刘晓翔暨南大学珠海学院《数字图像处理》2020/2/167图像变换基础信号分解——“简单”信号如果一组信号彼此完全不相似，它们互相不包含对方的分量，则这组信号就是我们需要的简单信号。在数学上，有个专门的术语描述这种性质，叫“正交”性。（信号是物理术语，在数学世界，信号等价于函数）JINANUniversityDigitalImageProcessing制作：刘晓翔暨南大学珠海学院《数字图像处理》2020/2/168图像变换基础“正交”函数的数学描述两个函数正交的充要条件是：它们的内积为0（内积描述相似性）。函数f1(t)和函数f2(t)在区间(t1,t2)上的内积：21)()(,2121ttdttftfff函数集{gn(t),1≤n≤N}的在区间(t1,t2)上正交的条件：0,),()()(12nttnnmKnnmKdttgtg0,00,1)(tttJINANUniversityDigitalImageProcessing制作：刘晓翔暨南大学珠海学院《数字图像处理》2020/2/169图像变换基础哪些函数集是“正交”的呢？（1）在实函数中，有一组自然、和谐的函数非常适合作为正交函数集——正、余弦函数。对于任何的：)(),cos()cos()(),sin()sin(),cos()sin(mnmxnxmnmxnxmxnx在一个周期以内),(的面积相加起来总是零。JINANUniversityDigitalImageProcessing制作：刘晓翔暨南大学珠海学院《数字图像处理》2020/2/1610图像变换基础正余弦函数集的“正交”性实例0)3cos()2sin(2xxJINANUniversityDigitalImageProcessing制作：刘晓翔暨南大学珠海学院《数字图像处理》2020/2/1611图像变换基础哪些函数集是“正交”的呢？（2）在复变函数中，可以证明，复指数函数集也是一个完备的正交函数集。Znetjn,从某种意义上来讲，复指数函数与三角函数在本质上是一致的，欧拉公式揭示了二者之间的关系：sincosjej)01(jeJINANUniversityDigitalImageProcessing制作：刘晓翔暨南大学珠海学院《数字图像处理》2020/2/1612图像变换基础信号分解——概述信号分解是利用“化繁为简、化整为零”的思路，将一个复杂信号分解为一系列“简单”信号（或称基元信号）的特定组合（叠加）。问题1：怎样的信号是我们需要的“简单”信号？问题2：它们遵循什么样的组合规律？正交信号正、余弦三角函数复指数函数JINANUniversityDigitalImageProcessing制作：刘晓翔暨南大学珠海学院《数字图像处理》2020/2/1613图像变换基础信号分解为三角函数周期为T的信号f(t)，可以展开成三角函数（信号）的叠加：10))sin()cos(()(nnntnbtnaatf即：...)2cos()cos(...)2sin()sin()(21210tbtbtataatf上述展开式称为三角形式的傅里叶级数。其中，ω=2π/T是信号的角频率，an和bn为傅里叶系数。已知f(t)，傅里叶系数a0、an、bn如何确定呢？JINANUniversityDigitalImageProcessing制作：刘晓翔暨南大学珠海学院《数字图像处理》2020/2/1614图像变换基础傅里叶系数的确定如求ai，只需在展开式两边乘上cos(iωt)，然后周期区间内求积分，由于三角函数集的正交性，可以发现，等式的右边除了aicos(iωt)cos(iωt)这一项不为零，其它项均为零，从而能够求出系数ai。10))sin()cos(()(nnntnbtnaatfTiTdttiadttitf)(cos)cos()(210))sin()cos()cos()cos(()cos()cos()(nTnTnTTdttntibdttntiadttiadttitfTTTidttitfTdttidttitfa)cos()(2)(cos)cos()(2=0=0仅当n=i时不为0JINANUniversityDigitalImageProcessing制作：刘晓翔暨南大学珠海学院《数字图像处理》2020/2/1615图像变换基础傅里叶系数的确定（续）根据上述方法，可求得三角傅里叶系数：（2）余弦分量系数：（3）正弦分量系数：（1）直流分量系数（零频系数）：TdttfTa)(10TndttntfTa)cos()(2TndttntfTb)sin()(2JINANUniversityDigitalImageProcessing制作：刘晓翔暨南大学珠海学院《数字图像处理》2020/2/1616图像变换基础信号分解为复指数函数傅里叶系数Fn确可以按以下公式求得：若选用复指数正交函数集来进行傅里叶级数展开，则周期函数（信号）的展开形式为：ntjnneFtf)(ZndtetfTFTtjnn,)(1JINANUniversityDigitalImageProcessing制作：刘晓翔暨南大学珠海学院《数字图像处理》2020/2/1617图像变换基础“傅里叶变换”将图像变成怎样的空间？我们之前所讨论的、大家所熟悉的图像空间为“空域”空间。经过傅里叶变换，则可获得图像的“频域”空间。√那么什么是“频域”呢？？？这个就要从信号的分解开始说起。。。一个信号可以用许多简单的信号“加起来”来表示如何用所谓的“正交性”来找出这些简单信号如何计算叠加的系数JINANUniversityDigitalImageProcessing制作：刘晓翔暨南大学珠海学院《数字图像处理》2020/2/1618图像变换基础“频域”空间举例假设有这样的一个信号f(t)，它可以用下列正弦波表示：tAtAtAtAtf3221100sin3sinsinsin)(有幅度A、频率ω四组对：),(),,(),,(),,(33221100AAAA我们可以认为这四组数对唯一确定了信号f(t)，也就是说，这四组数对是信号f(t)的另一种表达方式。它们所构成的空间就是“频域”空间，与时（空）域空间完全等价。JINANUniversityDigitalImageProcessing制作：刘晓翔暨南大学珠海学院《数字图像处理》2020/2/1619图像变换基础“频域”空间（续）tAtAtAtAtf3221100sin3sinsinsin)(0tf时域空间ω),(),,(),,(),,(33221100AAAA132A频域空间JINANUniversityDigitalImageProcessing制作：刘晓翔暨南大学珠海学院《数字图像处理》2020/2/1620傅里叶变换主要内容图像变换基础傅里叶变换定义傅里叶变换的性质快速傅里叶变换JINANUniversityDigitalImageProcessing制作：刘晓翔暨南大学珠海学院《数字图像处理》2020/2/1621傅里叶变换定义一维连续傅里叶变换及反变换单变量连续函数f(x)的傅里叶变换F(μ)定义为：dxexfFxj2)()(其中x为时域变量，μ为频域变量，j2=-1给定F(μ)，通过傅里叶反变换可以得到f(x)：deFxfxj2)()(JINANUniversityDigitalImageProcessing制作：刘晓翔暨南大学珠海学院《数字图像处理》2020/2/1622傅里叶变换定义说明傅立叶变换中的变量μ通常称为频率变量，这个名称源于欧拉公式中的指数项：)2sin()2cos(2xjxexj如果把傅立叶变换的积分解释为离散项的和，则易推出F(μ)是一组sin和cos函数项的无限和，其中μ的每个值决定了其相应cos、sin函数的频率。JINANUniversityDigitalImageProcessing制作：刘晓翔暨南大学珠海学院《数字图像处理》2020/2/1623傅里叶变换定义幅度、相位、能量（功率）谱由上公式可以看出，傅里叶变换结果是一个复数表达式，设F(μ)的实部为R(μ)，虚部为I(μ)，则：)()()(jIRF复指数形式：)(|)(|)(jeFF幅度谱：)()(|)(|22IRF相位谱：)()(arctan)(RI能量谱：)()(|)(|)(222IRFPJINANUniversityDigitalImageProcessing制作：刘晓翔暨南大学珠海学院《数字图像处理》2020/2/1624傅里叶变换定义二维连续傅里叶变换及反变换二维连续函数f(x,y)的傅里叶变换F(μ,ν)定义为：其中x,y为时域变量，μ,ν为频域变量，j2=-1给定F(μ,ν)，通过傅里叶反变换可以得到f(x,y)：dydxeyxfFyxj)(2),(),(ddeFyxfyxj)(2),(),(JINANUn