函数的单调性和极值

3.4.1、函数单调性的判定法3.4.2、函数的极值及其求法3.4函数的单调性和极值3.4.3、最大值与最小值问题3.4.1、函数单调性的判定法xyoab()yfxABxyoabAB()yfx如图所示单调递增曲线上各点处的切线的斜率是非负的单调递减曲线上各点处的切线的斜率是非正的若设函数(()0),fx(递减).证:不妨设任取由拉格朗日中值定理得0故定理3.4.1.例1.确定函数的单调区间.解:2()61812fxxx6(1)(2)xx令()0,fx得1,2xxx()fx()fx(,1)2001(1,2)(2,)21故的单调增区间为(,1],[2,);的单调减区间为[1,2].12xoy12返回yxo说明:1)单调区间的分界点除驻点外,也有可能是导数不存在的点.例如,32yx2)如果函数在某驻点两边导数同号,则函数的单调性不改变.例如,yox3yx讨论函数的单调性可按下列步骤进行:(1)确定连续函数()yfx,0fxfxfx用方程的根及不存在的点，的定义域;(2)求出(3)判断fx在每个子区间内的符号,就可以确定出函数()yfx的单调区间.将定义域划分成若干子区间；11121x例2.证明时,成立不等式，时上单调增加，从而当在因此00,0fxfxxf证:令1()11,2fxxx11()221fxx则03.4.2、函数的极值及其求法定义3.4.1:在其中当时,(1)称为函数的极大值;(2)称为函数的极小值.极大值点与极小值点统称为极值点，极大值与极小值统称为极值。注意:1x4x2x5xxaboy14,xx为极大值点25,xx为极小值点3x3x不是极值点函数的极值是函数的局部性质.32()29123fxxxx例如(例1)极大值点,是极大值是极小值极小值点,12xoy12定理3.4.2(第一充分条件)时，00,xxx时，而00,xxx()0,fx,)(0的某邻域内连续在设函数xxf且在空心邻域内有导数．(1)如果()0,fx0xx在则xf处取得极大值。时，00,xxx时，而00,xxx()0,fx(2)如果()0,fx0xx在则xf处取得极小值。yxo0xxyo0x时，,00xUx,的符号保持不变xf(3)如果0xx在则xf处没有极值。xyo0xxyo0x求极值的步骤:);()1(xf求导数(2)()0();fxfx求出方程的根和不存在的点(3)(),fx检查在驻点或不可导点的左右的正负号(4).求极值还是极小值；若异号，判断是极大值例3.求函数的极值.解:1)求导数23()fxx132(1)3xx32553xx2)求极值可疑点令()0,fx得12;5x20x为不可导点。3)列表判别x)(xf)(xf05200334525是极大值点，其极大值为是极小值点，其极小值为),0(52)0,(),(52定理3.4.3(第二充分条件)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.证:(1)fx0()xxfxfxxx000()()limxxfxxx00()limfx0()0,由知存在0,,00时当xx时，故当00xxxfx()0;时，当00xxxfx()0,0x0x0x由第一充分条件知fxx0().在取极大值(2)类似可证.返回例4.求函数的极值.解:1)求导数22()6(1),fxxx22()6(1)(51)fxxx2)求驻点令()0,fx得驻点1231,0,1xxx3)判别因(0)60,f故为极小值;因(1)(1)0,ff故需用第一充分条件判别.1xy1试问为何值时,a1()sinsin33fxaxx23x在时取得极值,还是极小值。解:()fx由题意应有2()3f2a又()fx所以为极大值2()33f例5.22cos()cos3()33a2sin3sin3,xx求出该极值,并指出它是极大3.4.3、最大值与最小值问题则其最值只能在端点、导数不存在的点或驻点处取得.求函数最值的方法:(1)求在内的最值可疑点(各驻点或不可导点)(2)最大值maxM(),fa()fb最小值情形1:104x502x104x502x例6.求函数在闭区间上的最大值和最小值.解:显然32(2912),xxx322912,xxx()fx261812xx261812xx1230,1,2xxx故函数在0x取最小值0;在1x及52取最大值5.6(1)(2),xx6(1)(2),xx当在区间内可导且只有一个驻点时,若在此点取极大值,则也是最大值.(小)(小)情形2:情形3:在应用问题中,往往根据问题的性质就可以判断可导函数()fx0,x时确有最大值或最小值,而且一定在定义区间内部取得,这时如果函数在区间内部只有一个驻点就可以判定是最大值或最小值.0()fx例7.把一根直径为d的圆木锯成矩形梁,问矩形截面的高h和宽b应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?解:由力学知识知矩形梁的抗弯截面模量为hbd221(),6bdb(0,)bd令221(3)6wdb得13bd此时::3:2:1dhb22hdb23d即由实际意义可知,所求最值存在且在区间内部取得,而在区间内部只有一个驻点,故时最大。13bd内容小结2.函数的极值(1)极值可疑点:驻点和导数不存在的点(2)第一充分条件过由正变负为极大值过由负变正为极小值()0,fxxI在I上单调递增()0,fxxI在I上单调递减1.可导函数单调性的判别(3)第二充分条件为极大值为极小值最值点应在端点、导数不存在的点和驻点上找;应用题可根据问题的实际意义判别.3.连续函数的最值思考与练习1.设2()()lim1,()xafxfaxa则在点a处().()()Afx的导数存在,()0fa且；()()Bfx取得极大值;()()Cfx取得极小值;()()Dfx的导数不存在.B提示:利用极限的保号性.2.设()fx在0x的某邻域内连续,且(0)0,f0()lim2,1cosxfxx处则在点0x()().fx(A)不可导;(B)可导,且(0)0;f(C)取得极大值;(D)取得极小值.D提示:利用极限的保号性.3.设()yfx是方程240yyy的一个解,若0()0,fx且0()0,fx则()fx在0()x(A)取得极大值;(B)取得极小值;(C)某邻域内单调增加;(D)某邻域内单调减少.提示:00()4()0fxfxA