函数的极值,最大值与最小值

第四节函数的极值和最大、最小值一、函数的极值及其求法二、最大值最小值问题一、函数的极值定义设函数f(x)在x0的某邻域内有定义,如果对于该邻域内任何异于x0的x都有极大值、极小值统称为极值.极大值点、极小值点统称为极值点.)()(0xfxf)(0xf(1)成立,则称为f(x)的0x极大值,称为f(x)的极大值点；)()(0xfxf)(0xf(2)成立,则称为f(x)的0x极小值,称为f(x)的极小值点；1.极值的定义注意:3x1x4x2x5xxaboy41,xx为极大点52,xx为极小点3x不是极值点2)对常见函数,极值可能出现在导数为0或不存在的点上.1)函数的极值是函数的局部性质.2.极值存在的必要条件定理1设函数f(x)在点x0处可导,且在x0处取得极值,那么f(x0)0.证明:以f(x0)是极大值来证明.因为f(x0)是极大值,故在x0的某邻域内,对任意的都有0xx),()(0xfxf所以,0xx当时,,0)()(00xxxfxf所以,0)()(lim)(0000xxxfxfxfxx当时,0xx,0)()(00xxxfxf所以,0)()(lim)(0000xxxfxfxfxx使导数f(x)为零的点(方程f(x)0的实根)称为函数f(x)的驻点.3x1x4x2x5xxaboy思考:极值点是否一定是驻点?驻点是否一定是极值点?3.极值的判别法定理2(第一充分条件)设函数y=f(x)在点x0连续,且在x0的某邻域内可导(点x0可除外).如果在该邻域内，0)(,0)()1(00xfxxxfxx时,当时,当，0)(,,0)(,)2(00xfxxxfxx时当时当如果f(x)在x0的两侧保持相同符号,则x0不是f(x)的极值点.的极大值点.为)(0xfx则的极小值点.为则)(0xfx，0)(,0)()1(00xfxxxfxx时,当时,当，0)(,,0)(,)2(00xfxxxfxx时当时当的极大值点.为)(0xfx则的极小值点.为则)(0xfx因此可知x0为f(x)的极大值点.同理可说明情形(2).说明:对于情形(1)，由判别定理可知,0xx当时,f(x)单调增加,0xx当时,f(x)单调减少,的符号,依定理判定xi是否为f(x)的),,2,1(kixi)(xf判定函数极值一般步骤).()1(xf求不存在的点的所有驻点和找出)()()2(xfxf.,,1kxx(3)判定每个驻点和导数不存在的点两侧(在xi较小的邻域内)极值点..683234与极值点值的极求xxxy，，得驻点令1,0021xxy可知x=0为y的极小值点,极小值为0.xxxy12241223例1.).,(所给的函数定义域为解:.)1(122xx非极值极小0+0+0–),1(y1(0,1)0xy)0,(.),(内存在在y例1求函数32)1()4()(xxxf的极值例2.(1)f(x)在()内连续除x1外处解:313)1(5)(xxxf(3)列表判断x1为不可导点得驻点x1(2)令f(x)0可导且(1)1(11)1(1)不可导0xf(x)f(x)↗0↘↗343(4)极大值为f(1)0极小值为343)1(f定理3(第二充分条件)设函数f(x)在点x0处具有二阶导数,且，的极大值点为，时当)(0)()1(00xfxxf,0)(,0)(00xfxf的极小值点.为时，当)(0)()2(00xfxxf则证:(1))(0xf00)()(lim0xxxfxfxx0)(lim0xxxfxx,0)(0知由xf存在x0的某邻域,使时，故当0xx;0)(xf,0时当xx,0)(xf由判别法1知.)(0取极大值在xxf同理证(2).说明:当二阶导数易求,且驻点x0处的二阶导数时,利用判定极值的第二充分条件判定驻点是否为极值点比较方便.0()0fx0x但当f(x0)0时只能用方法1判断.例3.求函数f(x)(x21)31的极值解:f(x)6x(x21)2令f(x)0求得驻点x11x20x31f(x)6(x21)(5x21)因为f(0)60所以f(x)在x0处取得极小值极小值为f(0)0无法用定理3-8判别在1的左右邻域内f(x)0所以f(x)在1处没有极值同理,f(x)在1处也没极值因为f(1)f(1)0二、最大值最小值问题怎样求函数的最大值和最小值?x1x2x3x4x5Mm观察与思考：观察下面的函数在哪些点有可能成为最大值或最小值点?其最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中的最小者极值与最值的关系:x1x2x3x4x5Mm闭区间上的连续函数其最大值和最小值只可能在区间端点及区间内的极值点处取得.函数在闭区间[ab]上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中的最大者;最大值和最小值的求法:(1)求出函数f(x)在(ab)内的驻点和不可导点设这些点为x1x2xn;(2)计算函数值f(a)f(x1)f(xn)f(b);x1x2x3x4x5Mm(3)判断:最大者是函数f(x)在[ab]上的最大值最小者是函数f(x)在[ab]上的最小值14123223xxxy]4,3[),1)(2(612662xxxxy,0y.1,221xx,142)4(,7)1(,34)2(,23)3(ffff,142)4()}4(),1(),2(),3(max{fffffM.7)1()}4(),1(),2(),3(min{fffffm例4.求在上的最大值与最小值.解:令得驻点因为所以例5.工厂C与铁路线的垂直距离AC为20kmA点到火车站B的距离为100km欲修一条从工厂到铁路的公路CD已知铁路与公路每公里运费之比为3:5为使火车站B与工厂C间的运费最省问D点应选在何处？DC20kmAB100km解:x2400xCD设ADx(km)y5kCD3kDB(k是某个正数)B与C间的运费为y则DB=100x即)100(340052xkxky(0x100)由)34005(2xxky0得x15其中以y|x15380k为最小因此当AD15km时运费最省由于y|x0400ky|x15380k2100511500|kyx由)34005(2xxky0得x15即)100(340052xkxky(0x100)x4.18.1解:设观察者与墙的距离为x(m),则x8.14.1arctan,8.1arctanx),0(x222.32.3x228.18.1x)8.1)(2.3()76.5(4.122222xxx令,0得驻点),0(4.2x根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在,驻点又唯一,因此他站在距墙2.4m处看图最清楚.例6.一张1.4m高的图片挂在墙上,它的底边高于观察者的眼睛1.8m,问观察者在距墙多远处看图才最清楚(视角最大)?特殊情况下的最大值与最小值:若f(x)在一区间(有限或无限开或闭)内可导且有且只有一个驻点x0则：当f(x0)是极大值时f(x0)就是f(x)在该区间上的最大值说明当f(x0)是极小值时f(x0)就是f(x)在该区区间上的最小值练习题最大在，求设上的]3,0[)()2(321)(32xfxxf.)(2,)2(94)(31不存在处在xfxxxf，31)3(f所以:f(x)在[0,3]上的最大值为f(2)=1..4321)0(3f1.所给函数为[0,3]上的连续函数.解:值与最小值.，34321)0(f，1)2(f最小值为.638234的极值与极值点求xxxy.3010321xxxy，，得驻点令xxxy128423.1216122xxy2.所给的函数定义域为),,(解:).3)(1(4xxx,016121612|1xy,012|0xy,048|3xy极小相应为函数的极小值点的可知,11x.37|1xy值为值为极相应为函数的极大值点大的，02x.0|0xy为函数的极33x.45|3xy，相应极小值为小值点