山东大学 量子力学考研辅导(4)

1第六部分自旋及全同粒子体系一、学习要点1、电子具有自旋角动量在任一方向上的分量值为，且SSˆ,ˆ22222243ˆˆˆˆzyxSSSS电子具有自旋磁矩自旋分量满足角动量对易关系SceMsˆˆyxzxzyzyxSiSSSiSSSiSSˆ]ˆ,ˆ[,ˆ]ˆ,ˆ[,ˆ]ˆ,ˆ[轨道磁矩zzLceMˆ2ˆ22、在表象中，根据，有zSˆˆ2ˆS1001,00,0110zyxii称为Pauli矩阵的三个分量，并满足对易关系yxzxzyzyxiii2],[,2],[,2],[以及反对易关系0,0,0zxxzyzzyxyyx和平方为1关系1222zyx33、在表象中，的本征值与本征态为zSˆzSˆ10,2;01,2zzSS但1121,2;1121,2xxSSiSiSyy121,2;121,2问题：如果在某一态中取确定值和是否取确定值？为什么？如何理解和只能取两个值？xSyS2/zSyxSS,zS2/测值只能测到此二值，别的值测不到。4567而自旋在任方向上的分量及其本征值、本征态为（见习题8.2）Sˆ),(nnSˆzyxnSSSnSSˆcosˆsinsinˆcossinˆˆcossinsincos2iiee;2cos2sin,2;2sin2cos,22222iiiieeseesnn84、在引入自旋后，电子的波函数表现为一列矩阵----二分量波函数),,(tsrz),2,(),2,(),(),(),,(21tsrtsrtrtrtsrzzz其归一化条件为1),,(),,(dtsrtsrzz5、满足S-方程),,(tsrz),,(),,(ˆ),,(tsrtsrHtsrtizzz9或),(),(ˆˆˆˆ),(),(212221121121trtrHHHHtrtrti2|,1|)2,1,(|),ˆ,(ˆ|ˆjijtSrHiHij如果不含，则)ˆ,(ˆˆSrt),(),,(ziEtzsretsr其中满足定态方程),(zsr),(),(ˆzzsrEsr或)()()()(ˆˆˆˆ212122211211rrErrHHHH问题：此处取什么表象？10第二式具有如下形式如果)ˆ(ˆ)(ˆ),(ˆSHrHSrHsr则srzzEEEsrsr),()(),(其中满足方程分别与)()(zSr)()()(ˆrErrHrr)()()ˆ(ˆzszssEsSH212122211211ccEccHHHHs其中)2,1,(|)ˆ(ˆ|ˆjijSHiHSij116、电子的总角动量SLJˆˆˆSLLJˆˆ243ˆˆ222)43ˆˆ(21ˆˆ222LJSL故与相互对易，它们具有共同的本征函数222ˆ,ˆ,ˆJLSzJˆ7、原子中电子具有轨道磁矩和自旋磁矩，故在均匀磁场中的势能为BBMBMHSLˆˆˆ其中SceMLceMSLˆˆ,ˆ2ˆHˆ是产生原子光谱塞曼效应的原因。121s8、的自旋分量表象中的矩阵为zzyxSSSSˆˆ,ˆ,ˆ在与0101010102ˆxS100000001ˆzS000002ˆiiiiSy希望能记住这个表达式，与2维的同等重要！1312121,;10121,0;12121,321xxxxxxSSS12121,;10121,0;12121,321iSSiSyyyyyy其中的本征值及对应的本征态矢为yxSSˆ,ˆ14)2()1(11对全同电子的自旋波函数来说，它本身既可以是交换对称的，也可以是交换反对称的。取决于位置空间波函数的对称性。)1()2()2()1(2100)1()2()2()1(2110)2()1(11S=1，自旋三重态S=0，自旋单态9、两个的自旋耦合成，总自旋的体系，的共同本征态为2/1s21ˆˆSS,21ˆˆˆSSSzSSˆˆ2与SSm|0,1s则有1510、全同性原理：全同粒子体系的状态对交换其中任一对粒子保持不变。全同性原理对全同粒子体系波函数的要求：N由个全同粒子组成的体系波函数记为其中表示第个粒子的全部坐标。引入交换算符，它对的作用是),,,(21Nqqqiziisrq,iijPˆ),,,,,(),,,,,(ˆ,1,1NijNjiijqqqqqqqqP16对Bose子体系，波函数必须交换对称；对Fermi子体系，波函数必须使之成为反对称。根据全同性原理，全同粒子体系波函数应该是交换算符的本征函数，本征值为。实验表明：对于自旋的全同粒子（玻色子）体系，；对于自旋的全同粒子（费米子）体系。ijPˆ1,2,1,0s1,2/3,2/1s117另外注意几个基本概念：①自旋角动量算符②自旋角动量量子数③自旋磁量子数④自旋角动量平方算符本征值为常数⑤自旋角动量分量算符本征值为Sˆs2/1s对电子：ssssms,1,,1,2ˆS2)1(sszSˆsm量子数与本征值不是一回事！18二、例题这部分内容综合性较强，但做的题目又较少，可能比较生疏。特别是当涉及到全同粒子体系时更是这样。6.1电子偶素（束缚态）类似于氢原子，只是用一个正电子代替质子作为核。在非相对论近似下，其能量和波函数同氢原子类似。今设在电子偶素的基态（s态）里，存在一种接触型自旋交换作用，ee3/)(ˆˆ8ˆ3rMMHep19ppSmceMˆ)/(ˆ其中与分别是正负电子的自旋磁矩。利用一级微扰论计算此基态中自旋单态与三重态之间的能量差，决定哪一能量最低。已知氢原子基态波函数eeSmceMˆ)/(ˆ.1371,,1)(2223100ceeaearar分析：进行微扰论计算时，先看所讨论能级是否简并。对氢原子基态，位置空间部分是非简并的，但自旋空间部分，电子偶素有四个自旋态，故是存在简并的。另外注意，没有外磁场时，若不考虑旋-轨耦合，自旋对没有贡献。可以看作微扰。'ˆH0ˆH20解：由epepepepSSSSSSSSS2232)(22222)()23ˆ(34)(ˆˆ38)(ˆˆ38'ˆ32222232223rScmerSScmerMMHepep所以其中是电子偶素的总自旋，不考虑时，基态能量，其中，为电子质量，是四度简并的。相应的四个波函数分别为epSSSˆˆˆ'ˆHaeEE2/21)0(222meam)0(E00|)(,11|)(10|)(,11|)(1004100310021001rrrr21微扰矩阵元jiHHjiij,'ˆ'd原因：四个自旋态都是的本征态，从而也是的本征态。这样简并微扰问题就可以用非简并微扰方法来处理，且四个是零级近似波函数。对自旋三重态，一级修正能量都相同2ˆS'ˆHi对自旋单态3222221002222223210022211)1(III32|)0(|3211|23ˆ|11d)(|)(|34d'ˆacmecmeSrrcmeHE)()23ˆ(34'ˆ322222rScmeH但故0'ijH223222221002222223210022244)1(I2|)0(|200|23ˆ|00d)(|)(|34d'ˆacmecmeSrrcmeHE自旋三重态与自旋单态能量之差32222)1(I)1(III38acmeEEE222mea将代入上式得MeVmcmccemccmeE10210424224281083.41046.91371333显然，自旋三重态能量高于自旋单态能量。﹟236.3均匀磁场中电子偶素的哈密顿量为)(ˆˆ'ˆ2ˆˆˆˆ212122200zzFBJHreHHHH其中是实常数，B是磁场强度，下标1与2分别代表电子与正电子，是泡利矩阵。当2/()/2,eeeemmmmJF与ˆ什么？的本征函数与本征值是时什么？的本征函数与本征值是时HBHBˆ02ˆ01，）（，）（分析：看哈密顿算符的形式，考虑电子偶素的自旋24解：（1）当磁场为0时，由题目所给条件)(ˆˆ'ˆ2121zzFBJH可知2222122123ˆ2ˆˆ4ˆˆ'ˆSJSSJJH对电子偶素来说，的共同自旋波函数为)ˆ,ˆ(2zSS)2()1(11)1()2()2()1(2100)1()2()2()1(2110)2()1(11这当然是的本征函数，其本征值分别对应为'ˆHJJJJ3,,,25（2）当磁场不为0时)(ˆˆ'ˆ2121zzFBJH)(223ˆ221222zzSSFBSJ令4|00,3|10,2|11,1|11已经知道，上述四个自旋波函数是的本征函数。2ˆS但是否的本征函数？需要验证一下。12ˆˆ(,)zzSS)2()1(2)2()1(ˆ1|ˆ11zzSS)2()1(2)2()1(ˆ1|ˆ22zzSS01|)ˆˆ(21zzSS同理0)2()1()ˆˆ(2|)ˆˆ(2121zzzzSSSS故26)]1()2()2()1([21ˆ3|ˆ11zzSS但)]1()2()2()1([2200|24|2同理可得4|23|ˆ2zS这样4|3|)ˆˆ(21zzSS故态是属于本征值0的本征函数2|,1|zzSS21ˆˆ同理可得3|4|)ˆˆ(21zzSS但可以通过的线性组合构成的本征态4|,3|'ˆH即可以令从而是属于本征值的本征函数'ˆH2|,1|JEE212||,1||21相应的本征函数记为所以不是从而也不是的本征态。4|,3|zzSS21ˆˆ'ˆH274|3||21cc00|10|21cc212122211211'ˆ'ˆ'ˆ'ˆccEccHHHH并满足方程其中3|'ˆ|3'ˆ11HH4|32FBJ22122232ˆˆˆ3||33||32zzJFBSSSJ同理可证JHFBHH3'ˆ,2'ˆ'ˆ222112将上述微扰矩阵元代入系数所满足的方程，有28032221