2013年福建高考理科数学试卷(带详解)

2013年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学（理工农医类）一．选择题1．已知复数z的共轭复数12iz（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【测量目标】复平面【考查方式】给出复数z的共轭复数，判断z在复平面内所在的象限.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】由12iz，得z＝1－2i，故复数z对应的点(1，－2)在第四象限．2．已知集合1,Aa,1,2,3B,则“3a”是“AB”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【测量目标】充分、必要条件.【考查方式】给出元素与集合间的关系两个命题，判断两个命题之间的关系.【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】若a＝3，则A＝{1,3}B，故a＝3是AB的充分条件；(步骤1)而若AB，则a不一定为3，当a＝2时，也有AB．故a＝3不是AB的必要条件．故选A．（步骤2）3．双曲线2214xy的顶点到其渐近线的距离等于（）A．25B．45C．255D．455【测量目标】双曲线的简单几何性质.【考查方式】给出双曲线的方程，判断顶点到其渐近线的距离.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】双曲线24x－y2＝1的顶点为(±2,0)，渐近线方程为12yx，（步骤1）即x－2y＝0和x＋2y＝0.故其顶点到渐近线的距离|2|2255145d.（步骤2）4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A．588B．480C．450D．120第4题图【测量目标】频率分布直方图.【考查方式】给出频率分布直方图，判断一定范围内的样本容量.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】由频率分布直方图知40～60分的频率为(0.005＋0.015)×10＝0.2，故估计不少于60分的学生人数为600×(1－0.2)＝480.5．满足,1,0,1,2ab，且关于x的方程220axxb有实数解的有序数对(,)ab的个数为（）A．14B．13C．12D．10【测量目标】实系数一元二次方程.【考查方式】给出含参量系数的一元二次方程，判断方程有序数对的个数.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】a＝0时，方程变为2x＋b＝0，则b为－1,0,1,2都有解；（步骤1）a≠0时，若方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，则Δ＝22－4ab…0，即ab„1.（步骤2）当a＝－1时，b可取－1,0,1,2.当a＝1时，b可取－1,0,1.当a＝2时，b可取－1，0，故满足条件的有序对(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.（步骤3）6．阅读如图所示的程序框图，若输入的10k，则该算法的功能是（）A．计算数列12n的前10项和B．计算数列12n的前9项和C．计算数列21n的前10项和D．计算数列21n的前9项和第6题图【测量目标】循环结构程序框图，等比数列的通项.【考查方式】给出程序框图的输入值，判断给出的程序框图的功能.【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】当k＝10时，执行程序框图如下：S＝0，i＝1；S＝1，i＝2；S＝1＋2，i＝3；S＝1＋2＋22，i＝4；…S＝1＋2＋22＋…＋28，i＝10；S＝1＋2＋22＋…＋29，i＝11.7．在四边形ABCD中，(1,2)AC，(4,2)BD，则四边形的面积为（）A．5B．25C．5D．10【测量目标】向量的数量积运算.【考查方式】给出四边形两条边的向量坐标，判断四边形的面积.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】∵ACBD＝1×(－4)＋2×2＝0，∴AC⊥BD.（步骤1）又|AC|＝2125，|BD|＝224216425，S四边形ABCD＝12|AC||BD|＝5.（步骤2）8．设函数()fx的定义域为R，00(0)xx是()fx的极大值点，以下结论一定正确的是（）A．0,()()xfxfxR„B．0x是()fx的极小值点C．0x是()fx的极小值点D．0x是()fx的极小值点【测量目标】函数单调性的综合应用.【考查方式】给出函数()fx的极值点0x0(0)x，判断()fx及()fx的极值点.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】选项A，由极大值的定义知错误；（步骤1）对于选项B，函数f(x)与f(－x)的图象关于y轴对称，－x0应是f(－x)的极大值点，故不正确；（步骤2）对于C选项，函数f(x)与－f(x)图象关于x轴对称，x0应是－f(x)的极小值点，故不正确；（步骤3）而对于选项D，函数f(x)与－f(－x)的图象关于原点成中心对称，故正确．（步骤4）9．已知等比数列{}na的公比为q，记(1)1(1)2(1)...,nmnmnmnmbaaa(1)1(1)2(1)...(,),nmnmnmnmcaaamn*N则以下结论一定正确的是（）A．数列{}nb为等差数列，公差为mqB．数列{}nb为等比数列，公比为2mqC．数列{}nc为等比数列，公比为2mqD．数列{}nc为等比数列，公比为mmq【测量目标】等差、等比数列的性质，通项与求和.【考查方式】给出由等比数列{}na的m项组成的数列{}nb，{}nc，判断它们的性质【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】∵{an}是等比数列，∴1mnmmnmaa=(1)mnmmnmmqq，（步骤1）∴1nncc＝1211121mnmnmnmmnmnmnmaaaaaa……＝(qm)m＝2mq.（步骤2）10．设S，T，是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数()yfx满足：(i){()|};(ii)TfxxS对任意12,,xxS当12xx时，恒有12()()fxfx，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是（）A．,AB*NNB．{|13},{|8010}AxxBxxx或剟?C．{|01},AxxBRD．,ABZQ【测量目标】函数的图象与性质.【考查方式】定义集合间的一种新关系，判断给出的集合是否符合.【难易程度】较难【参考答案】D【试题解析】由题意(1)可知，S为函数y＝f(x)的定义域，T为函数y＝f(x)的值域．由(2)可知，函数y＝f(x)在定义域内单调递增，对于A，可构造函数y＝x－1，x∈N*，y∈N，满足条件；（步骤1）对于B，构造函数8,1,51,13,2xyxx„满足条件；（步骤2）对于C，构造函数ππtan22yx，x∈(0,1)，满足条件；（步骤3）对于D，无法构造函数其定义域为Z，值域为Q且递增的函数，故选D．（步骤4）二．填空题11．利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a，则时间“310a”发生的概率为________【测量目标】几何概型.【考查方式】利用几何概型求解事件概率.【难易程度】容易【参考答案】23【试题解析】由3a－1＞0得13a，由几何概型知112313P.12．已知某一多面体内接于一个简单组合体，如果该组合体的正视图．侧视图．俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_______________第12题图【测量目标】由三视图求几何体的表面积【考查方式】给出一个几何体的三视图，判断此几何体图形并求球的表面积.【难易程度】容易【参考答案】12π【试题解析】由题意知该几何体是一个正方体内接于球构成的组合体，球的直径222222212r，所以3r，故该球的表面积为S球＝4πr2＝4π×3＝12π.13．如图ABC△中，已知点D在BC边上，ADAC，22sin,32,33BACABAD则BD的长为_______________第13题图【测量目标】诱导公式，余弦定理.【考查方式】给出一个三角形的边角函数值，利用解三角形求线段长.【难易程度】中等【参考答案】3【试题解析】∵AD⊥AC，∴∠DAC＝π2.（步骤1）∵sin∠BAC＝223，∴π22sin23BAD，∴cos∠BAD＝223.（步骤2）由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2ABADcos∠BAD＝2(32)＋32－2×32×3×223＝3.∴BD＝3.（步骤3）14．椭圆2222:1(0)xyabab的左．右焦点分别为12,FF，焦距为2c，若直线3()yxc与椭圆的一个交点M满足12212MFFMFF，则该椭圆的离心率等于__________【测量目标】直线与椭圆的位置关系，椭圆的简单几何性质.【考查方式】给出直线与椭圆的交点与椭圆两焦点形成的角的关系，及椭圆的焦距，判断椭圆离心率.【难易程度】中等【参考答案】31【试题解析】由直线y＝3(x＋c)知其倾斜角为60°，由题意知∠MF1F2＝60°，则∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°.故|MF1|＝c，|MF2|＝3c．（步骤1）又|MF1|＋|MF2|＝2a，∴(3＋1)c＝2a，即23131e.（步骤2）15．当,1xxR时，有如下表达式:211.......1nxxxx两边同时积分得：111112222220000011.......1ndxxdxxdxxdxdxx从而得到如下等式：23111111111()()...()...ln2.2223212nn请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：0122311111111CC()C()+C()2223212nnnnnnn…【测量目标】微积分基本定理求定积分，二项式定理.【考查方式】根据给出的运用定积分计算的技巧，求解等式的值.【难易程度】较难【参考答案】113[()1]12nn【试题解析】由0122CCCCnnnnnnxxx…＝(1＋x)n，两边同时积分得：1111012222220000C1CCCnnnnnndxxdxxdxxdx…120(1)nxdx，2310121111111CCCC2223212nnnnnnn…＝111210111113111112112nnnxnnnn.三．解答题16．（本小题满分13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲．乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中将可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中将可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为,XY，求3X„的概率；（2）若小明,小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学期望较大？【测量目标】古典概型，离散型随机变量的分布列和期望.【考查方式】给出实际的数学模型，利用求解对立事件的概率及离散型随机变量的分布，求解概率及期望.【难易程度】容易【试题解析】解法一：(1)由已知得小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X„3”的事件为A，则事件A的对立事件为“X＝5”，（步骤1）因为P(X＝5)＝2243515，所以P(A)＝1－P(X＝5)＝1115，即这2人的累计得分X„3的概率为1115.（步骤2）(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方