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第1页共22页第七章应力状态分析与强度理论内容提要一、应力状态分析Ⅰ、构件内某点处各个方向上应力的集合，称为该点处的应力状态。Ⅱ、应力状态分析是通过围绕构件内一点截取出的单元体(如图7-1)进行分析的，单元体的三个边长同时趋于零，即单元体是无限小的，单元体代表构件中的一个点。因此，单元体的每个面上的应力均匀分布，且互相平行面上相应的应力大小相等方向相反。Ⅲ、平面应力状态分析1、解析法外法线为z的面(称为z面)上没有应力，通常为平面应力状态(图7-2a)，图7-2b为其投影图，正应力仍以拉应力为正，压应力为负；切应力绕单元体内任一点错动针错动为正，反之为负。由x方向逆时针转至斜截面外法线n的为正，反之为负(图7-2d)。当已知x、x、y、y时，通过单元体的ebf部分力(应力乘以相应微面积)的平衡条件，求出、(千万不能用应力平衡条件，因为应力是分布内力的集度，而不是力)的结果为：cos2sin222xyxyx(7-1)sin2cos22xyx(7-2)2、应力圆▲已知x、x、y、y，且xy。求、(图7－3a)，其作法为，由x面上的应力x、x确定xD点，由y面上的应力y、y确定yD点，xD和yD的连线交轴于C点，以C为圆心，xCD(或yCD)为半径画圆，由xCD逆时针旋转2至CD，D点横坐xxyyxyydxdydzx71图xxyyxyydxdydzx71图72图abcd()axxxyyyxyyzefabcd()axxxyyyxyyzefyxntdAcosdAsindAx()cxefyyxntdAcosdAsindAx()cxefy()dxnn()dxnnxnnyexyxyxxxyyfabcdn()byexyxyxxxyyfabcdn()b第2页共22页标为，纵坐标为。如图7-3b所示。应力圆的圆心为C(2xy，0)，半径为22xyxR。▲应力圆上点的坐标和单元体截面上的应力一一对应，称为点面对应关系。应力圆上两点间圆弧的圆心角为2，单元体上相应两截面法外的夹角为，且转向一致，称为两倍角转向一致关系。▲切应力等于零的平面为主平面，主平面上的正应力为主应力。可以证明一般情况下单元体存在三个主应力，按其代数值排列顺序为123123且(7-3)▲图(7-3b)所示应力圆上1A、2A的切应力等于零，则1OA、2OA为图(7-3a)所示单元体的主应力。由应力圆可见：2211x2222x+22+22xyxyxyxyOAOCCAOAOCCA(7-4)按主应力顺序排列为1，2，30应注意以上主应力排列顺序，是针对(图7-3a)所示单元体的。一般情况下，应先由(7-4)式计算和，连同一个为零的主应力，按其代数值进行排序。▲由(7-4)式和(7-1)可得1290xy(7-5)单元体上两上互相垂直截面上的正应力之和等于常量。▲主平面方位由图7-3b所示的应力圆，可见02tan2xxy(7-6)73图()cyxyxxy012()cyxyxxy012yxyxxy012CD2021B2BExDyDyyyx()bCD2021B2BExDyDyyyxCD2021B2BExDyDyyyx()byexyxyxxxyyfn()axyyexyxyxxxyyfn()axy第3页共22页02是由xCD顺时针旋转至1CA的，在单元上由x顺时针转0确定1方向，2垂直于1，主平面方位如(图7-3c)所示。Ⅳ、三向应力状态的应力圆▲在图(7-4a)中，与主平面1、2和3垂直的任一斜截面上的应力，分别由1和2、2和3及1和3所决定的应力圆上点的坐标表示，和三个主平面都斜交的任一斜截面efg的应力用三个应力圆所围成的阴影区内某点D的坐标来表示(图7-4b)。▲三个应力圆的半径为12122，23232，13132分别表示与主面平3、1和2垂直的斜截面上的最大切应力，而13也是单元体所有截面上的最大切应力，即13max2(7-7)max的作用面与主平面2垂直，与1和3分别成45o面(图7-4a，c)。▲应力状态的分类单向应力状态——三个主应力中两个主应力为零；两向(平面)应力状态——三个主应力中有一个主应力为零；三向应力状态——三个主应力均不为零。单向应力状态称为简单应力状态，两向和三向应力状态称为复杂应力状态。二、广义胡克定律(各向同性材料，在小变形、线弹性情况下应力和应变之间的关系)Ⅰ、广义胡克定律1、三向应力状态2133abcdefg()a2133abcdefg()a1O1A3A322ACmaxD()b1O1A3A322ACmaxD()b()c453max12()c453max1274图第4页共22页112322313312121212EEE(7-8)2、两向应力状态a.主应力形式，设3011222131211EEE(7-9)1122221211EE(7-10)b．非主应力形式11xxyyyxEE(7-11)2211xxyyyxEE(7-12)901oE(7-13)例30o3030601oooEII、广义胡克定律的应用对于主应力方向已知的平面应力状态，沿主应力方向贴应变片。对于主应力方向未知的平面应力状态，工程中多采用如图7-8a、b所示的两种应变花测出线应变。用(7-12)式求x、y，用下式求x。123123123主应变123主应变75图yxxyyxxyxxyxxyxx=+yy+xxExyvExxExyvEyxvEyyEyxvEyyE0xy0xy0xyxxyG76图xyx909077图xyx9090xyx909077图第5页共22页4512oxyxE(7-14)13512oxyxE(7-15)III、体应变——单位体积的体积改变12312E(7-16)和三个主应力之和成正比，而与各主应力的比值无关，当1230时0。Ⅳ、应变能密度——单位体积内积蓄的应变能223123122331122E(7-17)形状改变能密度为22212233116dvE(7-18)dv是材料发生屈服的主要因素。三、电测法Ⅰ、电阻应变仪的读数与测量电桥中四个桥臂上应变片的应变值之间的关系为1324R(7-19)II、测量电桥的接法▲半桥接线法：将测量电桥的AB和BC两臂上接上应变片，CD和DA两臂上的3R和4R用电阻应变仪内的标准电阻，则12R。▲全桥接线法：测量电桥的四个桥臂上均接上应变片。III、温度补偿▲图7-10a中，1R为工作片，2R为温度补偿片，2R贴在和构件相同的材料上，用半桥接线法12121RFFttF其中1F为荷载产生的应变值，1t、2t为由温度改变产生的应变值，12tt。▲图7-10b中，用半桥接线法12111211RFtFtF11RF78图()b135xyxy13545xy()axy4578图()b135xyxy135()b135xyxy13545xy()axy4545xy()axy4511R22R33R44R测量电桥79图11R22R33R44R11R22R33R44R测量电桥79图FF1R工作片补偿片2RaFF1R工作片补偿片2RFF1R工作片补偿片2R补偿片2Ra710图FF1R2RbFF1R2RFF1R2Rb第6页共22页这种接线法称半桥自动补偿，可以提高测量的灵敏度。还有全桥自动补偿将在例题中讲述。Ⅳ、灵敏因数调整器的使用▲在测量前将电阻应变仪上灵敏因数调整器的指针对准应变片的灵敏因数K值。▲当应变片的K值超出了灵敏因数调整器的可调范围时，则可将调整器的指针对准2.00，然后把应变仪读数值R按下式进行修正，为2.00RK(7-20)K为所用应变片的灵敏因数值。四、强度理论Ⅰ、强度理论材料破坏原因的假说(经实验验证)，称为强度理论。其作用是为复杂应力状态建立强度条件。II、材料破坏的形式塑性屈服或脆性断裂III、常用的强度理论1231123132rtrtr42221223311312rrrtc莫(7-21)对图7-11所示的平面应力状态34222234rr(7-22)Ⅳ、强度理论的应用▲低碳钢等拉压强度相等的塑性材料，除三向拉伸应力状态外均可用第三或第四强度理论，即以上公式中的3r或4r。▲铸铁等脆性材料a、两向及三向拉伸应力状态，用第一强度理论1r。b、两向或三向应力状态下最大和最小主应力分别为拉应力和压应力时用第二强度(2r)或莫尔强度理论(r莫)。c、三向压缩应力状态用莫尔强度理论。注：教材中例9-4，薄壁容器受内压作用时，其公式711图711图第7页共22页1224pdpd(7-23)在解题时可以直接引用。例7-1已知图a所示单元体中，100MPax，50MPax，200MPay，30，45。试用应力圆求：1.和斜截面上的应力；2.主应力值及主平面方位；3.最大切应力及其作用面方位。解：以100,50xD、200,50yD两点的连线为直径画出应力圆如图b所示。将xCD逆时针旋转60得,D点，将xCD顺时针旋转90得,D点。下面将根据应力圆所示出的几何关系进行有关计算，这种方法称为图解解析法，后面有关用应力圆求解的问题均采用这种方法。1100200150MPa2OC，1120010050MPa2CB245oxDCA，215oACD，502MPaxRCDo30150502cos15=81.7MPao，o30502sin15=-18.3MPao45200MPao，4550MP