第七章 应力状态和强度理论

第七章应力状态和强度理论§7-1概述§7-2平面应力状态的应力分析·主应力§7-3空间应力状态的概述§7-4应力和应变的关系§7-5空间应力状态的应变能密度§7-6强度理论及相当应力§7-8各种强度理论的应用§7-1概述一、应力状态的概念二、单元体法三、应力状态的分类一、应力状态的概念1、问题的提出弯曲时，同一横截面上不同点上的应力是不同的。IMy轴向拉压时，同一点不同方向面上的应力也是各不相同的。2sin21cos2Fp应力取决于：点的位置截面的方向ABmmnn应力状态：构件中任一点所有方向截面上应力的集合。应力状态的概念应力状态理论：研究构件中任一点应力性质的理论。二、单元体法单元体（微元体）dxdydz,,0由于单元体无穷小，可认为单元体各面上的应力均匀分布单元体的两个平行面上的应力相同1、单元体法的基本思想dxdydz结论：对单元体可用截面法，计算任意斜截面上的应力。2、基本单元体单元体上的应力可以用基本变形理论求得，称为基本单元体。AIyMbISFzzS*A3、主平面，主应力，主单元体主平面：切应力等于零的截面主应力：主平面上的正应力主单元体：主平面构成的单元体对于构件上任意一点，均有唯一的主单元体图示单元体的前、后面，即为主平面312A有三个主应力，记为321,,（主应力按照代数值大小排列）321三、应力状态的分类单向应力状态：二向应力状态：（平面应力状态）三向应力状态：（空间应力状态）A123主单元体中有一个主应力等于零，其余两个主应力不等于零。主单元体中有一个主应力不等于零，其余两个主应力等于零。主单元体的三个主应力都不等于零。承受内压的薄壁圆筒容器，研究圆筒表面一点处的应力状态。pM实例ppmm圆筒横截面上的应力圆筒内径为D，壁厚为δ，FpDF42pDFD42由：得：4pDp圆筒纵截面上的应力mmnnb0yFNFdsinDbp220NFDpb2得：bFN由：2pDbpbD2解得圆筒的周向应力的大小为：pNFNFyθdθbdDp2pM圆筒横截面上的应力（轴向应力）4pD圆筒纵截面上的应力（周向应力）2pD圆筒表面上的点处于二向应力状态AF312A三向应力状态的实例三向受压应力状态FFAA132三向受拉应力状态§7-2平面应力状态的应力分析·主应力一、概述二、解析法三、图解法应力的一些重要概念不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截面上的应力。点的概念截面的概念应力状态的概念应力状态：过一点不同方向的所有截面上应力的集合。主平面、主单元体的概念一、概述二向应力状态（平面应力状态）：主单元体中有一个主应力等于零，两个主应力不等于零。A1212AyxxyyxAyxxyyx二向应力状态（平面应力状态）的普遍情况：单元体上有一对平行面上没有应力。二、解析法分析内容：求单元体上任意斜截面上应力，从而确定主平面，主应力，主单元体以及最大切应力大小和所在截面。yxxyyxabcdαnfαe已知：xyyx,,斜截面ef的方位角α1、斜截面ef上的应力解:用ef截面将单元体截开,取aef为研究对象。yxxyyxabcdfαeαn有关物理量的符号规定：正应力：拉伸为正，压缩为负切应力：绕研究对象顺时针转为正，逆时针转为负α角：从x轴正向n，逆时针转为正。aαfαeyxxyyxyxxyyxabcd0nFcossincoscossincossinsin0xyxyxydAdAdAdAdA0tFcoscoscossinsincossinsin0xyxyyxdAdAdAdAdAyxxyyxabcdcossincoscossincossinsin0xyxyxydAdAdAdAdAcoscoscossinsincossinsin0xyxyyxdAdAdAdAdA注意到：，得：xyyxcossin2sincos22yxyx22sincossincosxyyxyxxyyxabcdcossin2sincos22xyyx22sincossincosxyyx上式可进一步简化为：aαfαeyxxyyx2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx2cos121cos22cos121sin2利用：2sin21cossin2、主平面，主应力2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx22222cossinddxyyx主应力：主平面上的正应力主平面：切应力等于零的截面由定义：结论：主应力是正应力的极值。主平面，主应力22222cossinddxyyx主平面位置:yxxyarctan221022210yxxyarctanyxxytan220220202212tan112cosxyyxyx22020022tan12tan2sinxyyxxy主应力表达式2222xyyxyxmaxminyxxytan220Ayxxyyxmaxmin0yxxyarctan221022210yxxyarctan主平面位置:主应力表达式2222xyyxyxmaxmin2cos2sin2xyyx3、最大切应力2sin2cosxyyxdd0|1dd由:xyyxtan221得:112sin,2cos最大切应力表达式22max2xyyx最大切应力所在截面位置:xyyxtan221主平面位置:yxxytan22012tan2tan100109022相差和045最大切应力截面和主平面的夹角为01045相差和maxminmax最大切应力截面上还有正应力2yx总结：主平面位置:yxxytan220主应力表达式2222xyyxyxmaxmin最大切应力表达式22max2xyyx045最大切应力截面和主平面的夹角为确定单元体的主应力和主平面。解：MPax25MPay75MPaxy40主平面位置:yxxytan2208.07525)40(200034.14166.382或00067.7033.19或00例题MPa25MPa75MPa402222xyyxyxmaxminMPax25MPay75MPaxy4022402752527525maxminMPamax39MPamin8900067.7033.19或MPa25MPa75MPa400001033.1902067.702010主平面位置:主应力大小为：MPa391MPa893主平面和主应力的对应问题？13按照切应力方向的判断方法。MPa25MPa75MPa40例题ABqlmna画出图示梁mn截面上各点的基本单元体,以及主单元体。12345ABqlmnaSFql21ql21mn截面上的内力为:S1Fqlqa222121qaqlaMM281ql12345S1Fqlqa222121qaqlaM12345123451、5两点基本单元体即为主单元体324ABqlmna主应力迹线三、图解法2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx将上述公式改写为:2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx1、理论基础2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx等式两边平方,求和,得:222222xyyxyx222222xyyxyx为已知量xyyx,,为未知变量,为纵坐标为横坐标以,上式是以为圆心,0,2yx为半径的圆。222xyyx这一个圆，称为应力圆。R应力圆xy2c圆心在0,2yx,半径的圆。222xyyxR2、应力圆的画法4、以C为圆心，CD为半径作圆Ayxxyyx1、由得D点),(xyx2、由得D’点),(yxy3、连DD’交水平轴于C点应力圆DxxyD’yyxCDxxyD’yyxCAOBR方法的证明:22yxOBOAOC22yxOBOAAC22ADACCDR222xyyx所以以C为圆心，CD为半径的圆为应力圆。DxxyD’yyxAOBCyxxyyxE2（1）求任意斜截面mm上的应力3、应力圆的应用mm从D点，沿圆周旋转2α角，旋转方向α角的转向一致，得到E点。E点的横坐标和纵坐标分别为斜截面mm上的正应力和切应力。DxxyD’yyxAOBC02E2证明：022cosCEOCE22sin0CEEE00σ=OC+CEcos2αcos2α-CEsin2αsin2α2sin2sin2cos2cos00CDCDOC2sin2cosADCAOC2sin2cos22xyyxyx同样，可证得：2cos2sin2xyyxEDxxyD’yyxAOBC02（2）确定主平面的位置和主应力的大小A1B1A1——最大主应力所在截面主平面B1——最大主应力所在截面主平面2222xyyxyxmaxmin1maxCAOC1minCBOCAyxxyyxDxxyD’yyxAOBC02A1B1yxxy22tan0主平面的位置0maxmin（3）确定最大切应力的大小和所在截面的位置DxxyD’yyxAOBC02A1B1G2G1G1，G2——最大切应力所在截面显然有：22max2xyyx045最大切应力截面和主平面的夹角为最大切应力截面上还有正应力2yx点面对应—应力圆上一点对应着微元某一斜截面上的应力转向对应—应力圆上圆心角和斜截面之间夹角的转向相同。二倍